三维空间中的曲面

             

贡献者: JierPeter

预备知识 切空间(欧几里得空间)

1. 光滑曲面

   在欧几里得 $\mathbb{R}^n$ 中定义一个连续函数,对于任意实数 $a\in\mathbb{R}$,满足方程 $f=a$ 的全体点的集合 $\{(x, y, z)|f(x, y, z)=a\}$ 就构成一个曲面(surface)

   当 $f$ 是光滑函数时,以上曲面又被称为光滑曲面(smooth surface)

   通常,由于 $f$ 加减一个常数以后不会改变其连续性和光滑性,因此我们常使用 $f=0$ 来作为定义曲面的方式.对于上述 $f=a$ 的曲面,只需要令 $g=f-a$,就可以用 $g=0$ 来表示 $f=a$ 的曲面了.

2. 三维空间中的正则曲面

   古典微分几何中主要研究的对象是三维空间中的正则曲面.直观来说,正则曲面就是没有折痕、没有尖角、不会和自身相交的曲面,这样我们可以肆无忌惮地在上面应用微积分的工具来进行研究.为了引出正则曲面的严格定义,我们需要先引出以下概念:

定义 1 微分

   给定光滑映射 $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$,并给定 $p\in\mathbb{R}^m$,那么 $f$ 在 $p$ 处的一个微分(differential)被定义为切空间 $T_p\mathbb{R}^m$ 到 $T_p\mathbb{R}^n$ 的映射,且是 $f$ 的 Jacobi 矩阵.函数 $f$ 在点 $p$ 处的的微分记为 $ \,\mathrm{d}{f} _p$.

   注意,下标 $p$ 是作为整个 $ \,\mathrm{d}{f} $ 符号的下标,而不仅仅是 $f$ 符号的下标.

   换一种说法,映射 $f$ 把道路映射为道路,而我们在切空间(欧几里得空间)词条里强调过,道路就是切向量,因此这个道路到道路的映射就被称为 $f$ 的微分.从这个角度来理解,还可以很容易地引入曲面之间乃至流形之间的微分,就不赘述了.

定义 2 局部坐标系

   对于集合 $V\in \mathbb{R}^3$,如果存在一个映射 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U\to V$,其中 $U$ 是二维平面$\mathbb{R}^2$ 的单连通开集,满足以下三个条件:

  • $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 看成三个标量函数(即三个分量)时,这三个分量函数都是 $\mathbb{R}^2$ 上偏导连续的.
  • $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是 $U$ 和 $V$ 的同胚.
  • 对于任意 $p\in U$,微分 $\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{x}} _p$ 是一个双射.

   则称 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是一个局部坐标系(reparametrization)

   由于定义中要求 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的三个分量都是偏导连续的,$U$ 和 $V$ 同胚,故 $V$ 必然是一个连续可微的曲面.

   有了局部坐标系就可以定义正则曲面了:

定义 3 正则曲面

   给定集合 $S\in\mathbb{R}^3$.如果对于任意 $p\in S$,都存在一个 $\mathbb{R}^3$ 的开集 $V\ni p$,和 $\mathbb{R}^2$ 的开集 $U$,能构造出一个局部坐标系$ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U\to V\cap S$,那么称 $S$ 是一个正则曲面(regular surface)

   定义中为什么要用一个三维空间中的邻域 $V$ 和 $S$ 相交来构造局部坐标系,而不是直接用 $S$ 上的集合呢?这一方面是因为 $S$ 上限制拓扑的定义就是这样来的,另一方面是因为这样可以排除掉曲面和自身相交等情况.

3. 正则点和临界点

定义 4 

   任取连续函数 $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$,如果 $ \,\mathrm{d}{f} _p$不是满射,那么称 $p$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的临界点(critical point),而 $f(p)$ 就是临界值(critical value).有时也称临界点为驻点稳定点等.非临界点的点被称为正则点(regular point),其映射值也为正则值(regular value)

   4 与正则点相关的一个重要定理是如下.

定理 1 

   对于连续函数 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$,如果 $p$ 是正则点,那么集合 $f^{-1}(f(p))$ 为一个正则曲面.


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