平面曲线的曲率(古典微分几何)

                     

贡献者: Giacomo

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 欧几里得空间中的曲线,平面曲线的曲率和曲率半径(简明微积分)

   我们平时所说的平面指的是二维欧几里得空间 $\mathbb{R}^2$,本节讨论的是平面中的二阶连续可导曲线($C^2$ 曲线)$C \subseteq \mathbb{R}^2$,以及参数曲线 $f: I = (a, b) \to \mathbb{R}^2$ 的曲率。

1. 参数曲线的曲率

   参数曲线的曲率可以定义方向,我们规定向逆时针方向弯曲(左转弯)为正曲率,顺时针方向弯曲(右转弯)为负曲率。1

2. 曲线的曲率

   曲线的曲率被用来衡量曲线的弯曲程度,直线的曲率恒为零;由于曲线的曲率可以被视作密切圆形半径的倒数,曲线的曲率是一个非负数。


1. ^ 显然这个定义依赖于平面本身的定向(可以理解成 “正反面”):假设我们将平面翻转,那么顺时针和逆时针将会互换。因此参数曲线的曲率的正负性只能在可定向的曲面上定义,不过局部上所有曲面都是欧几里得空间,因此是可定向的。


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