高斯映射

             

贡献者: JierPeter

预备知识 可定向曲面

1. 高斯映射和形状算子

  

未完成:高斯映射和形状算子的关系可能需要解释(形状算子是高斯映射的微分的负数);自伴性的证明尚缺;Meusnier 定理的证明或解释尚缺.

定义 1 高斯映射

   给定可定向曲面 $S\subseteq\mathbb{R}^3$ 和其一个定向 $N$.由于定向的值都是单位向量,因此 $N$ 是一个 $S\to S^2$ 的映射,称为 $S$ 的一个高斯映射(Gauss map)

   高斯映射是为了研究曲面的内蕴性质而诞生的,在现代微分几何中通常又改用形状算子来描述.形状算子本质上就是高斯映射的微分,不过前面加了一个负号,这是为了在将来的一些计算中消除产生的负号.

定义 2 形状算子

   给定流形(曲面)$S$ 上一点 $p$,则 $p$ 处的形状算子 $L_p$ 是一个 $T_pS\to T_pS$ 的一个映射.对于任意切向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in T_pS$,取 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 对应的一条曲线 $\alpha(t)$,都有 $L_p( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=-\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }N(\alpha(t))$,其中 $N$ 是 $S$ 上的一个定向.

   高斯映射的一个关键性质是自伴(self-adjoint),表述如下:

定理 1 高斯映射的自伴性

   给定高斯映射 $N:S\to S^2$,且 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} (u, v)$ 是 $S$ 的一个局部坐标系,则有 $N_u\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} _v=N_v\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} _u$.

   这一点和形状算子的自伴性是等价的.

定理 2 形状算子的性质

   给定流形(曲面)$S$ 上一点 $p$ 处的形状算子 $L_p$,则对于 $S$ 上任意切向量场 $X, Y$,都有 $L_p(X)\cdot Y=D_XY\cdot N$.

定义 3 共轭

   如果 $T_pS$ 上的两个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 满足 $L_p( \boldsymbol{\mathbf{v}} _1)\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} 2=L_p( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2)\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} 1=0$,那么称 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 是共轭(conjugate)的向量,它们所在的方向也是彼此共轭的.

   高斯映射与高斯曲率的联系,由以下定理揭示:

定理 3 

   对于曲面 $S$ 上的一点 $p$,如果其高斯曲率 $K(p)\not=0$,那么 $K(p)=\lim\limits_{A\to 0}\frac{A'}{A}$,其中 $A$ 是一块包含了 $p$ 的邻域的面积,$A'$ 是 $N(A)$ 的面积.


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