基本型

             

贡献者: JierPeter

预备知识 三维空间中的曲面

  

未完成:草稿阶段

1. 第一基本型

   曲面上的第一基本型,本质上就是用局部坐标系的正定二次型来定义一个切空间上的内积.由于古典微分几何依赖 $\mathbb{R}^3$,我们可以把第一基本型简单理解为,曲面的几何切平面上各切向量的长度

   设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是曲面 $S$ 上的某个局部坐标系,那么我们就可以把 $S$ 在这个坐标系内的一条曲线表示为 $\alpha(t)= \boldsymbol{\mathbf{x}} (u(t), v(t))$.这里 $(u(t), v(t))$ 可以理解为曲线在时间 $t$ 时的坐标,经 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 映射后成为 $S$ 上的一个点.

   再次回忆:曲线就是道路,也就是向量.那么我们可以计算这个向量的长度.首先,这个曲线对应的向量是什么呢?记这个向量为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha\in\mathbb{R}^3$,那么我们有:

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha&=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\alpha(t)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{x}} (u(t), v(t))}{t}\\ &= \boldsymbol{\mathbf{x}} _uu'+ \boldsymbol{\mathbf{x}} _vv' \end{aligned} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _u$ 是 $\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{x}} }{\partial u}$、$u'$ 是 $\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{t} }$ 的意思,将 $u$ 换成 $v$ 同理.

   这么一来就可以将向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha$ 的第一基本型定义清楚了.

定义 1 第一基本型

   给定正则曲面 $S$ 上一点 $p$,切空间 $T_pS$ 处的第一基本型是一个 $T_pS\to \mathbb{R}$ 的光滑映射 $\mathrm{I}_p$,使得对于 $T_pS$ 中的切向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha$,取其对应的任意道路 $\alpha(t)= \boldsymbol{\mathbf{x}} (u(t), v(t))$,有:$$\mathrm{I}_p( \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha)=E\cdot u'^2+G\cdot v'^2+ 2F\cdot u'v'$$ 其中

  • $E= \boldsymbol{\mathbf{x}} _u^2$
  • $G= \boldsymbol{\mathbf{x}} _v^2$
  • $F= \boldsymbol{\mathbf{x}} _u\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} _v$

   由于我们通常是在坐标系里研究曲面的性质,第一基本型的三个实数 $E$、$G$ 和 $F$ 就方便我们直接在坐标系里计算曲面上切向量的长度.

   如果 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _u, \boldsymbol{\mathbf{x}} _v\}$ 是一个标准正交基,那么第一基本型的形式就和勾股定理一致.如果了解了斜坐标系的概念,你会发现当第一基本型长得不像勾股定理时,都是因为这个基不是标准正交的.

   因此,第一标准型可以用作勾股定理的延伸,或者说内积定义的延伸,从而得到现代微分几何中黎曼度量的概念,我们会在后续相关词条中阐述.如果再进行一步延伸,允许三个实数出现负值,那么还可能得到伪黎曼度量,其中一种伪黎曼度量是相对论时空的核心结构.

   利用第一基本型,可以方便地计算曲面上某区域的面积.

定理 1 曲面上的面积

   给定曲面 $S$ 和它的一个局部坐标系 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U\to V\subseteq S$.任取 $U$ 的一个子集 $A$,那么曲面上 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} (A)$ 的面积就是

\begin{equation} \iint_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} (A)} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} _u\times \boldsymbol{\mathbf{x}} _v \right\rvert \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} =\iint_{A}\sqrt{EG-F^2} \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} \end{equation}

2. 第二基本型,以及更多

预备知识 高斯映射

定义 2 第二基本型

   给定可定向正则曲面 $S$ 和它的一个定向 $N$,将 $N$ 视为 $S\to S^2$ 的高斯映射,则 $ \,\mathrm{d}{N} _p( \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha)\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha$ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha$ 的第二基本型,记为 $\mathrm{II}_p( \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha)$.


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