等压过程

贡献者： FFjet; addis

预备知识　理想气体状态方程

　　等压过程的特征是系统的压强保持不变，即 $P$ 为常量， $d P = 0$ 。设想气缸连续地与一系列有微小温度差的恒温热源相接触，同时活塞上所加的外力保持不变。那么接触产生什么效果呢？就是将有微小的热量传给气体，使气体温度稍微升高，气体对活塞的压强也随之较外界所施的压强增加一微量，于是稍微推动活塞对外做功。由于体积的膨胀，压强降低，从而保证气体在内、外压强的量值保持不变的情况下进行膨胀。所以这一准静态过程是一个等压过程（isobaric process），如图 1 所示。

图 1：气体的等压过程

　　现在我们来计算气体的体积增加 $d V$ 时所做的功 $d W$ 。根据理想气体状态方程，如果气体的体积从 $V$ 增加到 $V + d V$ ，温度从 $T$ 增加到 $T + d T$ ，那么气体所做的功

\begin{matrix} (1) & d W = P d V = \frac{m}{M} R d T . \end{matrix}

图 2：等压过程中功的计算

　　根据热力学第一定律，系统吸收的热量为

\begin{matrix} (2) & d Q_{P} = d E + \frac{m}{M} R d T . \end{matrix}

式中，下角标

P

表示压强不变。当气体从状态

I (P, V_{1}, T_{1})

等压地变为状态

II (P, V_{2}, T_{2})

时，气体对外做功为

\begin{matrix} (3) & W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P d V = P (V_{2} - V_{1}), \end{matrix}

或写成

\begin{matrix} (4) & W = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{m}{M} R d T = \frac{m}{M} R (T_{2} - T_{1}) . \end{matrix}

所以，整个过程中传递的热量为

\begin{matrix} (5) & Q_{P} = E_{2} - E_{1} + \frac{m}{M} R (T_{2} - T_{1}) . \end{matrix}

　　气体在等压膨胀过程中，所吸收的热量的一部分用来增加内能，另一部分用于气体对外做功；气体在等压压缩过程中，外界对气体做功，同时内能减小，其和等于放出的热量。

　　我们把 $1 mol$ 气体在压强不变的条件下，温度改变 $1 K$ 所需要的热量叫做气体的摩尔定压热容（molar heat capacity at constant pressure），用 $C_{P, m}$ 表示，即

\begin{matrix} (6) & C_{P, m} = \frac{d Q_{P}}{\frac{m}{M} d T} . \end{matrix}

根据这个定义可得

\begin{matrix} (7) & d Q_{P} = \frac{m}{M} C_{P, m} d T . \end{matrix}

又因

\begin{matrix} (8) & E_{2} - E_{1} = \frac{m}{M} C_{V, m} (T_{2} - T_{1}), \end{matrix}

我们得到

\begin{matrix} (9) & C_{P, m} = C_{V, m} + R . \end{matrix}

　　式 9 叫做迈耶（J. R. Meyer）公式。它的意义是， $1 m o l$ 理想气体温度升高 $1 K$ 时，在等压过程中比在等体过程中要多吸收 $8. 31 J$ 的热量。这部分热量去哪了呢？当然是转化为对外所做的膨胀功。由此可见，普适气体常量 $R$ 等于 $1 m o l$ 理想气体在等压过程中温度升高 $1 K$ 对外所做的功。因 $C_{v, m} = i R / 2$ ，从式 9 可知

\begin{matrix} (10) & C_{P, m} = \frac{i}{2} R + R = \frac{i + 2}{2} R . \end{matrix}

　　摩尔定压热容 $C_{P, m}$ 与摩尔定容热容 $C_{V, m}$ 之比，用 $γ$ 表示，叫做[摩尔]热容比（ratio of [molar] heat capacity）或绝热指数，于是

\begin{matrix} (11) & γ = \frac{C_{P, m}}{C_{V, m}} = \frac{i + 2}{i} . \end{matrix}

　　根据式 11 不难算出：对于单原子分子气体， $γ = 5 / 3 \approx 1.67$ ；双原子刚性分子气体 $γ = 1.40$ ；多原子刚性分子气体 $γ \approx 1. 33$ 。它们也都只与气体分子的自由度有关，而与气体温度无关。

　　无论是定压热容，还是定容热容，它们的共同特点是体现了使物体温度发生变化的难易程度，热容大的物体同样升高 $1 K$ ，所需要的热量也多，这说明温度不易变化，所以物体的热容是其热惯性的量度。

　　我们来看几个例题加深一下对内容的理解。

例 1　温度计

　　用作测温的温度计，为了能和被测物体迅速达到热平衡，它的热容必须很小。

例 2　氮气加热

　　一气缸中贮有氮气，质量为 $1.25 k g$ ，在标准大气压下缓慢地加热，使温度升高 $1 K$ 。试求气体膨胀时所做的功 $W$ 、气体内能的增量 $Δ E$ 以及气体所吸收的热量 $Q_{P}$ 。（活塞的质量以及它与气缸壁的摩擦均可略去）。

　　因过程是等压的，所以

\begin{matrix} (12) & W = \frac{m}{M} R Δ T = \frac{1.25}{0.028} \times 8.31 \times 1 J = 371 J . \end{matrix}

而因为氮气的

i = 5

，所以

\begin{matrix} (13) & C_{V, m} = \frac{i}{2} R = 20.8 J / (mol \cdot K), \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (14) & Δ E = \frac{m}{M} C_{V, m} Δ T = \frac{1.25}{0.028} \times 20.8 \times 1 J = 929 J . \end{matrix}

所以，气体在这一过程中所吸收的热量为

\begin{matrix} (15) & Q_{P} = E_{2} - E_{1} + W = 1300 J . \end{matrix}

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等压过程

例 1 温度计

例 2 氮气加热

例 1　温度计

例 2　氮气加热