功和机械能(高中)

                     

贡献者: kahoyip; addis

预备知识 牛顿运动定律

1. 功

   在直线运动中,如果一个力 $F$ 作用在物体上,且物体在这个力的方向上发生了位移 $s$,就说这个力对物体做了机械功(简称).功常用字母 $W$ 表示.做功的过程是能量变化的过程,功是能量变化的量度.

   在国际单位中,功的单位是焦耳,简称,符号为 $\mathrm{J}$,$1\mathrm{J}=1\mathrm{N \cdot m}$.

恒力对物体做的功

   当力的方向与物体位移的方向相同时,功的大小等于力的大小与位移大小的乘积,即:

\begin{equation} W=Fs \end{equation}

   若拓展到一般情况,力和位移都是矢量,功是力和位移的点乘(内积) $W = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{s}} $.因此功是一个标量.由于点乘满足分配律,当物体在多个力的作用下发生了一段位移,它们对物体所做的总功等于各个力对物体所做的功的代数和,也等于合力在该位移下做的功

\begin{equation} W = ( \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 + \dots) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{s}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{s}} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{s}} + \dots \end{equation}

   当力的方向与物体位移的方向的夹角为 $\theta$ 时,对 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 进行正交分解可得 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 沿位移方向的分力 $F_1=F\cos \theta$,垂直于位移方向的分力 $F_2=F\sin \theta$.易知物体在分力 $F_1$ 的方向上发生了位移 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $,在 $F_2$ 的方向上没有位移,$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 对物体做功大小为:

\begin{equation} W=Fs\cos \theta \end{equation}

   要注意的是,对于功的计算式,位移必须是在力在作用过程中发生的.

变力对物体做的功

   对于变力做功,需要根据实际情况,选择不同的方法,此处列举几个常用的方法:

  1. 分解成多个恒力做功的阶段,分别计算再求代数和.
  2. 图像法:已知力—位移图像(力和位移在同一直线上)时,曲线与 $x$ 轴上方围成的面积为正功,与 $x$ 轴下方围成的面积为负功,高中阶段适用于规则几何图形及割补法可计算的情况.
  3. 求平均力:如果力的方向不变,其大小随位移均匀变化,可求出物体所受的平均力,进而用式 3 求解,这种情况也可从用图像法计算三角形面积的情况推出.
  4. 微元法:如一个物体在一个大小不变的拉力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 下做半径为 $r$ 的匀速圆周运动,力的方向和运动方向始终一致,总功等于在无数段极小的位移上恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 做功的和,所有极小位移的大小之和为 $\Delta s_1+\Delta s_2+\dots+\Delta s_n=2\pi r$,则 $W=F\Delta s_1+F\Delta s_2+\dots+F\Delta s_n=2\pi rF$.
  5. 已知恒定功率或平均功率以及做功时间,用式 4 求解.
  6. 利用动能定理式 7 列式求解,该方法适用范围较广,常为计算变力做功的首选.

2. 功率

   功与其对应做功所用时间之比叫做功率.功率是表示做功快慢的物理量,常用字母 $P$ 表示,其定义式为:

\begin{equation} P=\frac{W}{t} \end{equation}

   在国际单位中,功率的单位是瓦特,简称,符号为 $\mathrm{W}$.

   额定功率:机械设备长时间正常工作时所能达到的最大输出功率,对某个设备来说其额定功率是一定的.

   实际功率:机械设备工作时实际的输出功率.

   联立式 3 式 4 和 $v=s/t$,可得功率与速度的关系:

\begin{equation} P=Fv\cos \theta \end{equation}

   研究功率的问题时,通常用式 4 计算平均功率,用式 5 计算瞬时功率.

3. 动能

   物体由于运动而具有的能量叫做动能,用符号 $E_k$ 表示1

   质量为 $m$ 的物体,在速度大小为 $v$ 时所具有的动能为:

\begin{equation} E_k=\frac12mv^2 \end{equation}

   注意:运动具有相对性,因此物体的动能与参考系有关.

   因为 $\mathrm{1kg\cdot (m/s)^2=1(kg\cdot m/s^2)\cdot m=1N\cdot m=1J}$,由式 6 可知动能的单位与功的单位相同.

4. 动能定理

   物体的运动过程中,合外力对物体所做的功 $W$ 等于物体在这个过程中动能的变化量 $\Delta E_k$.设物体的初动能为 $E_{k1}$,末动能为 $E_{k2}$ 则:

\begin{equation} W=\Delta E_k =E_{k2}-E_{k1} \end{equation}

   推导:设质量为 $m$ 的物体,在水平方向受到恒定的合外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $,以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 的速度开始做匀变速直线运动,加速到 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$.根据匀变速直线运动规律(式 5 )、牛顿第二定律(式 1 )和功的计算(式 1 )可得:

\begin{equation} W=Fs=ma\frac{v_2^2-v_1^2}{2a}=\frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2 \end{equation}

   动能定律具有普遍性,除了上述推导中恒力做功、直线运动的情况,同样适用于变力做功、曲线运动的情况,当确定了物体运动过程的初末状态后,使用动能定理分析问题会较为方便.

5. 势能

   势能也叫位能,是与相互作用的物体的相对位置有关的能量,用符号 $E_p$ 表示2

重力势能

   物体受到重力并处于一定高度时具有的能量叫做重力势能

   质量为 $m$ 的物体,在高度为 $h$ 处所具有的重力势能为:

\begin{equation} E_p=mgh \end{equation}

   物体的重力势能与参考平面(重力势能为零的平面)的选取有关,通常选地面或运动最低处为参考平面.

   质量为 $m$ 的物体在重力作用下,从高度为 $h_1$ 的位置运动至高度为 $h_2$ 的位置,位移大小为 $s$,位移与重力的夹角为 $\theta$,在此过程中,重力做功为:

\begin{equation} W_G=mgs\cos \theta=mg(h_1-h_2)=mgh_1-mgh_2 \end{equation}

   根据式 9 物体在 $h_1$ 和 $h_2$ 处的重力势能分别为 $E_{p1}=mgh_1$ 和 $E_{p2}=mgh_2$,从 $h_1$ 到 $h_2$ 处,重力势能变化为 $\Delta E_p= E_{p2}-E_{p1}$,由此可得重力做功与重力势能的关系为:

\begin{equation} W_G=E_{p1}-E_{p2}=-\Delta E_p \end{equation}
由上式可知,重力做正功时,物体的重力势能减小;重力做负功时,物体的重力势能增大.

弹性势能

   发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能,叫做弹性势能

   弹性势能的大小也具有相对性,以弹簧为例,一般选取原长处为零势能点进行分析,对同一弹簧来说,从原长处伸长或压缩相同长度时其弹性势能大小相等.

   弹性势能的变化与弹力做功有关,弹力做正功时,弹性势能减小;弹力做负功时,弹性势能增大.

6. 机械能守恒定律

   动能和势能统称为机械能

   在只有重力或弹力做功的系统内,系统的动能和势能可以互相转化,而总的机械能保持不变.表达式为:

\begin{equation} E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2} \end{equation}


1. ^ $E_k$ 中的 $k$ 表示 kinetic.
2. ^ $E_p$ 中的 $p$ 表示 potential.


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