多项式定理

             

预备知识 二项式定理

   我们来吧二项式定理拓展到多项式的情况,即

\begin{equation} \left(\sum_{i = 0}^m a_i \right) ^N = N! \sum_{\{n_i\}}^* \prod_{i = 1}^m \frac{a_i^{n_i}}{n_i!} \end{equation}

1. 证明

   首先把指数写成相乘的形式(注意哑标需要各不相同, 否则下面会出错)

\begin{equation} \left(\sum_i^m a_i \right) ^N = \left(\sum_{i_1}^m a_{i_1} \right) \left(\sum_{i_2}^m a_{i_2} \right) \dots \left(\sum_{i_N}^m a_{i_N} \right) = \sum_{i_1}^m \sum_{i_2}^m\dots \sum_{i_N}^m a_{i_1} a_{i_2}\dots a_{i_N} \end{equation}
虽然现在已经拆了括号, 但我们希望能像二项式定理一样写成合并同类项后的形式. 在上式中, 若 $a_{i_1} a_{i_2}\dots a_{i_N}$($N$ 个一次项)中出现了 $n_1$ 个 $a_1$,$n_2$ 个 $a_2$……$n_m$ 个 $a_m$,则同类项可以记为 $a_1^{n_1} a_2^{n_2} \dots a_m^{n_m}$,或用求积符号记为
\begin{equation} \prod_{i=1}^m a_i^{n_i} \end{equation}
由于一共有 $N$ 项,必须满足
\begin{equation} \sum_{i=1}^m n_i = N \end{equation}
用符号 $\{n_i\}$ 表示有序数列 $\{n_1,n_2,\dots, n_m\}$ 的集合.

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