高斯映射
贡献者： JierPeter
1. 高斯映射和形状算子
未完成：高斯映射和形状算子的关系可能需要解释（形状算子是高斯映射的微分的负数）；自伴性的证明尚缺；Meusnier 定理的证明或解释尚缺。
定义 1 高斯映射
给定可定向曲面 $S\subseteq\mathbb{R}^3$ 和其一个定向 $N$。由于定向的值都是单位向量，因此 $N$ 是一个 $S\to S^2$ 的映射，称为 $S$ 的一个高斯映射（Gauss map）。
高斯映射是为了研究曲面的内蕴性质而诞生的，在现代微分几何中通常又改用形状算子来描述。形状算子本质上就是高斯映射的微分，不过前面加了一个负号，这是为了在将来的一些计算中消除产生的负号。
定义 2 形状算子
给定流形（曲面）$S$ 上一点 $p$，则 $p$ 处的形状算子 $L_p$ 是一个 $T_pS\to T_pS$ 的一个映射。对于任意切向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in T_pS$，取 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 对应的一条曲线 $\alpha(t)$，都有 $L_p( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=-\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }N(\alpha(t))$，其中 $N$ 是 $S$ 上的一个定向。
高斯映射的一个关键性质是自伴（self-adjoint），表述如下：
定理 1 高斯映射的自伴性
给定高斯映射 $N:S\to S^2$，且 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} (u, v)$ 是 $S$ 的一个局部坐标系，则有 $N_u\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} _v=N_v\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} _u$。
这一点和形状算子的自伴性是等价的。
定理 2 形状算子的性质
给定流形（曲面）$S$ 上一点 $p$ 处的形状算子 $L_p$，则对于 $S$ 上任意切向量场 $X, Y$，都有 $L_p(X)\cdot Y=D_XY\cdot N$。
定义 3 共轭
如果 $T_pS$ 上的两个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 满足 $L_p( \boldsymbol{\mathbf{v}} _1)\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} 2=L_p( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2)\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} 1=0$，那么称 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 是共轭（conjugate）的向量，它们所在的方向也是彼此共轭的。
高斯映射与高斯曲率的联系，由以下定理揭示：
定理 3
对于曲面 $S$ 上的一点 $p$，如果其高斯曲率 $K(p)\not=0$，那么 $K(p)=\lim\limits_{A\to 0}\frac{A'}{A}$，其中 $A$ 是一块包含了 $p$ 的邻域的面积，$A'$ 是 $N(A)$ 的面积。
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