直积和半直积（群）

                     

贡献者： 叶月2_; JierPeter; Giacomo

预备知识　正规子群

1. 直积

　　 群的直积，是在群作为集合的笛卡尔积上，由群运算自然导出的一个群。

定义 1　两个群的直积

　　 给定群 $G$ 和 $H$，群运算的符号省略。在集合 $G\times H$ 上定义运算：对于任意 $(g_i, h_i)\in G\times H$，有 $(g_1, h_1)(g_2, h_2)=(g_1g_2, h_1h_2)$。集合 $G\times H$ 配合以上定义的运算，构成一个群，称为群 $G$ 和 $H$ 的直积（direct product）。

　　 容易看出，两个群直积的单位元是 $(e, e)$——注意这里的两个 $e$ 分属不同的群，通常是不同的元素。

　　 这个定义分割开了参与直积的不同群的运算，因此可以很方便地直接推广到任意多个群的直积：

定义 2　任意多个群的直积

　　 给定任意多个群 $\{H_i\}$，在这些群作为集合的笛卡尔积上，各分量运算分别进行运算，且遵循各自所属群的运算规则。该笛卡尔积配合该运算规则构成一个群，称为这些群的直积（direct product），记为 $\bigotimes_iH_i$ 或 $\prod_iH_i$。

定义 3　群的直和

　　 当 $G$ 和 $H$ 都是交换群时，我们也称 $G\times H$ 为这两个群的直和（direct sum），此时也可以把它表示为 $G+H$。另外，任意个交换群的直积 $\bigotimes_iH_i$ 也可以表示为 $\bigoplus_iH_i$ 或 $\sum_iH_i$。

　　 直和这一术语的来源不难理解：交换群的群运算通常被称为 “加法”。

定理 1　商群的直积

　　 任意给定群 $G$ 和 $K$，并分别给出它们的一个正规子群 $H\triangleleft G$ 和 $J\triangleleft K$。那么 $(G\times K)/(H\times J)\cong G/H\times K/J$。

　　 定理 1 的证明用一个示意图即可直观地展示出来。

图
图 1：定理 1 的示意图。群 $G$ 和 $K$ 被表示为两条相互垂直的虚线，$G\times K$ 就是它们生成的平面。$H$ 和 $J$ 被表示为两条线段，$H\times J$ 就是作图中间那个方形区域。右图用垂直的虚线把 $G$ 区分成若干区域，就是 $G/H$ 的元素；同理，水平虚线划分出了 $K/J$ 的元素。从图示可以很容易看出，$(G\times K)/(H\times J)$ 的元素就是虚线划分出来的矩形区域们，而这些矩形区域正好是线段的笛卡尔积，也就是 $G/H\times K/J$。

2. 内直积与外直积

　　 在引入内直积的概念之前，我们先看一个例子。

　　 设 $G=G_1\times G_2$，对于任意 $g_i\in G_1,h_i\in G_2$，可以验证 $N_1=(g_i,e_2)\vartriangleleft G,N_2=(e_1,h_i)\vartriangleleft G$，其中 $e_1,e_2$ 分别是 $G_1,G_2$ 的单位元。易见 $N_1\cap N_2=\{e\}$，且从运算角度上看 $G=N_1N_2$，因此称 $N_1N_2$ 是 $G$ 的内直积，所选取的元素为 $G$ 的 “分解” 表示。

　　 又比如三维线性空间 $V$，任意向量都可以分解为基矢组的线性表示，以 $\{ \boldsymbol{\mathbf{i}} , \boldsymbol{\mathbf{j}} , \boldsymbol{\mathbf{k}} \}$ 为基矢组，则三个正规子群分别为 $(x,0,0),(0,y,0)$ 和 $(0,0,z)$。

定义 4　

　　 设 $N_i(i=1,2...k)$ 是群 $G$ 的正规子群,且满足

  • $G=N_1N_2...N_k$；
  • $N_i\cap N_1N_2...N_{i-1}N_{i+1}..N_k=\{e\}$ 对一切 $i=1,2...k$ 都成立；

