函数的算符

贡献者： addis

预备知识　导数

未完成：定积分算符

　　算符（也叫算子）可以理解为 “函数的函数”，即一个函数经过算符作用可以得到另一个算符。例如将一个函数乘以一个数 $λ$ 或另一个函数，又例如对一个函数求导（微分算符）等等。

例 1　

　　令算符 $\hat{A}$ 为

\begin{matrix} (1) & \hat{A} = \sin (x), \end{matrix}

那么它作用在函数

f (x)

上就是

\begin{matrix} (2) & \hat{A} f (x) = \sin (x) f (x) . \end{matrix}

令算符

\hat{B}

为

\begin{matrix} (3) & \hat{B} = \frac{d}{d x} + 1, \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (4) & \hat{B} f (x) = (\frac{d}{d x} + 1) f (x) = \frac{d f (x)}{d x} + f (x) . \end{matrix}

令算符

\hat{C}

为

\begin{matrix} (5) & \hat{C} = \hat{A} \hat{B} = \sin (x) (\frac{d}{d x} + 1), \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (6) & \hat{C} f (x) = \hat{A} [\hat{B} f (x)] = \sin (x) \frac{d f (x)}{d x} + \sin (x) f (x) . \end{matrix}

令算符

\hat{D}

为

\begin{matrix} (7) & \hat{D} = \hat{A} + \hat{B}, \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (8) & \hat{D} f (x) = \hat{A} f (x) + \hat{B} f (x) . \end{matrix}

令算符

\hat{E}

为

\begin{matrix} (9) & \hat{E} = {\hat{B}}^{2} . \end{matrix}

相当于

\hat{B}

对某函数作用两次，即

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \hat{E} f (x) & = \hat{B} [\hat{B} f (x)] = (\frac{d}{d x} + 1) [\frac{d f (x)}{d x} + f (x)] \\ = \frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} + 2 \frac{d f (x)}{d x} + f (x) . \end{aligned} \end{matrix}

所以也可以将这个过程简写为

\begin{matrix} (11) & {\hat{B}}^{2} = {(\frac{d}{d x} + 1)}^{2} = \frac{d^{2}}{d x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} + 1 . \end{matrix}

1. 线性

　　若一个算符 $\hat{A}$ 对两个不同的函数 $f, g$ 和两个不同的常数满足

\begin{matrix} (12) & \hat{A} (f + g) = \hat{A} f + \hat{A} g . \end{matrix}

是线性的。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。