可定向曲面

             

贡献者: JierPeter

预备知识 三维空间中的曲面

   对于曲面 $S$ 上一点 $p$,其附近可能存在两个不同的局部坐标系 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U_x\to V_x$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} :U_y\to V_y$,其中 $p\in V_x\cap V_y$.因此,这两个局部坐标系的交集非空.如果记 $W= \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{-1}(U_x)\cap \boldsymbol{\mathbf{y}} ^{-1}(U_y)$,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 都是 $W\to V_x\cap V_y$ 的局部坐标系.

   由于局部坐标系是同胚,我们由此得到了两个 $W$ 到自身的自同胚,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} \circ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} \circ \boldsymbol{\mathbf{x}} $.这两个自同胚都是二维欧几里得空间之间的映射,因此可以计算其 Jacobi 矩阵.回忆 Jacobi 矩阵的几何意义,我们发现它可以用来描述区域的方向——就是说,当 Jacobi 矩阵为正的时候,映射不会 “翻转” 被映射的区域,但是 Jacobi 矩阵为负的时候,区域则被映射 “翻转” 了.

   由此我们可以严格讨论什么是可定向曲面了.

定义 1 可定向曲面

   给定一个正则曲面 $S$,如果我们可以用一族局部坐标系 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\}$ 完全覆盖 $S$1,且任意两个局部坐标系之间,如果交集非空,则 Jacobi 矩阵必恒正的,那么我们说这是一个可定向曲面(oriented surface).如果不存在这样的一族局部坐标系,那么我们说这个曲面是不可定向的(nonorientable)

   莫比乌斯带就是一个常见的不可定向曲面.

   判断一个曲面是否可定向,可以使用以下定理:

定理 1 曲面可定向的充要条件

   一个正则曲面 $S\subseteq \mathbb{R}^3$ 可定向,当且仅当,其上存在一个可微的单位法向量场

   这个条件包含三个部分,“可微” 的,“单位” 以及 “法向量”.“法向量” 意味着这个向量场里的每一个向量都垂直于曲面,“单位” 意味着这些法向量的长度都是 $1$,而 “可微” 意味着,任取曲面的局部坐标系,这个法向量场可以看成坐标系里的一个向量值函数,而这个向量值函数是连续的.

   这一充要条件还引出了表示曲面定向的方法:

定义 2 曲面的定向

   可定向曲面 $S$ 上有且仅有两个不同的可微单位法向量场,都被称为 $S$ 的定向(orientation)

   最常见的一种可定向曲面,是用函数定义的.

定理 2 

   如果一个正则曲面 $S$ 是由连续可微函数 $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ 定义的,即 $S=\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} \in\mathbb{R}|f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=0\}$,且 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是 $f$ 的一个正则点,那么 $S$ 必是可定向的.


1. ^ 即对于任意 $p\in S$,总存在一个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _p$ 包含 $p$.


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