贡献者: 叶月2_; JierPeter; Giacomo
1. 直积
群的直积,是在群作为集合的笛卡尔积上,由群运算自然导出的一个群。
定义 1 两个群的直积
给定群 和 ,群运算的符号省略。在集合 上定义运算:对于任意 ,有 。集合 配合以上定义的运算,构成一个群,称为群 和 的直积(direct product)。
容易看出,两个群直积的单位元是 ——注意这里的两个 分属不同的群,通常是不同的元素。
这个定义分割开了参与直积的不同群的运算,因此可以很方便地直接推广到任意多个群的直积:
定义 2 任意多个群的直积
给定任意多个群 ,在这些群作为集合的笛卡尔积上,各分量运算分别进行运算,且遵循各自所属群的运算规则。该笛卡尔积配合该运算规则构成一个群,称为这些群的直积(direct product),记为 或 。
定义 3 群的直和
当 和 都是交换群时,我们也称 为这两个群的直和(direct sum),此时也可以把它表示为 。另外,任意个交换群的直积 也可以表示为 或 。
直和这一术语的来源不难理解:交换群的群运算通常被称为 “加法”。
定理 1 商群的直积
任意给定群 和 ,并分别给出它们的一个正规子群 和 。那么 。
定理 1 的证明用一个示意图即可直观地展示出来。
图 1:
定理 1 的示意图。群 和 被表示为两条相互垂直的虚线, 就是它们生成的平面。 和 被表示为两条线段, 就是作图中间那个方形区域。右图用垂直的虚线把 区分成若干区域,就是 的元素;同理,水平虚线划分出了 的元素。从图示可以很容易看出, 的元素就是虚线划分出来的矩形区域们,而这些矩形区域正好是线段的笛卡尔积,也就是 。
2. 内直积与外直积
在引入内直积的概念之前,我们先看一个例子。
设 ,对于任意 ,可以验证 ,其中 分别是 的单位元。易见 ,且从运算角度上看 ,因此称 是 的内直积,所选取的元素为 的 “分解” 表示。
又比如三维线性空间 ,任意向量都可以分解为基矢组的线性表示,以 为基矢组,则三个正规子群分别为 和 。
定义 4
设 是群 的正规子群,且满足
则称 是 的内直积。
在满足题设和条件一的前提下,条件二分别等价于下面两种情况:
- 的单位元有唯一分解表示,即若存在 且 ,则 。
- 的任意群元都有唯一表示,即若 则 对任意 恒成立。
我们来尝试证明这一点。
首先证明条件二能推出情况一。
由于对于 有 ,则任意两个不同的正规子群其交集只有单位元,且有 1。因此若 ,我们有
,其余元素同理可证。在这个证明里,我们可以看到关键利用的是元素可交换性。
然后证明情况一能推出情况二。设 ,其中 ,则 ,填充该等式后我们有 ,则由单位元的分解唯一性得 ,即 ,于是 。
若 ,我们有
由分解唯一性得 。
然后我们来证明情况二能推出条件二。设 ,则设存在一系列群元使得 。左右填充单位元后,利用表示的唯一性可得:任意群元都为单位元,于是条件二得证。
从上述推导过程可知,内直积表示实际上是寻求若干特殊的正规子群,彼此相交元素只有单位元。
内直积和外直积并非泾渭分明的关系。回顾最初的例子,对于外直积,我们可以构建若干正规子群,使之同构于这些子群的内直积。
定理 2
是一系列群,设 。定义
则有
- 。
- 对于任意 ,都有 ,且该分解结果是唯一的。
证明:第一点略。
由结论一可知, 总可以分解为这些正规子群之积。设 ,则 。如若分解不唯一,则有 ,与题设矛盾,所以分解表示是唯一的。
反过来,这些特殊正规子群的内直积也可以写为外直积形式。
证明:
依旧设 ,由于 ,我们可以构建映射使得 ,易见这是一个满射。由内直积的定义可知,对于 ,有 。因而,,所以
,因此 确实是同态映射。由于 ,因此 是单射。综上所述, 是同构映射,定理得证。
3. 半直积
群的直积可以推广为以下概念:
定义 5 内半直积
给定群 ,如果有 的一个正规子群 和一个子群,使得 2,并且 ,那么我们称 是 和 的内半直积(semi-direct product),记为 。
可以注意到,直积是半直积的一种,只要把 和 等同、把 和 等同即可。这样,尽管本节中直积是用 “运算的笛卡尔积” 来定义的,而半直积是用 “已有的群运算” 来定义的,这两个在特定情况下是等价的。
内半直积不一定是内直积,这是因为定义中我们只要求参与运算的两个群中的一个为正规子群,而如果两个群 和 进行直积,那么容易证明它们俩都是群 的正规子群。从这也可以看出来为什么此处半直积的定义要先给出 ,而不是像直积的定义一样直接用两个群的乘积得到 。
事实上,我们也可以用以上定义内半直积的语言来描述直积:给定群 ,如果有 的两个正规子群 和 ,满足 ,并且 ,那么称 是 和 的内直积,记为 。
半直积的定义也可以不依赖于预先给定的 ,只是这样会稍显复杂一些:
定义 6 外半直积
给定群 和 ,并且有同态:。在笛卡尔积集合 上定义运算:对于 ,有 。集合 配合这个运算可以得到一个群,称为群和群关于同态的外半直积,记为 。
我们梳理一下这个定义。为了定义半直积,我们要用到三个部分,即两个群 和 ,再加上一个同态 。要注意, 不是 到 的同态,而是到 的,后者是 的自同构群。也就是说,每个 表示一个 的自同构映射3,为了方便,简写为 。
类似于内直积和外直积,内半直积和外半直积也没有本质区别。设 是 的内半直积, 是正规子群,则对于任意 ,我们有
可见 是伴随作用,内半直积的运算可以用外半直积的形式表示。和
定理 2 类似,对于外半直积,定义一个与正规子群之间的同构,再加上定义伴随作用为同态 ,便能得到 的内半直积分解表示。
1. ^ 根据消去律只需要证明 ,而左边元素属于 ,得证。
2. ^ 就是说,集合 。
3. ^ 因此 实际上是 对 的群作用。
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