等压过程

             

预备知识 理想气体状态方程

   等压过程的特征是系统的压强保持不变,即 $p $ 为常量,$\mathrm dp =0$.设想气缸连续地与一系列有微小温度差的恒温热源相接触,同时活塞上所加的外力保持不变.那么接触产生什么效果呢?就是将有微小的热量传给气体,使气体温度稍微升高,气体对活塞的压强也随之较外界所施的压强增加一微量,于是稍微推动活塞对外做功.由于体积的膨胀,压强降低,从而保证气体在内、外压强的量值保持不变的情况下进行膨胀.所以这一准静态过程是一个等压过程(isobaric process),如图 1 所示.

图
图 1:气体的等压过程

   现在我们来计算气体的体积增加 $\mathrm d V $ 时所做的功 $\delta W$.根据理想气体状态方程,如果气体的体积从 $V $ 增加到 $V+\mathrm dV$,温度从 $T $ 增加到 $T+\mathrm dT$,那么气体所做的功

\begin{equation} \delta W=p \mathrm{d} V=\frac{m}{M} R \mathrm{d} T \end{equation}

图
图 2:等压过程中功的计算

   根据热力学第一定律,系统吸收的热量为

\begin{equation} \delta Q_{p}=\mathrm{d} E+\frac{m}{M} R \mathrm{d} T \end{equation}
式中,下角标 $p $ 表示压强不变.当气体从状态 $\mathrm I(p, V_1, T_1)$ 等压地变为状态 $\mathrm{II}(p, V_2,T_2)$ 时,气体对外做功为
\begin{equation} W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} p \mathrm{d} V=p\left(V_{2}-V_{1}\right) \end{equation}
或写成
\begin{equation} W=\int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{m}{M} R \mathrm{d} T=\frac{m}{M} R\left(T_{2}-T_{1}\right) \end{equation}
所以,整个过程中传递的热量为
\begin{equation} Q_{p}=E_{2}-E_{1}+\frac{m}{M} R\left(T_{2}-T_{1}\right) \end{equation}

   气体在等压膨胀过程中,所吸收的热量的一部分用来增加内能,另一部分用于气体对外做功;气体在等压压缩过程中,外界对气体做功,同时内能减小,其和等于放出的热量.

   我们把 $1\mathrm{mol}$ 气体在压强不变的条件下,温度改变 $1\mathrm K$ 所需要的热量叫做气体的摩尔定压热容(molar heat capacity at constant pressure),用 $C_{p,m}$ 表示,即

\begin{equation} C_{p, {m}}=\frac{\delta Q_{p}}{\frac{m}{M} \mathrm{d} T} \end{equation}
根据这个定义可得
\begin{equation} \delta Q_{p}=\frac{m}{M} C_{p, {m}} \mathrm{d} T \end{equation}
又因
\begin{equation} E_{2}-E_{1}=\frac{m}{M} C_{V, \mathrm{m}}\left(T_{2}-T_{1}\right) \end{equation}
我们得到
\begin{equation} C_{p, m}=C_{V, m}+R \end{equation}

   式 9 叫做迈耶(J. R. Meyer)公式.它的意义是,$1\; \rm mol$ 理想气体温度升高 $1\rm K$ 时,在等压过程中比在等体过程中要多吸收 $8. 31\rm J $ 的热量.这部分热量去哪了呢?当然是转化为对外所做的膨胀功.由此可见,普适气体常量 $R$ 等于 $1\;\rm mol$ 理想气体在等压过程中温度升高 $1\rm K$ 对外所做的功.因 $C_{v, m}=iR/2$,从式 9 可知

\begin{equation} C_{p, {m}}=\frac{i}{2} R+R=\frac{i+2}{2} R \end{equation}

   摩尔定压热容 $C_{p,m}$ 与摩尔定容热容 $C_{V,m}$ 之比,用 $\gamma$ 表示,叫做[摩尔]热容比(ratio of [molar] heat capacity)绝热指数,于是

\begin{equation} \gamma=\frac{C_{p, \mathrm{m}}}{C_{V, \mathrm{m}}}=\frac{i+2}{i} \end{equation}

   根据式 11 不难算出:对于单原子分子气体,$\gamma=5/3\approx 1.67$;双原子刚性分子气体 $\gamma=1.40$;多原子刚性分子气体 $\gamma\approx 1. 33 $.它们也都只与气体分子的自由度有关,而与气体温度无关.

   无论是定压热容,还是定容热容,它们的共同特点是体现了使物体温度发生变化的难易程度,热容大的物体同样升高 $1\rm K$,所需要的热量也多,这说明温度不易变化,所以物体的热容是其热惯性的量度.

   我们来看几个例题加深一下对内容的理解.

例 1 温度计

   用作测温的温度计,为了能和被测物体迅速达到热平衡,它的热容必须很小.

例 2 氮气加热

   一气缸中贮有氮气,质量为 $1.25\rm kg$,在标准大气压下缓慢地加热,使温度升高 $1\mathrm K$.试求气体膨胀时所做的功 $W$、气体内能的增量 $\Delta E$ 以及气体所吸收的热量 $Q_p$.(活塞的质量以及它与气缸壁的摩擦均可略去).

   因过程是等压的,所以

\begin{equation} W=\frac{m}{M} R \Delta T=\frac{1.25}{0.028} \times 8.31 \times 1 \mathrm{J}=371 \mathrm{J} \end{equation}
而因为氮气的 $i=5$,所以
\begin{equation} C_{V, {m}}=\frac{i}{2} R=20.8 \mathrm{J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}) \end{equation}
于是
\begin{equation} \Delta E=\frac{m}{M} C_{V, {m}} \Delta T=\frac{1.25}{0.028} \times 20.8 \times 1 \mathrm{J}=929 \mathrm{J} \end{equation}
所以,气体在这一过程中所吸收的热量为
\begin{equation} Q_{p}=E_{2}-E_{1}+W=1300 \mathrm{J} \end{equation}

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利