三维欧几里得空间中的曲线

             

预备知识 矢量的导数,张成空间

   三维欧几里得空间是我们最为熟悉的空间,其性质也非常好,易于研究.本节讨论的是三维空间中的曲线的性质,引入曲率、挠率等概念,介绍了 Frenet 向量组以及该组中向量之间的关系.

1. 一般欧几里得空间中曲线的概念

定义 1 曲线

   令 $I$ 是实数轴 $\mathbb{R}$ 上的一个区间,则称连续函数$f:I\to \mathbb{R}^n$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的一条曲线(curve),按拓扑学的习惯也称道路(path).此处连续是指函数的 $n$ 个分量都是 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 的连续函数.

   我们可以任意取定一个坐标系,把向量值函数 $f$ 分为 $n$ 个标量值函数,简称为 $f$ 的分量,由此来理解连续的含义.你可能自然会想确认,$f$ 的分量的连续性,和取定坐标系的方式是否有关?答案是无关的.这是因为我们可以用另一种方式来理解此处的 “连续”,那就是取集合 $I$ 与 $\mathbb{R}^3$,配上通常的拓扑——即 $I$ 取 $\mathbb{R}$ 的子拓扑,$\mathbb{R}^3$ 取 $\mathbb{R}$ 的乘积拓扑——所得到的拓扑空间,那么 $f$ 就是拓扑空间之间的映射,其连续性取决于拓扑意义上的连续性,和具体坐标系的选择就无关了.

   要强调的一点是,即便两条曲线的轨迹一样,它们也不一定是同一条曲线.比如说,取 $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ 这两个函数,定义为 $f(t)= \begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix} $ 和 $g(t)= \begin{pmatrix}\cos 2t\\\sin 2t\end{pmatrix} $,那么尽管它们的轨迹都是平面上的单位圆,但由于两条曲线的 “速度” 不一样,我们依然把它们认为是不同的曲线.

定义 2 可微曲线

   如果曲线 $f:I\to\mathbb{R}^n$ 对于任意分量都是可微的,那么称 $f$ 是一个可微曲线(differentiable curve)可微道路(differentiable path),有时也记为 $C^1$ 的曲线.

   同样地,$f$ 本身的可微性,和具体坐标系的选择有关系吗?由于 “微分” 这一概念是实数空间特有的,我们没法像前面一样直接用拓扑的概念绕过坐标系的选择;但答案是一样的,无关.证明这一点的思路也可以应用到之前对一般曲线的讨论上去:考虑变换坐标系后各点的变换,会发现变换后的分量就是过渡矩阵乘以原先的函数列矩阵,也就是说,变换坐标后新的函数分量,是旧分量的某种线性组合.这样一来,变换前可微当且仅当变换后也可微,从而可知和变换无关.

定义 3 光滑曲线

   如果曲线 $f:I\to\mathbb{R}^n$ 对于任意分量都是光滑的,那么称 $f$ 是一个光滑曲线(smooth curve)光滑道路(smooth path),有时也记为 $C^\infty$ 的曲线.

   和上述坐标变换的讨论类似,可证明光滑曲线的光滑性不依赖于坐标系的选择.

定义 4 正则曲线

2. Frenet 向量组

图
图 1:Frenet 向量组示意图.途中三个蓝色向量就是红色曲线在某一点处的 Frenet 向量组,分别是单位切向量 $T$、单位主法向量 $N$ 和单位副法向量 $B$.

   Frenet 向量组是三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中特有的概念,是刻画可微曲线性质的优良工具.

   Frenet 向量组中的第一个向量,是单位切向量.关于 $t$ 对曲线 $f(t)$ 求导就能得到切向量,如果把 $t$ 看作时间,那么切向量 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t)$ 也可以看成是曲线上一点的切速度.单位切向量就是方向与切速度相同,但长度为 $1$ 的向量.

   为了得到单位切向量,我们可以用切速度除以切速度的大小来获得:$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t)/ \left\lvert \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t) \right\rvert $.但更简单的方法是,令切速度的大小恒为 $1$,或者说只讨论切速度大小恒为 $1$ 的可微曲线.当切速度恒为 $1$ 的时候,曲线走过的弧长就恒等于经过的时间,于是我们说这时是用弧长来作曲线的参数.弧长参数通常用字母 $s$ 表示.

