平面曲线的曲率（古典微分几何）

贡献者： Giacomo

　　 我们平时所说的平面指的是二维欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^2$，本节讨论的是平面中的二阶连续可导曲线（$C^2$ 曲线）$C\subseteq {\mathbb{R}}^2$，以及参数曲线 $f:I=(a,b)\to {\mathbb{R}}^2$ 的曲率。

1. 参数曲线的曲率

　　 参数曲线的曲率可以定义方向，我们规定向逆时针方向弯曲（左转弯）为正曲率，顺时针方向弯曲（右转弯）为负曲率。¹

2. 曲线的曲率

　　 曲线的曲率被用来衡量曲线的弯曲程度，直线的曲率恒为零；由于曲线的曲率可以被视作密切圆形半径的倒数，曲线的曲率是一个非负数。

1. ^ 显然这个定义依赖于平面本身的定向（可以理解成 “正反面”）：假设我们将平面翻转，那么顺时针和逆时针将会互换。因此参数曲线的曲率的正负性只能在可定向的曲面上定义，不过局部上所有曲面都是欧几里得空间，因此是可定向的。