凸集的可分离性
贡献者： 零穹
线性空间中集 的分离性是指存在一个线性泛函 ，使得泛函在这两个集上的值由一个常数区分开。凸集的分离性是指线性空间中两个凸集，若其中之一的核非空且不与另一集相交，则必存在非零线性泛函将这两个凸集分离。
定义 1 分离性
设 是实线性空间的两个子集， 是线性泛函，若存在常数 使得任意
则称
分离集 。
即指
当不等式中的等号不成立时，称为
严格分离。
1. 性质
定理 1
设 是线性空间 上的线性泛函，，则以下 3 个命题等价：
- 分离 ；
- 分离 与 ；
- 任意 ， 分离 和 。
证明：
这由下式直接看出：
证毕！
定理 2
设 是实线性空间 中的凸集，且核 ，则存在分离 的非 0 线性泛函。
证明略。
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