贡献者： JierPeter
1. 光滑曲面
在欧几里得 $\mathbb{R}^n$ 中定义一个连续函数，对于任意实数 $a\in\mathbb{R}$，满足方程 $f=a$ 的全体点的集合 $\{(x, y, z)|f(x, y, z)=a\}$ 就构成一个曲面（surface）。
当 $f$ 是光滑函数时，以上曲面又被称为光滑曲面（smooth surface）。
通常，由于 $f$ 加减一个常数以后不会改变其连续性和光滑性，因此我们常使用 $f=0$ 来作为定义曲面的方式。对于上述 $f=a$ 的曲面，只需要令 $g=f-a$，就可以用 $g=0$ 来表示 $f=a$ 的曲面了。
2. 三维空间中的正则曲面
古典微分几何中主要研究的对象是三维空间中的正则曲面。直观来说，正则曲面就是没有折痕、没有尖角、不会和自身相交的曲面，这样我们可以肆无忌惮地在上面应用微积分的工具来进行研究。为了引出正则曲面的严格定义，我们需要先引出以下概念：
定义 1 微分
给定光滑映射 $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$，并给定 $p\in\mathbb{R}^m$，那么 $f$ 在 $p$ 处的一个微分（differential）被定义为切空间 $T_p\mathbb{R}^m$ 到 $T_p\mathbb{R}^n$ 的映射，且是 $f$ 的 Jacobi 矩阵。函数 $f$ 在点 $p$ 处的的微分记为 $ \,\mathrm{d}{f} _p$。
注意，下标 $p$ 是作为整个 $ \,\mathrm{d}{f} $ 符号的下标，而不仅仅是 $f$ 符号的下标。
换一种说法，映射 $f$ 把道路映射为道路，而我们在切空间（欧几里得空间）文章里强调过，道路就是切向量，因此这个道路到道路的映射就被称为 $f$ 的微分。从这个角度来理解，还可以很容易地引入曲面之间乃至流形之间的微分，就不赘述了。
定义 2 局部坐标系
对于集合 $V\in \mathbb{R}^3$，如果存在一个映射 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U\to V$，其中 $U$ 是二维平面$\mathbb{R}^2$ 的单连通开集，满足以下三个条件：
- $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 看成三个标量函数（即三个分量）时，这三个分量函数都是 $\mathbb{R}^2$ 上偏导连续的。
- $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是 $U$ 和 $V$ 的同胚。
- 对于任意 $p\in U$，微分 $\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{x}} _p$ 是一个双射。
则称 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是一个局部坐标系（reparametrization）。
由于定义中要求 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的三个分量都是偏导连续的，$U$ 和 $V$ 同胚，故 $V$ 必然是一个连续可微的曲面。
有了局部坐标系就可以定义正则曲面了：
定义 3 正则曲面
给定集合 $S\in\mathbb{R}^3$。如果对于任意 $p\in S$，都存在一个 $\mathbb{R}^3$ 的开集 $V\ni p$，和 $\mathbb{R}^2$ 的开集 $U$，能构造出一个局部坐标系$ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U\to V\cap S$，那么称 $S$ 是一个正则曲面（regular surface）。
定义中为什么要用一个三维空间中的邻域 $V$ 和 $S$ 相交来构造局部坐标系，而不是直接用 $S$ 上的集合呢？这一方面是因为 $S$ 上限制拓扑的定义就是这样来的，另一方面是因为这样可以排除掉曲面和自身相交等情况。
3. 正则点和临界点
定义 4
任取连续函数 $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$，如果 $ \,\mathrm{d}{f} _p$不是满射，那么称 $p$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的临界点（critical point），而 $f(p)$ 就是临界值（critical value）。有时也称临界点为驻点、稳定点等。非临界点的点被称为正则点（regular point），其映射值也为正则值（regular value）。
4
与正则点相关的一个重要定理是如下。
定理 1
对于连续函数 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$，如果 $p$ 是正则点，那么集合 $f^{-1}(f(p))$ 为一个正则曲面。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。