群的直积和直和

             

预备知识 正规子群

1. 直积

   群的直积,是在群作为集合的笛卡尔积上,由群运算自然导出的一个群.

定义 1 两个群的直积

   给定群 $G$ 和 $H$,群运算的符号省略.在集合 $G\times H$ 上定义运算:对于任意 $(g_i, h_i)\in G\times H$,有 $(g_1, h_1)(g_2, h_2)=(g_1g_2, h_1h_2)$.集合 $G\times H$ 配合以上定义的运算,构成一个群,称为群 $G$ 和 $H$ 的直积(direct product)

   容易看出,两个群直积的单位元是 $(e, e)$——注意这里的两个 $e$ 分属不同的群,通常是不同的元素.

   这个定义分割开了参与直积的不同群的运算,因此可以很方便地直接推广到任意多个群的直积:

定义 2 任意多个群的直积

   给定任意多个群 $\{H_i\}$,在这些群作为集合的笛卡尔积上,各分量运算分别进行运算,且遵循各自所属群的运算规则.该笛卡尔积配合该运算规则构成一个群,称为这些群的直积(direct product),记为 $\bigotimes_iH_i$ 或 $\prod_iH_i$.

   在群论中还有一个和直积很类似的概念,常使人混淆,这就是群的直和.直和实际上是直积的一个特例:任意给定群,都可以使用这些群来构造直积,但是直和指的是已经给定了一个群,使用它的特定子群来生成它.

定义 3 群的直和

   当 $G$ 和 $H$ 都是交换群时,我们也称 $G\times H$ 为这两个群的直和(direct sum),此时也可以把它表示为 $G+H$.另外,任意个交换群的直积 $\bigotimes_iH_i$ 也可以表示为 $\bigoplus_iH_i$ 或 $\sum_iH_i$.

   直和这一术语的来源不难理解:交换群的群运算通常被称为 “加法”.

定理 1 商群的直积

   任意给定群 $G$ 和 $K$,并分别给出它们的一个正规子群 $H\triangleleft G$ 和 $J\triangleleft K$.那么 $(G\times K)/(H\times J)\cong G/H\times K/J$.

   定理 1 的证明用一个示意图即可直观地展示出来.

图
图 1:定理 1 的示意图.群 $G$ 和 $K$ 被表示为两条相互垂直的虚线,$G\times K$ 就是它们生成的平面.$H$ 和 $J$ 被表示为两条线段,$H\times J$ 就是作图中间那个方形区域.右图用垂直的虚线把 $G$ 区分成若干区域,就是 $G/H$ 的元素;同理,水平虚线划分出了 $K/J$ 的元素.从图示可以很容易看出,$(G\times K)/(H\times J)$ 的元素就是虚线划分出来的矩形区域们,而这些矩形区域正好是线段的笛卡尔积,也就是 $G/H\times K/J$.

2. 半直积

   群的直积可以推广为以下概念:

定义 4 半直积

   给定群 $G$,如果有 $G$ 的一个正规子群$N$ 和一个子群$H$,使得 $G=NH$1,并且 $N\cap H=\{e\}$,那么我们称 $G$ 是 $N$ 和 $H$ 的半直积(semi-direct product),记为 $G=N\rtimes H$.

   可以注意到,直积是半直积的一种,只要把 $\{(g, e)\}$ 和 $\{g\}$ 等同、把 $\{(e, h)\}$ 和 $\{h\}$ 等同即可.这样,尽管本节中直积是用 “运算的笛卡尔积” 来定义的,而半直积是用 “已有的群运算” 来定义的,这两个在特定情况下是等价的.

   半直积不一定是直积,这是因为定义中我们只要求参与运算的两个群中的一个为正规子群,而如果两个群 $G$ 和 $H$ 进行直积,那么容易证明它们俩都是群 $G\times H$ 的正规子群.从这也可以看出来为什么此处半直积的定义要先给出 $G$,而不是像直积的定义一样直接用两个群的乘积得到 $G\times H$.

   事实上,我们也可以用以上定义半直积的语言来描述直积:给定群 $G$,如果有 $G$ 的两个正规子群 $H$ 和 $N$,满足 $H\cap N=\{e\}$,并且 $G=NH$,那么称 $G$ 是 $N$ 和 $H$ 的直积,记为 $G=N\times H$.

   半直积的定义也可以不依赖于预先给定的 $G$,只是这样会稍显复杂一些:

定义 5 半直积

   给定群 $N$ 和 $H$,并且有同态:$f:H\rightarrow \operatorname {Aut}N$.在笛卡尔积集合 $N\times H$ 上定义运算:对于 $n_i\in N, h_i\in H$,有 $(n_1, h_1)\cdot(n_2, h_2)=(n_1\cdot f_{h_1}(n_2), h_1\cdot h_2)$.集合 $N\times H$ 配合这个运算可以得到一个群,称为$N$和群$H$关于同态$f$的半直积,记为 $N\rtimes_fH$.

   我们梳理一下这个定义.为了定义半直积,我们要用到三个部分,即两个群 $N$ 和 $H$,再加上一个同态 $f$.要注意,$f$ 不是 $H$ 到 $N$ 的同态,而是到 $ \operatorname {Aut} N$ 的,后者是 $N$ 的自同构群.也就是说,每个 $f(h)$ 表示一个 $N\rightarrow N$ 的自同构映射,为了方便,简写为 $f_h$.


1. ^ 就是说,集合 $G=\{nh|n\in N, h\in H\}$.

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