三维空间中的曲面

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　切空间（欧几里得空间）

1. 光滑曲面

　　 在欧几里得 Rn 中定义一个连续函数，对于任意实数 a∈R，满足方程 f=a 的全体点的集合 {(x,y,z)|f(x,y,z)=a} 就构成一个曲面（surface）。

　　 当 f 是光滑函数时，以上曲面又被称为光滑曲面（smooth surface）。

　　 通常，由于 f 加减一个常数以后不会改变其连续性和光滑性，因此我们常使用 f=0 来作为定义曲面的方式。对于上述 f=a 的曲面，只需要令 g=f−a，就可以用 g=0 来表示 f=a 的曲面了。

2. 三维空间中的正则曲面

　　 古典微分几何中主要研究的对象是三维空间中的正则曲面。直观来说，正则曲面就是没有折痕、没有尖角、不会和自身相交的曲面，这样我们可以肆无忌惮地在上面应用微积分的工具来进行研究。为了引出正则曲面的严格定义，我们需要先引出以下概念：

定义 1　微分

　　 给定光滑映射 f:Rm→Rn，并给定 p∈Rm，那么 f 在 p 处的一个微分（differential）被定义为切空间 TpRm 到 TpRn 的映射，且是 f 的 Jacobi 矩阵。函数 f 在点 p 处的的微分记为 dfp。

　　 注意，下标 p 是作为整个 df 符号的下标，而不仅仅是 f 符号的下标。

　　 换一种说法，映射 f 把道路映射为道路，而我们在切空间（欧几里得空间）文章里强调过，道路就是切向量，因此这个道路到道路的映射就被称为 f 的微分。从这个角度来理解，还可以很容易地引入曲面之间乃至流形之间的微分，就不赘述了。

定义 2　局部坐标系

　　 对于集合 V∈R3，如果存在一个映射 x:U→V，其中 U 是二维平面R2 的单连通开集，满足以下三个条件：

  • x 看成三个标量函数（即三个分量）时，这三个分量函数都是 R2 上偏导连续的。
  • x 是 U 和 V 的同胚。
  • 对于任意 p∈U，微分 dxp 是一个双射。

　　 则称 x 是一个局部坐标系（reparametrization）。

　　 由于定义中要求 x 的三个分量都是偏导连续的，U 和 V 同胚，故 V 必然是一个连续可微的曲面。

　　 有了局部坐标系就可以定义正则曲面了：

定义 3　正则曲面

　　 给定集合 S∈R3。如果对于任意 p∈S，都存在一个 R3 的开集 V∋p，和 R2 的开集 U，能构造出一个局部坐标系x:U→V∩S，那么称 S 是一个正则曲面（regular surface）。

　　 定义中为什么要用一个三维空间中的邻域 V 和 S 相交来构造局部坐标系，而不是直接用 S 上的集合呢？这一方面是因为 S 上限制拓扑的定义就是这样来的，另一方面是因为这样可以排除掉曲面和自身相交等情况。

3. 正则点和临界点

定义 4　

　　 任取连续函数 f:Rm→Rn，如果 dfp不是满射，那么称 p 是 Rm 上的临界点（critical point），而 f(p) 就是临界值（critical value）。有时也称临界点为驻点、稳定点等。非临界点的点被称为正则点（regular point），其映射值也为正则值（regular value）。

　　 4 与正则点相关的一个重要定理是如下。

定理 1　

　　 对于连续函数 f:R3→R，如果 p 是正则点，那么集合 f−1(f(p)) 为一个正则曲面。


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