基本型

贡献者： JierPeter; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识 1　三维空间中的曲面

1. 第一基本型

　　曲面上的第一基本型，本质上就是用局部坐标系的正定二次型来定义一个切空间上的内积。由于古典微分几何依赖 $R^{3}$ ，我们可以把第一基本型简单理解为，曲面的几何切平面上各切向量的长度。

　　设 $x$ 是曲面 $S$ 上的某个局部坐标系，那么我们就可以把 $S$ 在这个坐标系内的一条曲线表示为 $α (t) = x (u (t), v (t))$ 。这里 $(u (t), v (t))$ 可以理解为曲线在时间 $t$ 时的坐标，经 $x$ 映射后成为 $S$ 上的一个点。

　　再次回忆：曲线就是道路，也就是向量。那么我们可以计算这个向量的长度。首先，这个曲线对应的向量是什么呢？记这个向量为 $v_{α} \in R^{3}$ ，那么我们有：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} v_{α} & = lim_{t \to 0} \frac{α (t)}{t} = lim_{t \to 0} \frac{x (u (t), v (t))}{t} \\ = x_{u} u^{'} + x_{v} v^{'}, \end{aligned} \end{matrix}

其中

x_{u}

是

\frac{\partial x}{\partial u}

、

u^{'}

是

\frac{d u}{d t}

的意思，将

u

换成

v

同理。

　　这么一来就可以将向量 $v_{α}$ 的第一基本型定义清楚了。

定义 1　第一基本型

　　给定正则曲面 $S$ 上一点 $p$ ，切空间 $T_{p} S$ 处的第一基本型是一个 $T_{p} S \to R$ 的光滑映射 $I_{p}$ ，使得对于 $T_{p} S$ 中的切向量 $v_{α}$ ，取其对应的任意道路 $α (t) = x (u (t), v (t))$ ，有： $I_{p} (v_{α}) = E \cdot u^{' 2} + G \cdot v^{' 2} + 2 F \cdot u^{'} v^{'} .$ 其中

$E = x_{u}^{2}$
$G = x_{v}^{2}$
$F = x_{u} \cdot x_{v} .$

　　由于我们通常是在坐标系里研究曲面的性质，第一基本型的三个实数 $E$ 、 $G$ 和 $F$ 就方便我们直接在坐标系里计算曲面上切向量的长度。

　　如果 ${x_{u}, x_{v}}$ 是一个标准正交基，那么第一基本型的形式就和勾股定理一致。如果了解了斜坐标系的概念，你会发现当第一基本型长得不像勾股定理时，都是因为这个基不是标准正交的。

　　因此，第一标准型可以用作勾股定理的延伸，或者说内积定义的延伸，从而得到现代微分几何中黎曼度量的概念，我们会在后续相关文章中阐述。如果再进行一步延伸，允许三个实数出现负值，那么还可能得到伪黎曼度量，其中一种伪黎曼度量是相对论时空的核心结构。

　　利用第一基本型，可以方便地计算曲面上某区域的面积。

定理 1　曲面上的面积

　　给定曲面 $S$ 和它的一个局部坐标系 $x : U \to V \subseteq S$ 。任取 $U$ 的一个子集 $A$ ，那么曲面上 $x (A)$ 的面积就是

\begin{matrix} (2) & \iint_{x (A)} | x_{u} \times x_{v} | d u d v = \iint_{A} \sqrt{E G - F^{2}} d u d v . \end{matrix}

2. 第二基本型，以及更多

预备知识 2　高斯映射

定义 2　第二基本型

　　给定可定向正则曲面 $S$ 和它的一个定向 $N$ ，将 $N$ 视为 $S \to S^{2}$ 的高斯映射，则 $d N_{p} (v_{α}) \cdot v_{α}$ 就是 $v_{α}$ 的第二基本型，记为 ${II}_{p} (v_{α})$ 。

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基本型

1. 第一基本型

定义 1 第一基本型

定理 1 曲面上的面积

2. 第二基本型，以及更多

定义 2 第二基本型

定义 1　第一基本型

定理 1　曲面上的面积

定义 2　第二基本型