贡献者: xiaokuc; huanglei0829

  • 该领域(图论)的相关概念尚不完善
  • 缺少参考文献,
  • 本词条存在未完成的内容.

1. 1.基础定义

定义 1 图;顶点;边

预备知识 二元关系

   图 $G(V,E)$ 是集合 V 上的一种二元关系 $E$.

   集合 $V$ 的元素称为图的顶点,若两个顶点之间有这种确定的二元关系,则称有一条边连这两个点.

   一个图的顶点的数目称为这个图的阶,记 作 $|G|$,图的边的数目称为它的度,记作 $||G||$.

定义 2 关联;相邻

  • 若有一条边连一个图的某两个顶点,则称这两个顶点相邻,并称这两个顶点为这条边的端点.
  • 若某一顶点是某一条边的端点,则称这个顶点和这条边关联.
  • 若两条边和同一顶点关联,则称这两条边相邻.

2. 2.特殊图元素

定义 3 特殊点;特殊边

  • 两个端点是同一个顶点的边称为环.
  • 若某条边的两个端点不是同一个顶点,且只有一条边连这两个顶点,则称这条边为杆.
  • 以某两顶点为端点的边可能不止一条,这时称连这两个顶点的边为重边.

定义 4 特殊图

  • 只有一个顶点而没有边的图称为平凡图,没有边的图称为孤立图.
  • 既可以有环,也可以有重边的图称为准图.
    没有环而可能有重边的图称为带重图.
    没有重边而可能有环的图称为带环图.
    既没有重边也没有环的图称为简单图,每两个顶点都相邻的简单图称为完全图.n 阶完全图记作 $K^{n}$
  • 若一个图的阶是有限的,则称这个图为有限图,否则称这个图为无限图.
  • 若一个 n 阶图的点用 1 , 2,…,n 来代表,则称它为标定图
    若在图的每一条边上赋以一个实数或者对于每个节点赋以一个实数,则称它为赋权图.

定理 1 n 阶完全图 $K^{n}$ 的度

\begin{equation} ||K^{n}||=\frac{n(n-1)}{2} \end{equation}
证明:使用第一数学归纳法:
当 n=1 时,完全图为孤立图,故||K||=0,下设 n 时成立,考虑 n+1 的情形:
由于 $K^{n+1}$ 可以由 $K^{n}$ 添加 1 个顶点及 n 条边得到知:
$||K^{n+1}||=||K^{n}||+n=\frac{n(n-1)}{2}+n=\frac{n(n+1)}{2}$
得证.

3. 3.点的性质

定义 5 顶点的次(度)

   设点 $v \in V$,称图 $G$ 中以顶点 $v$ 作为端点的边数为点 $v$ 的度,记作 $d(v)$
注:顶点上的环计数时计两次

定理 2 简单图中顶点度与边数的关系

   在简单图 $G$ 中,有: $\sum_{v \in V}{d(v)}=2||G||$1
证明:由简单图中的每一条边有且仅有两个端点,且两个相邻的顶点间仅有一条边立得

推论 1 简单图中奇度点个数

   在简单图 $G$ 中,有:$2\mid \sum\limits_{v\in V\atop 2\nmid d(v)}1$

定义 6 与度有关的特殊图元素

   注:以上内容参考了《数学辞海》卷二


1. ^ 有时称为握手引理(Handshaking Lemma)


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