贡献者: 叶月2_; JierPeter; Giacomo
群的直积,是在群作为集合的笛卡尔积上,由群运算自然导出的一个群。
容易看出,两个群直积的单位元是 $(e, e)$——注意这里的两个 $e$ 分属不同的群,通常是不同的元素。
这个定义分割开了参与直积的不同群的运算,因此可以很方便地直接推广到任意多个群的直积:
直和这一术语的来源不难理解:交换群的群运算通常被称为 “加法”。
定理 1 的证明用一个示意图即可直观地展示出来。
在引入内直积的概念之前,我们先看一个例子。
设 $G=G_1\times G_2$,对于任意 $g_i\in G_1,h_i\in G_2$,可以验证 $N_1=(g_i,e_2)\vartriangleleft G_1,N_2=(e_1,h_i)\vartriangleleft G_2$,其中 $e_1,e_2$ 分别是 $G_1,G_2$ 的单位元。易见 $N_1\cap N_2=\{e\}$,且从运算角度上看 $G=N_1N_2$,因此称 $N_1N_2$ 是 $G$ 的内直积,所选取的元素为 $G$ 的 “分解” 表示。
又比如三维线性空间 $V$,任意向量都可以分解为基矢组的线性表示,以 $\{ \boldsymbol{\mathbf{i}} , \boldsymbol{\mathbf{j}} , \boldsymbol{\mathbf{k}} \}$ 为基矢组,则三个正规子群分别为 $(x,0,0),(0,y,0)$ 和 $(0,0,z)$。
在满足题设和条件一的前提下,条件二分别等价于下面两种情况:
我们来尝试证明这一点。
首先证明条件二能推出情况一。 由于对于 $i\neq j$ 有 $N_i\cap N_j\subset N_j\cap N_1N_2...N_{j-1}N_j...N_k=\{e\}$,则任意两个不同的正规子群其交集只有单位元,且有 $g_ig_j=g_jg_i$1。因此若 $g_1g_2...g_k=e$,我们有
然后证明情况一能推出情况二。设 $i\neq j,g\in N_i\cap N_j=g'_i=g'_j$,其中 $g'_i\in N_i,g'_j\in N_j$,则 $g_ig_j^{-1}=e$,填充该等式后我们有 $e...g_i...g_j^{-1}...e=e$,则由单位元的分解唯一性得 $g_i=g_j=e$,即 $N_i\cap N_j=e$,于是 $g_ig_j=g_jg_i$。
若 $g_1g_2...g_k=h_1h_2...h_k$,我们有
然后我们来证明情况二能推出条件二。设 $g=N_i\cap N_1N_2...N_{i-1}N_{i+1}...N_k$,则设存在一系列群元使得 $g=g_i=g_1g_2...g_{i-1}g_{i+1}...g_k$。左右填充单位元后,利用表示的唯一性可得:任意群元都为单位元,于是条件二得证。
实际上,内直积与外直积在同构意义上是相同的,内直积实际上是构建了以若干不相交子群为正规子群的群。
证明: 依旧设 $g_i\in N_i$,由于 $G=N_1N_2...N_k$,我们可以构建映射使得 $f(g_1g_2...g_k)=(g_1,g_2,...,g_k)$,易见这是一个满射。由内直积的定义可知,对于 $i\neq j$,有 $g_ig_j=g_jg_i$。因而,$(g_1g_2...g_k)(h_1h_2...h_k)=(g_1h_1)(g_2h_2)...(g_nh_n)$,所以
群的直积可以推广为以下概念:
可以注意到,直积是半直积的一种,只要把 $\{(g, e)\}$ 和 $\{g\}$ 等同、把 $\{(e, h)\}$ 和 $\{h\}$ 等同即可。这样,尽管本节中直积是用 “运算的笛卡尔积” 来定义的,而半直积是用 “已有的群运算” 来定义的,这两个在特定情况下是等价的。
半直积不一定是内直积,这是因为定义中我们只要求参与运算的两个群中的一个为正规子群,而如果两个群 $G$ 和 $H$ 进行直积,那么容易证明它们俩都是群 $G\times H$ 的正规子群。从这也可以看出来为什么此处半直积的定义要先给出 $G$,而不是像直积的定义一样直接用两个群的乘积得到 $G\times H$。
事实上,我们也可以用以上定义半直积的语言来描述直积:给定群 $G$,如果有 $G$ 的两个正规子群 $H$ 和 $N$,满足 $H\cap N=\{e\}$,并且 $G=NH$,那么称 $G$ 是 $N$ 和 $H$ 的直积,记为 $G=N\times H$。
半直积的定义也可以不依赖于预先给定的 $G$,只是这样会稍显复杂一些:
我们梳理一下这个定义。为了定义半直积,我们要用到三个部分,即两个群 $N$ 和 $H$,再加上一个同态 $f$。要注意,$f$ 不是 $H$ 到 $N$ 的同态,而是到 $ \operatorname {Aut} N$ 的,后者是 $N$ 的自同构群。也就是说,每个 $f(h)$ 表示一个 $N\rightarrow N$ 的自同构映射,为了方便,简写为 $f_h$。
1. ^ 根据消去律只需要证明 $g_ig_jg_i^{-1}g_j^{-1}=e$,而左边元素属于 $N_i\cap N_j$,得证。
2. ^ 就是说,集合 $G= \{n h \mid n \in N, h\in H\}$。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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