直积和半直积(群)

                     

贡献者: 叶月2_; JierPeter; Giacomo

预备知识 正规子群

1. 直积

   群的直积,是在群作为集合的笛卡尔积上,由群运算自然导出的一个群。

定义 1 两个群的直积

   给定群 GH,群运算的符号省略。在集合 G×H 上定义运算:对于任意 (gi,hi)G×H,有 (g1,h1)(g2,h2)=(g1g2,h1h2)。集合 G×H 配合以上定义的运算,构成一个群,称为群 GH直积(direct product)

   容易看出,两个群直积的单位元是 (e,e)——注意这里的两个 e 分属不同的群,通常是不同的元素。

   这个定义分割开了参与直积的不同群的运算,因此可以很方便地直接推广到任意多个群的直积:

定义 2 任意多个群的直积

   给定任意多个群 {Hi},在这些群作为集合的笛卡尔积上,各分量运算分别进行运算,且遵循各自所属群的运算规则。该笛卡尔积配合该运算规则构成一个群,称为这些群的直积(direct product),记为 iHiiHi

定义 3 群的直和

   当 GH 都是交换群时,我们也称 G×H 为这两个群的直和(direct sum),此时也可以把它表示为 G+H。另外,任意个交换群的直积 iHi 也可以表示为 iHiiHi

   直和这一术语的来源不难理解:交换群的群运算通常被称为 “加法”。

定理 1 商群的直积

   任意给定群 GK,并分别给出它们的一个正规子群 HGJK。那么 (G×K)/(H×J)G/H×K/J

   定理 1 的证明用一个示意图即可直观地展示出来。

图
图 1:定理 1 的示意图。群 GK 被表示为两条相互垂直的虚线,G×K 就是它们生成的平面。HJ 被表示为两条线段,H×J 就是作图中间那个方形区域。右图用垂直的虚线把 G 区分成若干区域,就是 G/H 的元素;同理,水平虚线划分出了 K/J 的元素。从图示可以很容易看出,(G×K)/(H×J) 的元素就是虚线划分出来的矩形区域们,而这些矩形区域正好是线段的笛卡尔积,也就是 G/H×K/J

2. 内直积与外直积

   在引入内直积的概念之前,我们先看一个例子。

   设 G=G1×G2,对于任意 giG1,hiG2,可以验证 N1=(gi,e2)G,N2=(e1,hi)G,其中 e1,e2 分别是 G1,G2 的单位元。易见 N1N2={e},且从运算角度上看 G=N1N2,因此称 N1N2G 的内直积,所选取的元素为 G 的 “分解” 表示。

   又比如三维线性空间 V,任意向量都可以分解为基矢组的线性表示,以 {i,j,k} 为基矢组,则三个正规子群分别为 (x,0,0),(0,y,0)(0,0,z)

定义 4 

   设 Ni(i=1,2...k) 是群 G正规子群,且满足

  • G=N1N2...Nk
  • NiN1N2...Ni1Ni+1..Nk={e} 对一切 i=1,2...k 都成立;

   则称 GNi(i=1,2...k) 的内直积。

   在满足题设和条件一的前提下,条件二分别等价于下面两种情况:

  1. G 的单位元有唯一分解表示,即若存在 giNig1g2...gk=e,则 gi=ei
  2. G 的任意群元都有唯一表示,即若 g1g2...gk=h1h2...hkgi=hi 对任意 gi,hiNi 恒成立。

   我们来尝试证明这一点。

   首先证明条件二能推出情况一。 由于对于 ijNiNiNi1N1N2...Ni+1Nj...Nk={e},则任意两个不同的正规子群其交集只有单位元,且有 gigj=gjgi1。因此若 g1g2...gk=e,我们有

(1)g1=gk1gk11...g21=N1N2N3...Nk=e ,
,其余元素同理可证。在这个证明里,我们可以看到关键利用的是元素可交换性。

   然后证明情况一能推出情况二。设 ij,gNiNj=gi=gj,其中 giNi,gjNj,则 gigj1=e,填充该等式后我们有 e...gi...gj1...e=e,则由单位元的分解唯一性得 gi=gj=e,即 NiNj=e,于是 gigj=gjgi

   若 g1g2...gk=h1h2...hk,我们有

(2)(g1h11)(h2g21)(h3g31)...hkgk1=e ,
由分解唯一性得 gi=hi

   然后我们来证明情况二能推出条件二。设 g=NiN1N2...Ni1Ni+1...Nk,则设存在一系列群元使得 g=gi=g1g2...gi1gi+1...gk。左右填充单位元后,利用表示的唯一性可得:任意群元都为单位元,于是条件二得证。

