玻尔原子模型(约化质量)

             

预备知识 玻尔原子模型

   玻尔氢原子模型假设原子核的质量远大于电子质量.得出的结论是

\begin{equation} E_n = -\frac{mZ^2 e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\frac{1}{n^2} \approx - 13.6 \,\mathrm{eV} \frac{Z^2}{n^2} \end{equation}
当考虑原子核运动的时候(但仍然忽略万有引力),上式变为(推导见下文)
\begin{equation} E'_n = -\frac{\mu Z^2 e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2} \end{equation}
其中 $\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$ 叫做约化质量.$m_1$ 和 $m_2$ 分别是原子核质量和核外电子质量. 要注意这时的 $E_n$ 包括了原子核的动能.

   在自然界中,氢原子大部分以氕的形式存在,即由一个质子一个电子组成,其他两种同位素氘氚的比例要小得多,氘只有 $0.01\%$,氚还要小许多数量级.所以对大部分氢原子, 约化质量和电子质量之比为($m_p$ 表示质子质量,数值参考 “物理学常数” 的式 8 式 9

\begin{equation} \frac{\mu}{m} = \frac{m_p}{m + m_p} = 0.99945567942 \end{equation}
所以修正前后氕原子的基态能量分别为
\begin{equation} E_1 = -13.605693123 \,\mathrm{eV} \qquad E'_1 = -13.598287264 \,\mathrm{eV} \end{equation}
而实验数据为1 $-13.59844 \,\mathrm{eV} $.修正前后相对误差分别为 $5.3 \times 10^{-4} $ 和 $1.1 \times 10^{-5} $.修正前后相对变化约等于电子和质子的质量之比,约 $1/1836$.所以在精度要求较高的实验中,必须使用约化质量.

1. 推导

  1. 经典力学的条件
    \begin{equation} m_1 \frac{v_1^2}{r_1} = m_2 \frac{v_2^2}{r_2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Z e^2}{(r_1 + r_2)^2} \end{equation}
  2. 角动量量子化条件(注意角动量是总角动量!)
    \begin{equation} m_1 v_1 r_1 + m_2 v_2 r_2 = n\hbar \end{equation}
  3. 质心系条件
    \begin{equation} m_1 r_1 = m_2 r_2 \qquad m_1 v_1 = m_2 v_2 \end{equation}
    要求的能量为
    \begin{equation} E_n = \frac12 m_1 v_1^2 + \frac12 m_2 v_2^2 - \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Z e^2}{r_1 + r_2} \end{equation}

   联立这几条式子,就可以解出考虑原子核运动的能级公式.推荐的步骤是,把所有的 $r_2$ 和 $v_2$ 写成 $m_1 r_1/m_2$ 和 $m_1 v_1/m_2$.然后用和玻尔原子模型中一样的方法解出来即可.


1. ^ 见 NIST 相关页面

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