三维空间中的曲线

贡献者： JierPeter; Giacomo

　　 三维欧几里得空间是我们最为熟悉的空间，其性质也非常好，易于研究。本节讨论的是三维空间中的 $C^2$ 参数曲线 $f:I=(a,b)\to {\mathbb{R}}^3$ 的性质，介绍了 Frenet 向量组以及该组中向量之间的关系，并引入了曲率、挠率等概念。

1. Frenet 向量组

　　 Frenet 向量组是三维欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中特有的概念，是刻画可微曲线性质的优良工具。

　　 Frenet 向量组中的第一个向量，是单位切向量。关于 $t$ 对曲线 $f(t)$ 求导就能得到切向量，如果把 $t$ 看作时间，那么切向量 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)$ 也可以看成是曲线上一点的切速度。单位切向量就是方向与切速度相同，但长度为 $1$ 的向量。

　　 为了得到单位切向量，我们可以用切速度除以切速度的大小来获得：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)/|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)|$。但更简单的方法是，令切速度的大小恒为 $1$，或者说只讨论切速度大小恒为 $1$ 的情况，即弧长参数曲线定义 4 ；我们将用字母 $s$ 来表示弧长参数。

　　 Frenet 向量组中的第二个向量，是单位主法向量。对于处处可微的曲线，切向量总是存在的，但是主法向量不一定存在。主法向量的定义如下：

　　 由于使用弧长参数以后，单位切向量的大小不变，因此 $N(s)$ 恒与 $T(s)$ 垂直。$N(s)$ 就是那第二个成员，单位主法向量。

　　 Frenet 向量组中的最后一个成员，是单位副法向量，是用前两个向量叉乘而来的。

　　 以上定义的副法向量必然是单位向量，因为 $T$ 和 $N$ 都是单位向量且正交。

　　 Frenet 向量组可以用于构成所谓的Frenet 坐标架，也称活动坐标架。相比预先规定的自然坐标系，活动坐标架忽略了曲线在空间中的具体位置，更简洁和方便地表示了曲线本身的局部性质。

　　 对于平面曲线，即整体都在一个平面上的曲线，其所在的平面就是每个点的密切平面。

2. 曲率和扭率

　　 曲率已经在定义 2 中定义清楚了，是表征单位切向量旋转速率的数字。要说明的是，如果单位切向量在某点处不变化，那么主法向量的概念就不复存在，也就没有 Frenet 向量组的后两位成员了。在这种情况下，我们说曲线在这一点处的曲率为 $0$。更一致的曲率定义方法如下：

　　 当 Frenet 向量组存在时，还有一个重要的概念叫扭率或挠率，在有的文献中也会被称为第二曲率。

　　 在定义扭率之前，我们要先讨论副法向量的一个性质：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}B(s)$ 和 $N(s)$ 平行。首先，因为单位副法向量的长度不变，故有 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}B(s)$ 和 $B(s)$ 垂直。由于 $B=T\times N$，故

　　 曲率描述了曲线单位切向量方向变化的速率，越快则曲线弯曲程度越强。扭率则描述了曲线偏离平面曲线的程度，也就是其扭曲程度；也可以理解为，扭率描述了密切平面旋转的速率。

3. Frenet-Serret 公式

　　 三维欧几里得空间中的可微曲线 $f(s)$，如果处处有非零曲率 $\kappa (s)$，且其扭率为 $\tau (s)$（可以为零），则它一定有 Frenet 向量组。$T$，$N$ 和 $B$ 具有如下关系：

　　 证明：

1. 根据 $N$ 的定义，直接可得式 2 。
2. 根据扭率的定义，直接可得式 4 。
3. 考虑到三个向量的方向关系，以及它们都是单位向量的事实，我们可以得到 $N=B\times T$。因此，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}N=\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}s}\times T+B\times \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s}=-\tau N\times T+B\times \kappa N=\tau B-\kappa T$。

　　 证毕。