贡献者： JierPeter; addis
1. 第一基本型
曲面上的第一基本型，本质上就是用局部坐标系的正定二次型来定义一个切空间上的内积。由于古典微分几何依赖 $\mathbb{R}^3$，我们可以把第一基本型简单理解为，曲面的几何切平面上各切向量的长度。
设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是曲面 $S$ 上的某个局部坐标系，那么我们就可以把 $S$ 在这个坐标系内的一条曲线表示为 $\alpha(t)= \boldsymbol{\mathbf{x}} (u(t), v(t))$。这里 $(u(t), v(t))$ 可以理解为曲线在时间 $t$ 时的坐标，经 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 映射后成为 $S$ 上的一个点。
再次回忆：曲线就是道路，也就是向量。那么我们可以计算这个向量的长度。首先，这个曲线对应的向量是什么呢？记这个向量为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha\in\mathbb{R}^3$，那么我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha&=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\alpha(t)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{x}} (u(t), v(t))}{t}\\
&= \boldsymbol{\mathbf{x}} _uu'+ \boldsymbol{\mathbf{x}} _vv'~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _u$ 是 $\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{x}} }{\partial u}$、$u'$ 是 $\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{t} }$ 的意思，将 $u$ 换成 $v$ 同理。
这么一来就可以将向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha$ 的第一基本型定义清楚了。
定义 1 第一基本型
给定正则曲面 $S$ 上一点 $p$，切空间 $T_pS$ 处的第一基本型是一个 $T_pS\to \mathbb{R}$ 的光滑映射 $\mathrm{I}_p$，使得对于 $T_pS$ 中的切向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha$，取其对应的任意道路 $\alpha(t)= \boldsymbol{\mathbf{x}} (u(t), v(t))$，有：$$\mathrm{I}_p( \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha)=E\cdot u'^2+G\cdot v'^2+ 2F\cdot u'v'~.$$
其中
- $E= \boldsymbol{\mathbf{x}} _u^2$
- $G= \boldsymbol{\mathbf{x}} _v^2$
- $F= \boldsymbol{\mathbf{x}} _u\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} _v~.$
由于我们通常是在坐标系里研究曲面的性质，第一基本型的三个实数 $E$、$G$ 和 $F$ 就方便我们直接在坐标系里计算曲面上切向量的长度。
如果 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _u, \boldsymbol{\mathbf{x}} _v\}$ 是一个标准正交基，那么第一基本型的形式就和勾股定理一致。如果了解了斜坐标系的概念，你会发现当第一基本型长得不像勾股定理时，都是因为这个基不是标准正交的。
因此，第一标准型可以用作勾股定理的延伸，或者说内积定义的延伸，从而得到现代微分几何中黎曼度量的概念，我们会在后续相关文章中阐述。如果再进行一步延伸，允许三个实数出现负值，那么还可能得到伪黎曼度量，其中一种伪黎曼度量是相对论时空的核心结构。
利用第一基本型，可以方便地计算曲面上某区域的面积。
定理 1 曲面上的面积
给定曲面 $S$ 和它的一个局部坐标系 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U\to V\subseteq S$。任取 $U$ 的一个子集 $A$，那么曲面上 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} (A)$ 的面积就是
\begin{equation}
\iint_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} (A)} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} _u\times \boldsymbol{\mathbf{x}} _v \right\rvert \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} =\iint_{A}\sqrt{EG-F^2} \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} ~.
\end{equation}
2. 第二基本型，以及更多
定义 2 第二基本型
给定可定向正则曲面 $S$ 和它的一个定向 $N$，将 $N$ 视为 $S\to S^2$ 的高斯映射，则 $ \,\mathrm{d}{N} _p( \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha)\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha$ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha$ 的第二基本型，记为 $\mathrm{II}_p( \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha)$。
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