   从上述推导过程可知,内直积表示实际上是寻求若干特殊的正规子群,彼此相交元素只有单位元

   内直积和外直积并非泾渭分明的关系。回顾最初的例子,对于外直积,我们可以构建若干正规子群,使之同构于这些子群的内直积。

定理 2 

   G1,G2...Gn 是一系列群,设 G=G1×G2...×Gn。定义

(3)Ni={(e1,,ei1,ai,ei+1,,en)aiGi} ,
则有

  1. NiG,NiGi
  2. 对于任意 gG,都有 G=N1N2...Nk,且该分解结果是唯一的。

   证明:第一点略。

   由结论一可知,G 总可以分解为这些正规子群之积。设 g=(g1,g2...gk),(e1,e2...gi,ei+1...ek)=ni,则 g=n1n2...nk。如若分解不唯一,则有 g=n1n2...nk=(g1,g2...gk),与题设矛盾,所以分解表示是唯一的。

   反过来,这些特殊正规子群的内直积也可以写为外直积形式。

定理 3 

   若 NiG(i=1,2...k),且 GNi 的内直积,则 GN1×N2...×Nk

   证明: 依旧设 giNi,由于 G=N1N2...Nk,我们可以构建映射使得 f(g1g2...gk)=(g1,g2,...,gk),易见这是一个满射。由内直积的定义可知,对于 ij,有 gigj=gjgi。因而,(g1g2...gk)(h1h2...hk)=(g1h1)(g2h2)...(gnhn),所以

(4)f((g1g2...gk)(h1h2...hk))=f((g1h1)(g2h2)...(gnhn))=(g1h1,g2h2,...,gnhn)=f(g1g2...gk)f(h1h2...hk) .
,因此 f 确实是同态映射。由于 kerf={e},因此 f 是单射。综上所述,f 是同构映射,定理得证。

3. 半直积

   群的直积可以推广为以下概念:

定义 5 内半直积

   给定群 G,如果有 G 的一个正规子群N 和一个子群H,使得 G=NH2,并且 NH={e},那么我们称 GNH内半直积(semi-direct product),记为 G=NH

   可以注意到,直积是半直积的一种,只要把 {(g,e)}{g} 等同、把 {(e,h)}{h} 等同即可。这样,尽管本节中直积是用 “运算的笛卡尔积” 来定义的,而半直积是用 “已有的群运算” 来定义的,这两个在特定情况下是等价的。

   内半直积不一定是内直积,这是因为定义中我们只要求参与运算的两个群中的一个为正规子群,而如果两个群 GH 进行直积,那么容易证明它们俩都是群 G×H 的正规子群。从这也可以看出来为什么此处半直积的定义要先给出 G,而不是像直积的定义一样直接用两个群的乘积得到 G×H

   事实上,我们也可以用以上定义内半直积的语言来描述直积:给定群 G,如果有 G 的两个正规子群 HN,满足 HN={e},并且 G=NH,那么称 GNH 的内直积,记为 G=N×H

   半直积的定义也可以不依赖于预先给定的 G,只是这样会稍显复杂一些:

定义 6 外半直积

   给定群 NH,并且有同态:f:HAutN。在笛卡尔积集合 N×H 上定义运算:对于 niN,hiH,有 (n1,h1)(n2,h2)=(n1fh1(n2),h1h2)。集合 N×H 配合这个运算可以得到一个群,称为N和群H关于同态f的外半直积,记为 NfH

   我们梳理一下这个定义。为了定义半直积,我们要用到三个部分,即两个群 NH,再加上一个同态 f。要注意,f 不是 HN 的同态,而是到 AutN 的,后者是 N自同构群。也就是说,每个 f(h) 表示一个 NN 的自同构映射3,为了方便,简写为 fh

   类似于内直积和外直积,内半直积和外半直积也没有本质区别。设 GN,H 的内半直积,N 是正规子群,则对于任意 g1=n1h1,g2=n2h2,我们有

(5)g1g2=n1h1n2h2=n1h1n2h1h11h2=(n1fh1(n2),h1h2) .
可见 fh 是伴随作用,内半直积的运算可以用外半直积的形式表示。和定理 2 类似,对于外半直积,定义一个与正规子群之间的同构,再加上定义伴随作用为同态 f,便能得到 G 的内半直积分解表示。


1. ^ 根据消去律只需要证明 gigjgi1gj1=e,而左边元素属于 NiNj,得证。
2. ^ 就是说,集合 G={nhnN,hH}
3. ^ 因此 f(h) 实际上是 HN 的群作用。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利