函数的算符

                     

贡献者: addis

预备知识 导数

  

未完成:定积分算符

   算符(也叫算子)可以理解为 “函数的函数”,即一个函数经过算符作用可以得到另一个算符。例如将一个函数乘以一个数 λ 或另一个函数,又例如对一个函数求导(微分算符)等等。

例 1 

   令算符 A^

(1)A^=sin(x) ,
那么它作用在函数 f(x) 上就是
(2)A^f(x)=sin(x)f(x) .
令算符 B^
(3)B^=ddx+1 ,
那么
(4)B^f(x)=(ddx+1)f(x)=df(x)dx+f(x) .
令算符 C^
(5)C^=A^B^=sin(x)(ddx+1) ,
那么
(6)C^f(x)=A^[B^f(x)]=sin(x)df(x)dx+sin(x)f(x) .
令算符 D^
(7)D^=A^+B^ ,
那么
(8)D^f(x)=A^f(x)+B^f(x) .
令算符 E^
(9)E^=B^2 .
相当于 B^ 对某函数作用两次,即
(10)E^f(x)=B^[B^f(x)]=(ddx+1)[df(x)dx+f(x)]=d2f(x)dx2+2df(x)dx+f(x) .
所以也可以将这个过程简写为
(11)B^2=(ddx+1)2=d2dx2+2ddx+1 .

1. 线性

   若一个算符 A^ 对两个不同的函数 f,g 和两个不同的常数满足

(12)A^(f+g)=A^f+A^g .
线性的。


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