多项式定理

贡献者： addis

预备知识　二项式定理

　　我们来吧二项式定理拓展到多项式的情况，即

\begin{matrix} (1) & {(\sum_{i = 0}^{m} a_{i})}^{N} = N! \sum_{{n_{i}}}^{*} \prod_{i = 1}^{m} \frac{a_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!} . \end{matrix}

1. 证明

　　首先把指数写成相乘的形式（注意哑标需要各不相同，否则下面会出错）

\begin{matrix} (2) & {(\sum_{i}^{m} a_{i})}^{N} = (\sum_{i_{1}}^{m} a_{i_{1}}) (\sum_{i_{2}}^{m} a_{i_{2}}) \dots (\sum_{i_{N}}^{m} a_{i_{N}}) = \sum_{i_{1}}^{m} \sum_{i_{2}}^{m} \dots \sum_{i_{N}}^{m} a_{i_{1}} a_{i_{2}} \dots a_{i_{N}} . \end{matrix}

虽然现在已经拆了括号，但我们希望能像二项式定理一样写成合并同类项后的形式。在上式中，若

a_{i_{1}} a_{i_{2}} \dots a_{i_{N}}

（

N

个一次项）中出现了

n_{1}

个

a_{1}

，

n_{2}

个

a_{2}

……

n_{m}

个

a_{m}

，则同类项可以记为

a_{1}^{n_{1}} a_{2}^{n_{2}} \dots a_{m}^{n_{m}}

，或用求积符号记为

\begin{matrix} (3) & \prod_{i = 1}^{m} a_{i}^{n_{i}} . \end{matrix}

由于一共有

N

项，必须满足

\begin{matrix} (4) & \sum_{i = 1}^{m} n_{i} = N, \end{matrix}

用符号

{n_{i}}

表示有序数列

{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{m}}

的集合。

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