可定向曲面

贡献者： JierPeter

　　 对于曲面 $S$ 上一点 $p$，其附近可能存在两个不同的局部坐标系 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U_x\to V_x$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} :U_y\to V_y$，其中 $p\in U_x\cap U_y$。因此，这两个局部坐标系的交集非空。如果记 $W= \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{-1}(V_x)\cap \boldsymbol{\mathbf{y}} ^{-1}(V_y)$，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 都是 $W\to V_x\cap V_y$ 的局部坐标系。

　　 由于局部坐标系是同胚，我们由此得到了两个 $W$ 到自身的自同胚，$ \boldsymbol{\mathbf{x^{-1}}} \circ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y^{-1}}} \circ \boldsymbol{\mathbf{x}} $。这两个自同胚都是二维欧几里得空间之间的映射，因此可以计算其 Jacobi 矩阵。回忆 Jacobi 矩阵的几何意义，我们发现它可以用来描述区域的方向——就是说，当 Jacobi 行列式为正的时候，映射不会 “翻转” 被映射的区域，但是 Jacobi 行列式为负的时候，区域则被映射 “翻转” 了。

　　 由此我们可以严格讨论什么是可定向曲面了。

　　 莫比乌斯带就是一个常见的不可定向曲面。

　　 判断一个曲面是否可定向，可以使用以下定理：

　　 这个条件包含三个部分，“可微” 的，“单位” 以及 “法向量”。“法向量” 意味着这个向量场里的每一个向量都垂直于曲面，“单位” 意味着这些法向量的长度都是 $1$，而 “可微” 意味着，任取曲面的局部坐标系，这个法向量场可以看成坐标系里的一个向量值函数，而这个向量值函数是连续的。

　　 这一充要条件还引出了表示曲面定向的方法：

　　 最常见的一种可定向曲面，是用函数定义的。

1. ^ 即对于任意 $p\in S$，总存在一个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _p$ 包含 $p$。