　　 则称 $G$ 是 $N_i(i=1,2...k)$ 的内直积。

　　 在满足题设和条件一的前提下，条件二分别等价于下面两种情况：

  1. $G$ 的单位元有唯一分解表示，即若存在 $g_i\in N_i$ 且 $g_1g_2...g_k=e$，则 $g_i=e_i$。
  2. $G$ 的任意群元都有唯一表示，即若 $g_1g_2...g_k=h_1h_2...h_k$ 则 $g_i=h_i$ 对任意 $g_i,h_i\in N_i$ 恒成立。

　　 我们来尝试证明这一点。

　　 首先证明条件二能推出情况一。 由于对于 $i\neq j$ 有 $N_i\cap N_i\subset N_{i-1}\cap N_1N_2...N_{i+1}N_j...N_k=\{e\}$，则任意两个不同的正规子群其交集只有单位元，且有 $g_ig_j=g_jg_i$1。因此若 $g_1g_2...g_k=e$，我们有

\begin{equation} g_1=g_k^{-1}g_{k-1}^{-1}...g_2^{-1}=N_1\cap N_2N_3...N_k=e~, \end{equation}
，其余元素同理可证。在这个证明里，我们可以看到关键利用的是元素可交换性。

　　 然后证明情况一能推出情况二。设 $i\neq j,g\in N_i\cap N_j=g_i=g_j$，其中 $g_i\in N_i,g_j\in N_j$，则 $g_ig_j^{-1}=e$，填充该等式后我们有 $e...g_i...g_j^{-1}...e=e$，则由单位元的分解唯一性得 $g_i=g_j=e$，即 $N_i\cap N_j=e$，于是 $g_ig_j=g_jg_i$。

　　 若 $g_1g_2...g_k=h_1h_2...h_k$，我们有

\begin{equation} (g_1h_1^{-1})(h_2g_2^{-1})(h_3g_3^{-1})...h_kg_k^{-1}=e~, \end{equation}
由分解唯一性得 $g_i=h_i$。

　　 然后我们来证明情况二能推出条件二。设 $g=N_i\cap N_1N_2...N_{i-1}N_{i+1}...N_k$，则设存在一系列群元使得 $g=g_i=g_1g_2...g_{i-1}g_{i+1}...g_k$。左右填充单位元后，利用表示的唯一性可得：任意群元都为单位元，于是条件二得证。

　　 从上述推导过程可知，内直积表示实际上是寻求若干特殊的正规子群，彼此相交元素只有单位元。

　　 内直积和外直积并非泾渭分明的关系。回顾最初的例子，对于外直积，我们可以构建若干正规子群，使之同构于这些子群的内直积。

定理 2　

　　 $G_1,G_2...G_n$ 是一系列群，设 $G=G_1\times G_2...\times G_n$。定义

\begin{equation} N_i=\left\{\left(e_1, \cdots, e_{i-1}, a_i, e_{i+1}, \cdots, e_n\right) \mid a_i \in G_i\right\}~, \end{equation}
则有

  1. $N_i\vartriangleleft G,N_i\simeq G_i$。
  2. 对于任意 $g\in G$，都有 $G=N_1N_2...N_k$，且该分解结果是唯一的。

　　 证明：第一点略。

　　 由结论一可知，$G$ 总可以分解为这些正规子群之积。设 $g=(g_1,g_2...g_k),(e_1,e_2...g_i,e_{i+1}...e_k)=n_i$，则 $g=n_1n_2...n_k$。如若分解不唯一，则有 $g=n_1'n_2'...n_k'=(g_1',g_2'...g_k')$，与题设矛盾，所以分解表示是唯一的。

　　 反过来，这些特殊正规子群的内直积也可以写为外直积形式。

定理 3　

　　 若 $N_i\triangleleft G(i=1,2...k)$，且 $G$ 是 $N_i$ 的内直积，则 $G\cong N_1\times N_2...\times N_k$。

　　 证明： 依旧设 $g_i\in N_i$，由于 $G=N_1N_2...N_k$，我们可以构建映射使得 $f(g_1g_2...g_k)=(g_1,g_2,...,g_k)$，易见这是一个满射。由内直积的定义可知，对于 $i\neq j$，有 $g_ig_j=g_jg_i$。因而，$(g_1g_2...g_k)(h_1h_2...h_k)=(g_1h_1)(g_2h_2)...(g_nh_n)$，所以

\begin{equation} \begin{aligned} f \left((g_1g_2...g_k)(h_1h_2...h_k) \right) &=f((g_1h_1)(g_2h_2)...(g_nh_n))\\ &=(g_1h_1,g_2h_2,...,g_nh_n)\\ &=f(g_1g_2...g_k)f(h_1h_2...h_k)~. \end{aligned} \end{equation}
，因此 $f$ 确实是同态映射。由于 $ \operatorname {ker}f=\{e\}$，因此 $f$ 是单射。综上所述，$f$ 是同构映射，定理得证。

