高斯映射

贡献者： JierPeter

预备知识　可定向曲面

1. 高斯映射和形状算子

未完成：高斯映射和形状算子的关系可能需要解释（形状算子是高斯映射的微分的负数）；自伴性的证明尚缺；Meusnier 定理的证明或解释尚缺。

定义 1　高斯映射

　　给定可定向曲面 $S \subseteq R^{3}$ 和其一个定向 $N$ 。由于定向的值都是单位向量，因此 $N$ 是一个 $S \to S^{2}$ 的映射，称为 $S$ 的一个高斯映射（Gauss map）。

　　高斯映射是为了研究曲面的内蕴性质而诞生的，在现代微分几何中通常又改用形状算子来描述。形状算子本质上就是高斯映射的微分，不过前面加了一个负号，这是为了在将来的一些计算中消除产生的负号。

定义 2　形状算子

　　给定流形（曲面） $S$ 上一点 $p$ ，则 $p$ 处的形状算子 $L_{p}$ 是一个 $T_{p} S \to T_{p} S$ 的一个映射。对于任意切向量 $v \in T_{p} S$ ，取 $v$ 对应的一条曲线 $α (t)$ ，都有 $L_{p} (v) = - \frac{d}{d t} N (α (t))$ ，其中 $N$ 是 $S$ 上的一个定向。

　　高斯映射的一个关键性质是自伴（self-adjoint），表述如下：

定理 1　高斯映射的自伴性

　　给定高斯映射 $N : S \to S^{2}$ ，且 $x (u, v)$ 是 $S$ 的一个局部坐标系，则有 $N_{u} \cdot x_{v} = N_{v} \cdot x_{u}$ 。

　　这一点和形状算子的自伴性是等价的。

定理 2　形状算子的性质

　　给定流形（曲面） $S$ 上一点 $p$ 处的形状算子 $L_{p}$ ，则对于 $S$ 上任意切向量场 $X, Y$ ，都有 $L_{p} (X) \cdot Y = D_{X} Y \cdot N$ 。

定义 3　共轭

　　如果 $T_{p} S$ 上的两个向量 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 满足 $L_{p} (v_{1}) \cdot v 2 = L_{p} (v_{2}) \cdot v 1 = 0$ ，那么称 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 是共轭（conjugate）的向量，它们所在的方向也是彼此共轭的。

　　高斯映射与高斯曲率的联系，由以下定理揭示：

定理 3　

　　对于曲面 $S$ 上的一点 $p$ ，如果其高斯曲率 $K (p) \neq 0$ ，那么 $K (p) = lim_{A \to 0} \frac{A^{'}}{A}$ ，其中 $A$ 是一块包含了 $p$ 的邻域的面积， $A^{'}$ 是 $N (A)$ 的面积。

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高斯映射

1. 高斯映射和形状算子

定义 1 高斯映射

定义 2 形状算子

定理 1 高斯映射的自伴性

定理 2 形状算子的性质

定义 3 共轭

定理 3

定义 1　高斯映射

定义 2　形状算子

定理 1　高斯映射的自伴性

定理 2　形状算子的性质

定义 3　共轭

定理 3　