自治系统解的特点

                     

贡献者: 零穹

预备知识 基本知识(常微分方程)

   本节将说明自治系统(定义 2 )解的两个性质,其中一个性质在物理上相当于说不同场线不相交。一般的自治系统的对应的标准方程组(定义 1 )可写为

\begin{equation} y'_i=f_i(y_1,\cdots,y_n),\quad i=1,\cdots,n~. \end{equation}
采用矢量写法为
\begin{equation} y'=f(y)~, \end{equation}
其中 $y=(y_1,\cdots,y_n),f=(f_1,\cdots,f_n)$。与 “基本知识(常微分方程)” 中类似,我们总假定 $f_i(y_1,\cdots,y_n)$ 及其一阶偏导数在其定义区间(记为 $\Delta$)上连续。约定:当出现关于指标 $i$ 的表达式而不指出其取值范围时,就代表对每个 $i$ 所能取的值表达式均成立。

定理 1 

   若 $y_i=\varphi_i(x)$ 是方程组式 1 的解,则 $y_i=\varphi^*_i(x)=\varphi_i(x+c)$ 也是方程组式 1 的解,其中 $c$ 是任意常数。

   证明:复合函数求导法则,成立

\begin{equation} \begin{aligned} {\varphi^*_i}'(x)&= \frac{\mathrm{d}{\varphi^*_i(x)}}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}{\varphi_i(x+c)}}{\mathrm{d}{x}} \\ &= \frac{\mathrm{d}{\varphi_i(x+c)}}{\mathrm{d}{(x+c)}} \frac{\mathrm{d}{(x+c)}}{\mathrm{d}{x}} =\varphi'_i(x+c)~. \end{aligned} \end{equation}
由于 $y_i=\varphi_i(x)$ 是解,所以
\begin{equation} \begin{aligned} \varphi'_i(x+c)=f_i(\varphi_1(x+c),\cdots,\varphi_n(x+c))~, \end{aligned} \end{equation}
恒成立。式 3 带入上式,即得
\begin{equation} {\varphi^*_i}'(x)=f_i(\varphi^*_1(x),\cdots,\varphi^*_n(x))~. \end{equation}

   证毕!

   显然,若解 $\varphi_1(x)$ 有最大存在区间 $(m_1,m_2)$,则 $\varphi^*(x)$ 有最大存在区间 $(m_1-c,m_2-c)$.

   自治系统(式 1 )的解定义在 $n$ 维空间上,随 $x$ 的变化 $y^i$ 在空间描出一条曲线,这条曲线称为轨线。若把解看成轨线而非运动过程,则需要指出在轨线上指出运动的方向,因为相反的运动方向式 1 右边差一负号。

定理 2 不同轨线不相交

   若两轨线 $\varphi_i,\psi_i$ 有一公共点,即 $\varphi_i(x_1)=\psi_i(x_1)$,则

\begin{equation} \psi_i(x)=\varphi_i(x+x_1-x_2)~. \end{equation}
也就是说两轨线相合。

   证明:定理 1 ,$\varphi^*_i(x)=\varphi_i(x+x_1-x_2)$ 也是解。由于 $\varphi^*_i(x_2)=\varphi_i(x_1)=\phi_i(x_2)$,知 $\varphi^*_i,\phi_i$ 有相同初始值 $x_2$。根据唯一性定理,它们是相同的。即式 6 成立。

   证毕!

   在物理中,物理系统的哈密顿函数 $H$ 定义了物理系统在相空间的矢量场 $( \frac{\partial H}{\partial p_i} ,- \frac{\partial H}{\partial q_i} )$ , 物理系统满足正则方程(式 5 ):

\begin{equation} \dot q_i= \frac{\partial H}{\partial p_i} ,\quad \dot o_i=- \frac{\partial H}{\partial q_i} ~. \end{equation}
若令 $x=t,y=(q_1,\cdots,q_n,p_1,\cdots,p_n),f=( \frac{\partial H}{\partial p_1} ,\cdots, \frac{\partial H}{\partial p_n} ,- \frac{\partial H}{\partial q_1,\cdots,- \frac{\partial H}{\partial q_n} } )$,则上式成为常微分方程组式 2 ,正则方程的解也称为物理系统的场线(由于正则方程和场方程,亦即欧拉拉格朗日方程等价)。定理 2 表明物理系统不同的场线不相交。

   人们一般熟悉电磁场的场线的概念,其上点的切线方向和电磁场在该点的方向相同,若用 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 表示电磁场(电场或磁场),那么其场线满足方程

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{A_x}=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{A_y}=\frac{ \,\mathrm{d}{z} }{A_z}~, \end{equation}
上式等价于
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{s}} =A_x,\quad \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{s}} =A_y,\quad \frac{\mathrm{d}{z}}{\mathrm{d}{s}} =A_z~, \end{equation}
其中 $s$ 代表场线的参数,也可以想象为弧长参量,可以发现,它只是式 2 的一个特例。定理 2 再次表明了我们的论断。


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