3. 半直积

　　 群的直积可以推广为以下概念：

定义 5　内半直积

　　 给定群 $G$，如果有 $G$ 的一个正规子群$N$ 和一个子群$H$，使得 $G = N H$2，并且 $N \cap H = \{e\}$，那么我们称 $G$ 是 $N$ 和 $H$ 的内半直积（semi-direct product），记为 $G = N \rtimes H$。

　　 可以注意到，直积是半直积的一种，只要把 $\{(g, e)\}$ 和 $\{g\}$ 等同、把 $\{(e, h)\}$ 和 $\{h\}$ 等同即可。这样，尽管本节中直积是用 “运算的笛卡尔积” 来定义的，而半直积是用 “已有的群运算” 来定义的，这两个在特定情况下是等价的。

　　 内半直积不一定是内直积，这是因为定义中我们只要求参与运算的两个群中的一个为正规子群，而如果两个群 $G$ 和 $H$ 进行直积，那么容易证明它们俩都是群 $G\times H$ 的正规子群。从这也可以看出来为什么此处半直积的定义要先给出 $G$，而不是像直积的定义一样直接用两个群的乘积得到 $G\times H$。

　　 事实上，我们也可以用以上定义内半直积的语言来描述直积：给定群 $G$，如果有 $G$ 的两个正规子群 $H$ 和 $N$，满足 $H\cap N=\{e\}$，并且 $G=NH$，那么称 $G$ 是 $N$ 和 $H$ 的内直积，记为 $G=N\times H$。

　　 半直积的定义也可以不依赖于预先给定的 $G$，只是这样会稍显复杂一些：

定义 6　外半直积

　　 给定群 $N$ 和 $H$，并且有同态：$f:H\rightarrow \operatorname {Aut}N$。在笛卡尔积集合 $N\times H$ 上定义运算：对于 $n_i\in N, h_i\in H$，有 $(n_1, h_1)\cdot(n_2, h_2)=(n_1\cdot f_{h_1}(n_2), h_1\cdot h_2)$。集合 $N\times H$ 配合这个运算可以得到一个群，称为群$N$和群$H$关于同态$f$的外半直积，记为 $N\rtimes_fH$。

　　 我们梳理一下这个定义。为了定义半直积，我们要用到三个部分，即两个群 $N$ 和 $H$，再加上一个同态 $f$。要注意，$f$ 不是 $H$ 到 $N$ 的同态，而是到 $ \operatorname {Aut} N$ 的，后者是 $N$ 的自同构群。也就是说，每个 $f(h)$ 表示一个 $N\rightarrow N$ 的自同构映射3，为了方便，简写为 $f_h$。

　　 类似于内直积和外直积，内半直积和外半直积也没有本质区别。设 $G$ 是 $N,H$ 的内半直积，$N$ 是正规子群，则对于任意 $g_1=n_1h_1,g_2=n_2h_2$，我们有

\begin{equation} \begin{aligned} g_1g_2&=n_1h_1n_2h_2\\ &=n_1h_1n_2h_1h_1^{-1}h_2\\ &=(n_1f_{h_1}(n_2),h_1h_2)~. \end{aligned} \end{equation}
可见 $f_h$ 是伴随作用，内半直积的运算可以用外半直积的形式表示。和定理 2 类似，对于外半直积，定义一个与正规子群之间的同构，再加上定义伴随作用为同态 $f$，便能得到 $G$ 的内半直积分解表示。

1. ^ 根据消去律只需要证明 $g_ig_jg_i^{-1}g_j^{-1}=e$，而左边元素属于 $N_i\cap N_j$，得证。
2. ^ 就是说，集合 $G= \{n h \mid n \in N, h\in H\}$。
3. ^ 因此 $f(h)$ 实际上是 $H$ 对 $N$ 的群作用。


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