贡献者： addis
以下我们用使用库仑定律和散度定理 严谨地证明电场的高斯定律。
我们先看一个位于坐标原点，电荷为 $q$ 的点电荷产生的电场（式 4 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{r^2}~.
\end{equation}
要计算某点的散度，最方便的做法是使用球坐标的散度算子（
式 2 ）得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{r^2} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{1}{r^2} \right) = 0~.
\end{equation}
注意由于
式 1 在原点处无定义，也不存在偏导数，该结论不适用于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。
由于散度算符是线性的，即使空间中有许多点电荷，第 $i$ 个产生的电场为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _i( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，空间中任何点（除了点电荷的位置）的电场散度都为零。
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left(\sum_i \boldsymbol{\mathbf{E}} _i \right) = \sum_i \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} _i = 0~.
\end{equation}
我们还是假设只有一个点电荷位 $q$ 于坐标原点，现在我们以原点为球心做一个半径为任意 $R > 0$ 的球面 $\mathcal S$，并计算电场在球面上的通量为
\begin{equation}
\Phi = \oint_{\mathcal S} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^2} \cdot 4\pi R^2 = \frac{q}{\epsilon_0}~.
\end{equation}
然而根据散度定理（
式 1 ），如果 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 在球内处处为零，应该有 $\Phi = 0$ 才对。所以问题应该出在原点，由于散度定理要求矢量场在闭合曲面内部处处可偏导， 所以
式 4 的结果并不严格适用于散度定理
1。
绕开奇点
我们可以以另一种方式避开 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = 0$ 处的奇点使用散度定理。结合式 3 和式 4 ，可以用散度定理证明：如果在球面 $\mathcal S$ 外部再任取一个闭合曲面 $\mathcal S'$（正方向也向外），那么电场在 $\mathcal S'$ 上的通量应该也是相同的：
我们把这两个曲面共同看成是它们之间的球壳形体积 $\bar{\mathcal V}$ 的内外表面（但 $\mathcal S$ 的正方向需要改变）。而 $\bar{\mathcal V}$ 中散度处处有定义且等于零，所以由散度定理得内外表面的电场总通量也为零
\begin{equation}
\Phi = -\oint_{\mathcal S} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \oint_{\mathcal S'} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int_{\bar{\mathcal V}} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} = 0~,
\end{equation}
移项可得两个面积分相等。证毕。
所以，对于任意两个包含同一个点电荷 $q$ 的曲面（正方向都向外），电场在它们上的通量都等于 $q/\epsilon_0$，而 $q$ 也不一定需要在原点。再根据电场的叠加原理和点乘的分配律（式 8 ），如果曲面内有多个点电荷 $q_1, \dots, q_N$，那么它们在曲面上的通量等于每个点电荷产生的通量之和，即
\begin{equation}
\oint_{\mathcal S} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{1}{\epsilon_0} \sum_i q_i~,
\end{equation}
这就证明了高斯定律的积分形式。若曲面内的电荷是连续分布的，我们只需要把求和变为对 $\mathcal S$ 内部的电荷密度分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的体积分即可
\begin{equation}
\oint_{\mathcal S} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} ~.
\end{equation}
注意如果电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 处处为有限值，那么电场的散度也将处处有定义。对比散度定理可得空间中任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处电场的散度与电荷密度成正比。
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon_0}~,
\end{equation}
这就证明了电场高斯定律的微分形式。
1. ^ 但有办法可以弥补，见 “点电荷电场的散度”
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