单纯形与复形

             

预备知识 连通性

1. 单纯形

   单纯形可以被认为是欧几里得空间中的一种子集,最初的概念来源于对拓扑空间的三角剖分,而单纯形就是剖分出来的每个 “三角形”.这里之所以要打引号,是因为单纯形不仅仅指二维的三角形,也包括三维的锥形,以及从零维到任意维的拓展.

定义 1 几何无关点集

   给定欧几里得空间中 $n$ 个点构成的集合 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\}|_{i=0}^{n-1}$.任取一个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _k$,我们以它为起点构造出若干向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i= \boldsymbol{\mathbf{r}} _i- \boldsymbol{\mathbf{r}} _k$.

   如果集合 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i\not= k}$ 是一个线性无关向量组,那么我们说 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\}|_{i=0}^{n-1}$ 是一个几何无关(geometrically independent)点集.

   注意几何无关点集和线性无关向量组有一点点区别,那就是几何无关点集里多了一个 “起点” 的位置.这个起点没法简单地排除在外,因为任意一个点都可以做起点,没必要确定谁更特殊.

定义 2 单纯形

   给定欧几里得空间中一个几何无关点集 $A=\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\}$.

   记 $[ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q]$ 为集合 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} =\sum\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i|\lambda_i\geq 1, \sum\lambda_i=1\}$,称这个集合为由 $A$ 张成的 $q$ 维单纯形(simplex),简称 $q$-单形.

   比如说,三维空间里 $3$ 个几何无关点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$ 可以张成一个 $2$-单形,就是以这三个点为顶点的平面三角形.类似地,一个 $3$-单形就是一个三棱锥.一个 $0$-单形就是一个单点集,即 $[ \boldsymbol{\mathbf{r}} ]=\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} \}= \boldsymbol{\mathbf{r}} $.

定义 3 标准单纯形

   由欧几里得空间中的原点和各坐标轴上距离原点为 $1$ 的点构成的单纯形,称为标准单纯形

定义 4 面

   令 $L$ 为单形 $[ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q]$,则对于 $r\leq q$,$L$ 的一个 $r$ 维面就是 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q\}$ 的一个 $r$ 阶子集所张成的单形.

定义 5 规则相处

   对于两个单形 $A$ 和 $B$,如果 $A\cap B$ 既是 $A$ 的面,也是 $B$ 的面,那么称 $A$ 和 $B$ 是规则相处的.

   从上面的表述可以看出,尽管我们一开始引入单纯形概念的时候依赖于欧几里得空间的性质,是一种高度几何化的语言,但是表示时我们其实只关心是哪些顶点在构成一个单纯形.这就使得我们可以将单纯形的概念抽象化,将 $[ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q]$ 视作这 $q+1$ 个元素的一个组合,忽视掉几何特征,从而可能代数地描述这些结构.从这个角度来说,单形的面就是其子集,而脱去了几何概念之后我们完全可以认为任何单形都是规则相处的——这也是几何语言里要强调规则相处的意义.

2. 复合形

定义 6 复合形

   一个复合形(complex),简称复形,是一个单纯形的集合,其中各单形规则相处,且每个单形的面也都是该复形的一个元素.

   一个复形中维度最大的单形的维度,称为该复形的维度.

图
图 1:复形的例子.这个复形是由一个三角形、四条线段和四个点构成的.
图
图 2:复形的例子.这个复形是由一个三角形、四条线段和五个点构成的

例 1 复形的例子

  1. 三维欧几里得空间中,集合 $\{(x, 0)|x\in[0,1]\}, \{(0, y)|y\in[0, 1]\}, \{(0, 0)\}, \{(1, 0)\}, \{(0, 1)\}$ 所构成的集合,是一个复形.这个复形中一共有五个元素,分别是两条线段和三个点.
  2. 如图图 1 所示,四个点 $a, b, c, d$ 几何无关,并且构成了复形 $\{[a], [b], [c], [d], [a, b], [a, c], [b, c], [a, d], [a, b, c]\}$.
  3. 如图图 2 所示,五个点构成了复形 $\{[a], [b], [c], [d], [e], [a, b], [a, c], [b, c], [d, e], [a, b, c]\}$.和上一个例子相比,这个复形是有两个连通分支的.
  4. 闭包复形 一个单形 $L$ 的全体面的集合,构成一个复形,称为 $L$ 的闭包复形,记为 $ \operatorname {Cl} L$.
  5. 边缘复形 一个单形 $L$ 的全体真面1的集合,构成一个复形,称为 $L$ 的边缘复形,记为 $ \operatorname {Bd} L$.

定义 7 子复形

   一个复形 $K$ 的子集 $J$ 如果还是一个复形,那么称 $J$ 是 $K$ 的子复形

定义 8 骨架

   $q$ 维复形 $K$ 的全体维度小于等于$r$ 的单形之集合,称为 $K$ 的 $r$ 维骨架,记为 $K^r$.


1. ^ 即作为真子集的面.

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