定义 5 单位切向量

   使用弧长参数来描述可微曲线 $f(s)$,记 $T(s)=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }f(s)$,称为曲线在参数为 $s$ 处的单位切向量(unit tangent vector)

   Frenet 向量组中的第二个向量,是单位主法向量.对于处处可微的曲线,切向量总是存在的,但是主法向量不一定存在.主法向量的定义如下:

定义 6 主法向量

   使用弧长参数来描述可微曲线 $f(s)$,其单位切向量为 $T(s)$.如果 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s)$ 不为零,则称 $\kappa(s) N(s)=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s)$ 为曲线在 $s$ 处的主法向量(normal vector).其中 $N(s)$ 是单位向量,$\kappa$ 是一个正数,称作曲线在这一点处的曲率(curvature)

   由于使用弧长参数以后,单位切向量的大小不变,因此 $N(s)$ 恒与 $T(s)$ 垂直.$N(s)$ 就是那第二个成员,单位主法向量.

   Frenet 向量组中的最后一个成员,是单位副法向量,是用前两个向量叉乘而来的.

定义 7 副法向量

   条件设定如定义 5 定义 6 ,称 $B(s)=T(s)\times N(s)$ 为曲线在 $s$ 处的单位副法向量(unit binormal vector)

   以上定义的副法向量必然是单位向量,因为 $T$ 和 $N$ 都是单位向量且正交.

   Frenet 向量组可以用于构成所谓的Frenet 坐标架,也称活动坐标架.相比预先规定的自然坐标系,活动坐标架忽略了曲线在空间中的具体位置,更简洁和方便地表示了曲线本身的局部性质.

定义 8 密切平面

   条件设定如定义 5 定义 6 ,由 $T(s)$ 和 $N(s)$ 两向量在点 $f(s)$ 处所张成的二维空间,称为曲线在这一点处的密切平面(osculating plane)

   对于平面曲线,即整体都在一个平面上的曲线,其所在的平面就是每个点的密切平面.

3. 曲率和扭率

   曲率已经在定义 6 中定义清楚了,是表征单位切向量旋转速率的数字.要说明的是,如果单位切向量在某点处不变化,那么主法向量的概念就不复存在,也就没有 Frenet 向量组的后两位成员了.在这种情况下,我们说曲线在这一点处的曲率为 $0$.更一致的曲率定义方法如下:

定义 9 曲率

   使用弧长参数来描述可微曲线 $f(s)$,其单位切向量为 $T(s)$.称 $\kappa(s)= \left\lvert \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s) \right\rvert $ 为曲线在 $s$ 处的曲率(curvature)

   当 Frenet 向量组存在时,还有一个重要的概念叫扭率挠率,在有的文献中也会被称为第二曲率

   在定义扭率之前,我们要先讨论副法向量的一个性质:$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 和 $N(s)$ 平行.首先,因为单位副法向量的长度不变,故有 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 和 $B(s)$ 垂直.由于 $B=T\times N$,故

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)&=[\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s)]\times N(s)+T(s)\times\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)\\&=T(s)\times\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s) \end{aligned} \end{equation}
进而可知 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 垂直于 $T(s)$.因此,$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 垂直于 $T$ 和 $B$,必然和 $N$ 在一条线上了.

定义 10 扭率

   使用弧长参数来描述可微曲线 $f(s)$,令其 Frenet 向量组为 $T(s), N(s), B(S)$.令实数 $\tau$ 满足 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)=-\tau N(s)$,那么称实数 $\tau$ 为曲线在 $s$ 处的扭率(torsion)

   曲率描述了曲线单位切向量方向变化的速率,越快则曲线弯曲程度越强.扭率则描述了曲线偏离平面曲线的程度,也就是其扭曲程度;也可以理解为,扭率描述了密切平面旋转的速率.

4. Frenet-Serret 公式

   三维欧几里得空间中的可微曲线 $f(s)$,如果处处有非零曲率 $\kappa(s)$,且其扭率为 $\tau(s)$(可以为零),则它一定有 Frenet 向量组.$T$,$N$ 和 $B$ 具有如下关系:

定理 1 Frenet-Serret 公式

   对于曲线的 Frenet 向量组 $\{T(s), N(s), B(s)\}$,我们有如下关系:

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s)=\kappa N(s) \end{equation}
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }N(s)=-\kappa(s) T(s)+\tau(s) B(s) \end{equation}
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)=-\tau(s) N(s) \end{equation}

   用矩阵的形式可以更简洁地表示为

\begin{equation} \begin{pmatrix}T'\\N'\\B'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\0&-\tau&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}T\\N\\B\end{pmatrix} \end{equation}

   矩阵表示也更好记忆.

   证明

  1. 根据 $N$ 的定义,直接可得式 2
  2. 根据扭率的定义,直接可得式 4
  3. 考虑到三个向量的方向关系,以及它们都是单位向量的事实,我们可以得到 $N=B\times T$.因此,$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }N=\frac{ \,\mathrm{d}{B} }{ \,\mathrm{d}{s} }\times T+B\times\frac{ \,\mathrm{d}{T} }{ \,\mathrm{d}{s} }=-\tau N\times T+B\times\kappa N=\tau B-\kappa T$.

   证毕

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