自治系统解的特点

                     

贡献者： 零穹

　　 本节将说明自治系统（定义 2 ）解的两个性质，其中一个性质在物理上相当于说不同场线不相交。一般的自治系统的对应的标准方程组（定义 1 ）可写为

采用矢量写法为 其中 $y=(y_1,\cdots ,y_n),f=(f_1,\cdots ,f_n)$。与 “基本知识（常微分方程）” 中类似，我们总假定 $f_i(y_1,\cdots ,y_n)$ 及其一阶偏导数在其定义区间（记为 $\mathrm{\Delta }$）上连续。约定：当出现关于指标 $i$ 的表达式而不指出其取值范围时，就代表对每个 $i$ 所能取的值表达式均成立。

　　 证明：由复合函数求导法则，成立

由于 $y_i={\phi }_i(x)$ 是解，所以 恒成立。式 3 带入上式，即得

　　 证毕！

　　 显然，若解 ${\phi }_1(x)$ 有最大存在区间 $(m_1,m_2)$，则 ${\phi }^{\ast }(x)$ 有最大存在区间 $(m_1-c,m_2-c)$.

　　 自治系统（式 1 ）的解定义在 $n$ 维空间上，随 $x$ 的变化 $y^i$ 在空间描出一条曲线，这条曲线称为轨线。若把解看成轨线而非运动过程，则需要指出在轨线上指出运动的方向，因为相反的运动方向式 1 右边差一负号。

　　 证明：由定理 1 ，${\phi }_i^{\ast }(x)={\phi }_i(x+x_1-x_2)$ 也是解。由于 ${\phi }_i^{\ast }(x_2)={\phi }_i(x_1)={\varphi }_i(x_2)$，知 ${\phi }_i^{\ast },{\varphi }_i$ 有相同初始值 $x_2$。根据唯一性定理，它们是相同的。即式 6 成立。

　　 证毕！

　　 在物理中，物理系统的哈密顿函数 $H$ 定义了物理系统在相空间的矢量场 $(\frac{\partial H}{\partial p_i},-\frac{\partial H}{\partial q_i})$ , 物理系统满足正则方程（式 5 ）：

若令 $x=t,y=(q_1,\cdots ,q_n,p_1,\cdots ,p_n),f=(\frac{\partial H}{\partial p_1},\cdots ,\frac{\partial H}{\partial p_n},-\frac{\partial H}{\partial q_1,\cdots ,-\frac{\partial H}{\partial q_n}})$，则上式成为常微分方程组式 2 ，正则方程的解也称为物理系统的场线（由于正则方程和场方程，亦即欧拉拉格朗日方程等价）。定理 2 表明物理系统不同的场线不相交。

　　 人们一般熟悉电磁场的场线的概念，其上点的切线方向和电磁场在该点的方向相同，若用 $\mathbf{A}$ 表示电磁场（电场或磁场），那么其场线满足方程

上式等价于 其中 $s$ 代表场线的参数，也可以想象为弧长参量，可以发现，它只是式 2 的一个特例。定理 2 再次表明了我们的论断。