贡献者： JierPeter; Giacomo
未完成：群的直积和半直积都应该分为 “内”（子群间的运算）和 “外”（两个群间的运算）
1. 直积
群的直积，是在群作为集合的笛卡尔积上，由群运算自然导出的一个群。
定义 1 两个群的直积
给定群 $G$ 和 $H$，群运算的符号省略。在集合 $G\times H$ 上定义运算：对于任意 $(g_i, h_i)\in G\times H$，有 $(g_1, h_1)(g_2, h_2)=(g_1g_2, h_1h_2)$。集合 $G\times H$ 配合以上定义的运算，构成一个群，称为群 $G$ 和 $H$ 的直积（direct product）。
容易看出，两个群直积的单位元是 $(e, e)$——注意这里的两个 $e$ 分属不同的群，通常是不同的元素。
这个定义分割开了参与直积的不同群的运算，因此可以很方便地直接推广到任意多个群的直积：
定义 2 任意多个群的直积
给定任意多个群 $\{H_i\}$，在这些群作为集合的笛卡尔积上，各分量运算分别进行运算，且遵循各自所属群的运算规则。该笛卡尔积配合该运算规则构成一个群，称为这些群的直积（direct product），记为 $\bigotimes_iH_i$ 或 $\prod_iH_i$。
定义 3 群的直和
当 $G$ 和 $H$ 都是交换群时，我们也称 $G\times H$ 为这两个群的直和（direct sum），此时也可以把它表示为 $G+H$。另外，任意个交换群的直积 $\bigotimes_iH_i$ 也可以表示为 $\bigoplus_iH_i$ 或 $\sum_iH_i$。
直和这一术语的来源不难理解：交换群的群运算通常被称为 “加法”。
定理 1 商群的直积
任意给定群 $G$ 和 $K$，并分别给出它们的一个正规子群 $H\triangleleft G$ 和 $J\triangleleft K$。那么 $(G\times K)/(H\times J)\cong G/H\times K/J$。
定理 1 的证明用一个示意图即可直观地展示出来。
图 1：
定理 1 的示意图。群 $G$ 和 $K$ 被表示为两条相互垂直的虚线，$G\times K$ 就是它们生成的平面。$H$ 和 $J$ 被表示为两条线段，$H\times J$ 就是作图中间那个方形区域。右图用垂直的虚线把 $G$ 区分成若干区域，就是 $G/H$ 的元素；同理，水平虚线划分出了 $K/J$ 的元素。从图示可以很容易看出，$(G\times K)/(H\times J)$ 的元素就是虚线划分出来的矩形区域们，而这些矩形区域正好是线段的笛卡尔积，也就是 $G/H\times K/J$。
2. 半直积
群的直积可以推广为以下概念：
定义 4 半直积
给定群 $G$，如果有 $G$ 的一个正规子群$N$ 和一个子群$H$，使得 $G = N H$1，并且 $N \cap H = \{e\}$，那么我们称 $G$ 是 $N$ 和 $H$ 的半直积（semi-direct product），记为 $G = N \rtimes H$。
可以注意到，直积是半直积的一种，只要把 $\{(g, e)\}$ 和 $\{g\}$ 等同、把 $\{(e, h)\}$ 和 $\{h\}$ 等同即可。这样，尽管本节中直积是用 “运算的笛卡尔积” 来定义的，而半直积是用 “已有的群运算” 来定义的，这两个在特定情况下是等价的。
半直积不一定是内直积，这是因为定义中我们只要求参与运算的两个群中的一个为正规子群，而如果两个群 $G$ 和 $H$ 进行直积，那么容易证明它们俩都是群 $G\times H$ 的正规子群。从这也可以看出来为什么此处半直积的定义要先给出 $G$，而不是像直积的定义一样直接用两个群的乘积得到 $G\times H$。
事实上，我们也可以用以上定义半直积的语言来描述直积：给定群 $G$，如果有 $G$ 的两个正规子群 $H$ 和 $N$，满足 $H\cap N=\{e\}$，并且 $G=NH$，那么称 $G$ 是 $N$ 和 $H$ 的直积，记为 $G=N\times H$。
半直积的定义也可以不依赖于预先给定的 $G$，只是这样会稍显复杂一些：
定义 5 半直积
给定群 $N$ 和 $H$，并且有同态：$f:H\rightarrow \operatorname {Aut}N$。在笛卡尔积集合 $N\times H$ 上定义运算：对于 $n_i\in N, h_i\in H$，有 $(n_1, h_1)\cdot(n_2, h_2)=(n_1\cdot f_{h_1}(n_2), h_1\cdot h_2)$。集合 $N\times H$ 配合这个运算可以得到一个群，称为群$N$和群$H$关于同态$f$的半直积，记为 $N\rtimes_fH$。
我们梳理一下这个定义。为了定义半直积，我们要用到三个部分，即两个群 $N$ 和 $H$，再加上一个同态 $f$。要注意，$f$ 不是 $H$ 到 $N$ 的同态，而是到 $ \operatorname {Aut} N$ 的，后者是 $N$ 的自同构群。也就是说，每个 $f(h)$ 表示一个 $N\rightarrow N$ 的自同构映射，为了方便，简写为 $f_h$。
未完成：如何理解两个 半直积 之间的一致性？
1. ^ 就是说，集合 $G= \{n h \mid n \in N, h\in H\}$。
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