可定向曲面
贡献者: JierPeter
对于曲面 上一点 ,其附近可能存在两个不同的局部坐标系 和 ,其中 。因此,这两个局部坐标系的交集非空。如果记 , 和 都是 的局部坐标系。
由于局部坐标系是同胚,我们由此得到了两个 到自身的自同胚, 和 。这两个自同胚都是二维欧几里得空间之间的映射,因此可以计算其 Jacobi 矩阵。回忆 Jacobi 矩阵的几何意义,我们发现它可以用来描述区域的方向——就是说,当 Jacobi 行列式为正的时候,映射不会 “翻转” 被映射的区域,但是 Jacobi 行列式为负的时候,区域则被映射 “翻转” 了。
由此我们可以严格讨论什么是可定向曲面了。
定义 1 可定向曲面
给定一个正则曲面 ,如果我们可以用一族局部坐标系 完全覆盖 1,且任意两个局部坐标系之间,如果交集非空,则 Jacobi 行列式必恒正的,那么我们说这是一个可定向曲面(oriented surface)。如果不存在这样的一族局部坐标系,那么我们说这个曲面是不可定向的(nonorientable)。
莫比乌斯带就是一个常见的不可定向曲面。
判断一个曲面是否可定向,可以使用以下定理:
定理 1 曲面可定向的充要条件
一个正则曲面 可定向,当且仅当,其上存在一个可微的单位法向量场。
这个条件包含三个部分,“可微” 的,“单位” 以及 “法向量”。“法向量” 意味着这个向量场里的每一个向量都垂直于曲面,“单位” 意味着这些法向量的长度都是 ,而 “可微” 意味着,任取曲面的局部坐标系,这个法向量场可以看成坐标系里的一个向量值函数,而这个向量值函数是连续的。
这一充要条件还引出了表示曲面定向的方法:
定义 2 曲面的定向
可定向曲面 上有且仅有两个不同的可微单位法向量场,都被称为 的定向(orientation)。
最常见的一种可定向曲面,是用函数定义的。
定理 2
如果一个正则曲面 是由连续可微函数 定义的,即 ,且 是 的一个正则点,那么 必是可定向的。
1. ^ 即对于任意 ,总存在一个 包含 。
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