凸集的可分离性

                     

贡献者: 零穹

预备知识 凸集和凸体,泛函与线性泛函

   线性空间中集 M,N 的分离性是指存在一个线性泛函 f,使得泛函在这两个集上的值由一个常数区分开。凸集的分离性是指线性空间中两个凸集,若其中之一的非空且不与另一集相交,则必存在非零线性泛函将这两个凸集分离。

定义 1 分离性

   设 M,N 是实线性空间的两个子集,f:LR 是线性泛函,若存在常数 C 使得任意

(1)f(x){C,xNC,xM 
则称 f 分离M,N。 即指
(2)infxMf(x)supxNf(x). 
当不等式中的等号不成立时,称为严格分离

1. 性质

定理 1 

   设 f 是线性空间 L 上的线性泛函,M,NL,则以下 3 个命题等价:

  1. f 分离 M,N
  2. f 分离 MN{0}
  3. 任意 xLf 分离 MxNx

   证明: 这由下式直接看出:

(3)f(M)Cf(N)f(MN)0f(Mx(Nx))=f(Mx)f(Nx)0f(Mx)f(Nx). 

   证毕!

定理 2 

   设 M,N 是实线性空间 L 中的凸集,且 J(M),J(M)N=,则存在分离 M,N 的非 0 线性泛函。

   证明略。


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