贡献者： 零穹
本节将说明自治系统（定义 2 ）解的两个性质，其中一个性质在物理上相当于说不同场线不相交。一般的自治系统的对应的标准方程组（定义 1 ）可写为
\begin{equation}
y'_i=f_i(y_1,\cdots,y_n),\quad i=1,\cdots,n~.
\end{equation}
采用矢量写法为
\begin{equation}
y'=f(y)~,
\end{equation}
其中 $y=(y_1,\cdots,y_n),f=(f_1,\cdots,f_n)$。与 “
基本知识（常微分方程）” 中类似，我们总假定 $f_i(y_1,\cdots,y_n)$ 及其一阶偏导数在其定义区间（记为 $\Delta$）上连续。约定：当出现关于指标 $i$ 的表达式而不指出其取值范围时，就代表对每个 $i$ 所能取的值表达式均成立。
定理 1
若 $y_i=\varphi_i(x)$ 是方程组式 1 的解，则 $y_i=\varphi^*_i(x)=\varphi_i(x+c)$ 也是方程组式 1 的解，其中 $c$ 是任意常数。
证明：由复合函数求导法则，成立
\begin{equation}
\begin{aligned}
{\varphi^*_i}'(x)&= \frac{\mathrm{d}{\varphi^*_i(x)}}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}{\varphi_i(x+c)}}{\mathrm{d}{x}} \\
&= \frac{\mathrm{d}{\varphi_i(x+c)}}{\mathrm{d}{(x+c)}} \frac{\mathrm{d}{(x+c)}}{\mathrm{d}{x}} =\varphi'_i(x+c)~.
\end{aligned}
\end{equation}
由于 $y_i=\varphi_i(x)$ 是解，所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
\varphi'_i(x+c)=f_i(\varphi_1(x+c),\cdots,\varphi_n(x+c))~,
\end{aligned}
\end{equation}
恒成立。
式 3 带入上式，即得
\begin{equation}
{\varphi^*_i}'(x)=f_i(\varphi^*_1(x),\cdots,\varphi^*_n(x))~.
\end{equation}
证毕！
显然，若解 $\varphi_1(x)$ 有最大存在区间 $(m_1,m_2)$，则 $\varphi^*(x)$ 有最大存在区间 $(m_1-c,m_2-c)$.
自治系统（式 1 ）的解定义在 $n$ 维空间上，随 $x$ 的变化 $y^i$ 在空间描出一条曲线，这条曲线称为轨线。若把解看成轨线而非运动过程，则需要指出在轨线上指出运动的方向，因为相反的运动方向式 1 右边差一负号。
定理 2 不同轨线不相交
若两轨线 $\varphi_i,\psi_i$ 有一公共点，即 $\varphi_i(x_1)=\psi_i(x_1)$，则
\begin{equation}
\psi_i(x)=\varphi_i(x+x_1-x_2)~.
\end{equation}
也就是说两轨线相合。
证明：由定理 1 ，$\varphi^*_i(x)=\varphi_i(x+x_1-x_2)$ 也是解。由于 $\varphi^*_i(x_2)=\varphi_i(x_1)=\phi_i(x_2)$，知 $\varphi^*_i,\phi_i$ 有相同初始值 $x_2$。根据唯一性定理，它们是相同的。即式 6 成立。
证毕！
在物理中，物理系统的哈密顿函数 $H$ 定义了物理系统在相空间的矢量场 $( \frac{\partial H}{\partial p_i} ,- \frac{\partial H}{\partial q_i} )$ , 物理系统满足正则方程（式 5 ）：
\begin{equation}
\dot q_i= \frac{\partial H}{\partial p_i} ,\quad \dot o_i=- \frac{\partial H}{\partial q_i} ~.
\end{equation}
若令 $x=t,y=(q_1,\cdots,q_n,p_1,\cdots,p_n),f=( \frac{\partial H}{\partial p_1} ,\cdots, \frac{\partial H}{\partial p_n} ,- \frac{\partial H}{\partial q_1,\cdots,- \frac{\partial H}{\partial q_n} } )$，则上式成为常微分方程组
式 2 ，正则方程的解也称为物理系统的场线（由于正则方程和场方程，亦即欧拉拉格朗日方程等价）。
定理 2 表明物理系统不同的场线不相交。
人们一般熟悉电磁场的场线的概念，其上点的切线方向和电磁场在该点的方向相同，若用 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 表示电磁场（电场或磁场），那么其场线满足方程
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{A_x}=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{A_y}=\frac{ \,\mathrm{d}{z} }{A_z}~,
\end{equation}
上式等价于
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{s}} =A_x,\quad \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{s}} =A_y,\quad \frac{\mathrm{d}{z}}{\mathrm{d}{s}} =A_z~,
\end{equation}
其中 $s$ 代表场线的参数，也可以想象为弧长参量，可以发现，它只是
式 2 的一个特例。
定理 2 再次表明了我们的论断。
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