平面曲线的曲率（古典微分几何）

贡献者： Giacomo

本文处于草稿阶段。

预备知识　欧几里得空间中的曲线，平面曲线的曲率和曲率半径（简明微积分）

　　我们平时所说的平面指的是二维欧几里得空间 $\mathbb{R}^2$，本节讨论的是平面中的二阶连续可导曲线（$C^2$ 曲线）$C \subseteq \mathbb{R}^2$，以及参数曲线 $f: I = (a, b) \to \mathbb{R}^2$ 的曲率。

1. 参数曲线的曲率

　　参数曲线的曲率可以定义方向，我们规定向逆时针方向弯曲（左转弯）为正曲率，顺时针方向弯曲（右转弯）为负曲率。¹

2. 曲线的曲率

　　曲线的曲率被用来衡量曲线的弯曲程度，直线的曲率恒为零；由于曲线的曲率可以被视作密切圆形半径的导数，曲线的曲率是一个非负数。

1. ^ 显然这个定义依赖于平面本身的定向（可以理解成 “正反面”）：假设我们将平面翻转，那么顺时针和逆时针将会互换。因此参数曲线的曲率的正负性只能在可定向的曲面上定义，不过局部上所有曲面都是欧几里得空间，因此是可定向的。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。