斜坐标系

             

预备知识 直角坐标系,几何矢量

   斜坐标系是通常的直角坐标系的延伸.以二维空间中为例,任取两根相互不平行的坐标轴 $x$ 和 $y$,都能对平面上任意一点 $P$ 进行定位,方法是认为坐标轴上已经给定了标尺,从 $P$ 处画一条平行于 $y$ 轴的直线,它与 $x$ 轴相交处的标尺数值即为 $P$ 的 $x$ 坐标;类似地,画一条平行于 $x$ 轴的直线,它与 $y$ 轴相交处的标尺数值即为 $P$ 的 $y$ 坐标.

图
图 1:一个斜坐标系的示意图.图中 $x$、$y$ 两轴的夹角是 $72.9^\circ$,两轴的标尺已经给出.在这个坐标系中,$P$ 的坐标是 $ < 2.5, 4>$.

   斜坐标系的标尺不一定是均匀的.事实上,只要标尺数值沿着坐标轴的方向一直递增就可以.

1. 与直角坐标的转换

   为方便计,我们只考虑标尺均匀的斜坐标系.

   给定直角坐标系 $xOy$,由相互垂直的 $x$ 轴和 $y$ 轴构成,两轴交于原点 $O$.另给定斜坐标系 $x'Oy'$,由 $x'$ 轴和 $y'$ 轴构成,两轴在直角坐标系中的斜率分别为 $T_x=\tan{\theta_x}$ 和 $T_y=\cot{\theta_y}$,也相交于原点 $O$.

图
图 2:本小节中所使用的坐标系和点示意图.

   如果把两个斜坐标轴看成直角坐标轴中的直线,那么我们可以研究斜坐标轴上两点之间的距离.假设取定 $x'$ 轴上一点 $R$,在直角坐标系中,$R$ 到 $O$ 的距离是 $|RO|$.如果 $x'$ 轴和 $x$ 轴用相同的标尺,那么 $R$ 在斜坐标系中的坐标应该是 $(|RO|, 0)$.但是,如果 $x'$ 轴和 $x$ 轴所用的标尺不一样,那么 $R$ 在斜坐标系中的坐标 $(R_{x'},0)$ 就不再等于 $(|RO|, 0)$.这个时候,为了方便描述斜坐标系的标尺,我们引入一个新的概念:拉伸比例

   如果把 $x'$ 轴看成可压缩和伸长的轴线,那么当它被拉伸时,其标尺 “密度” 会下降,也就是说,$x'$ 轴上标尺数值为 $1$ 的点到 $O$ 的距离会越来越大.$x'$ 轴伸长的比例,被称为 $x'$ 轴的拉伸比例,大小为 $|RO|/R_{x'}$.这样一来,如果 $x'$ 轴的拉伸比例是 $r_x$,那么在直角坐标系中 $x'$ 轴上长度为 $L$ 的线段,在斜坐标系中长度就是 $L/r_x$.

   设有点 $P$,其直角坐标为 $(x_0, y_0)$,斜坐标为 $(x'_0, y_0')$.在直角坐标系中,把两条斜坐标轴和两条平行斜坐标轴而穿过 $P$ 的直线方程写出来,分别联立,可以解出 $P$ 的斜坐标投影的直角坐标,进而得到投影点在直角坐标系中到 $O$ 的长度,将其除以拉伸比例后即可得到相应的 $x'$ 和 $y'$ 坐标.

例 1 斜坐标系的转化

   对于在直角坐标系中的斜率分别为 $T_x=\tan{\theta_x}$ 和 $T_y=\cot{\theta_y}$,也相交于原点 $O$ 的斜坐标轴,若 $x'$ 和 $y'$ 的拉伸比例分别为 $r_x$ 和 $r_y$,且点 $P$ 的直角坐标为 $(x_0, y_0)$,求证 $P$ 的斜坐标为 $(x_0', y_0')=(\frac{y_0-T_yx_0}{T_x-T_y}\cdot\frac{\sqrt{1+T_x^2}}{r_x}, \frac{x_0-T_xy_0}{T_y-T_x}\cdot\frac{\sqrt{1+T_y^2}}{r_y})$

   证明:

   $x'$ 轴在直角坐标系中的表达式为 $y=T_xx$,将它和过 $P$ 且平行于 $y'$ 轴的直线 $y=T_yx+y_0-T_yx_0$ 联立,解得 $P$ 在 $x'$ 轴上投影的位置 $(\frac{y_0-T_yx_0}{T_x-T_y}, \frac{y_0-T_yx_0}{T_x-T_y}\cdot T_x)$,其到 $O$ 的距离为 $\frac{y_0-T_yx_0}{T_x-T_y}\cdot\sqrt{1+T_x^2}$.考虑到拉伸比例 $r_x$,可知 $P$ 在斜坐标系中的 $x'$ 坐标为:$\frac{y_0-T_yx_0}{T_x-T_y}\cdot\sqrt{1+T_x^2}/r_x$.

   同理可解得1$P$ 在斜坐标系中的 $y'$ 坐标为:$\frac{x_0-T_xy_0}{T_y-T_x}\cdot\sqrt{1+T_y^2}/r_y$.

   证毕.

2. 与几何向量的联系

   把直角坐标系中的点 $P=(x_0, y_0)$ 可以看成是从原点 $O$ 指向 $P$ 的向量 $\overrightarrow{OP}$.令沿着 $x$ 轴正方向的单位向量为 $\mathbb{e_x}$,沿着 $y$ 轴正方向的单位向量为 $\mathbb{e_y}$,那么有 $\overrightarrow{OP}=x_0\mathbb{e_x}+y_o\mathbb{e_y}$.

   从原点出发给定 $x'$ 轴,$y'$ 轴,以及它们的拉伸比例 $r_x$,$r_y$.令沿着 $x'$ 轴正方向的单位向量为 $\mathbb{e_{x'}}$,沿着 $y'$ 轴正方向的单位向量为 $\mathbb{e_{y'}}$,点 $P$ 在此斜坐标系中的坐标为 $(x_0',y_0')$,那么有 $\overrightarrow{OP}=x'_0r_x\mathbb{e_{x'}}+y'_or_y\mathbb{e_{y'}}$.

   也就是说,斜坐标可以看成是以 $r_x\mathbb{e_{x'}}$ 和 $r_y\mathbb{e_{y'}}$ 作为基底来表达的 $\overrightarrow{OP}$ 的分量.


1. ^ 也可以利用对称性,将上式中一切 $x$ 和 $y$ 对换得到.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利