电场的高斯定律证明

             

预备知识 电场的高斯定律,球坐标系中的梯度散度

   以下我们用使用库仑定律和散度定理 严谨地证明电场的高斯定律

   我们先看一个位于原点,电荷为 $q$ 的点电荷产生的电场(式 4

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{r^2} \end{equation}
要计算某点的散度,最方便的做法是使用球坐标公式(式 2 )得
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{r^2} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{1}{r^2} \right) = 0 \end{equation}
注意由于式 1 在原点处无定义,也不存在偏导数,该结论不适用于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $.

   由于散度算符是线性的,即使空间中有许多点电荷,第 $i$ 个产生的电场为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _i( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,空间中任何点(除了点电荷的位置)的电场散度都为零.

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left(\sum_i \boldsymbol{\mathbf{E}} _i \right) = \sum_i \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} _i = 0 \end{equation}
我们还是假设只有一个点电荷位 $q$ 于坐标原点,现在我们以原点为球心做一个半径为任意 $R > 0$ 的球面 $\mathcal S$,并计算电场在球面上的通量为
\begin{equation} \Phi = \oint_{\mathcal S} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^2} \cdot 4\pi R^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \end{equation}
然而根据散度定理(式 1 ),如果 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 在球内处处为零,应该有 $\Phi = 0$ 才对.所以问题应该出在原点,由于散度定理要求矢量场在闭合曲面内部处处可偏导, 所以式 4 的结果并不严格适用于散度定理1

绕开奇点

   我们可以以另一种方式避开 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = 0$ 处的奇点使用散度定理.结合式 3 式 4 ,可以用散度定理证明:如果在球面 $\mathcal S$ 外部再任取一个闭合曲面 $\mathcal S'$(正方向也向外),那么电场在 $\mathcal S'$ 上的通量应该也是相同的:

   我们把这两个曲面共同看成是它们之间的球壳形体积 $\bar{\mathcal V}$ 的内外表面(但 $\mathcal S$ 的正方向需要改变).而 $\bar{\mathcal V}$ 中散度处处有定义且等于零,所以由散度定理得内外表面的电场总通量也为零

\begin{equation} \Phi = -\oint_{\mathcal S} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \oint_{\mathcal S'} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int_{\bar{\mathcal V}} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} = 0 \end{equation}
移项可得两个面积分相等.证毕.

   所以,对于任意两个包含同一个点电荷 $q$ 的曲面(正方向都向外),电场在它们上的通量都等于 $q/\epsilon_0$,而 $q$ 也不一定需要在原点.再根据电场的叠加原理和点乘的分配律(式 3 ),如果曲面内有多个点电荷 $q_1, \dots, q_N$,那么它们在曲面上的通量等于每个点电荷产生的通量之和,即

\begin{equation} \oint_{\mathcal S} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{1}{\epsilon_0} \sum_i q_i \end{equation}
这就证明了高斯定律的积分形式.若曲面内的电荷是连续分布的,我们只需要把求和变为对 $\mathcal S$ 内部的电荷密度分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的体积分即可
\begin{equation} \oint_{\mathcal S} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
注意如果电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 处处为有限值,那么电场的散度也将处处有定义.对比散度定理可得空间中任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处电场的散度与电荷密度成正比.
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} E = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}
这就证明了电场高斯定律的微分形式.


1. ^ 但有办法可以弥补,见 “点电荷电场的散度”

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