抛硬币实验进阶

                     

贡献者: addis

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预备知识 二项分布,中心极限定理

   我们都知道一枚公平的硬币,若抛许多次,那么正反的比例大约是 1:1.那么若把某次实验的结果中,前 $n$ 次中正面向上所占的比例记为 $P_n$,那么对任意一次实验,数列 $P_n$ 是否都满足以下极限呢?

\begin{equation} \lim_{n\to\infty} P_n = \frac{1}{2} \qquad (\text{误}) \end{equation}
这是错误的.根据数列极限的定义,对于任意给定的 $\epsilon > 0$,都存在整数 $N$,当 $n > N$ 时就必有 $ \left\lvert P_n -1/2 \right\rvert < \epsilon$.对于抛硬币而言,这是无法做到的.因为无论抛几次,都存在不为零的概率使全部正面向上或反面向上(概率为 $1/2^n$).所以只要令 $\epsilon = 0.5$ 或更小,就不可能找到符合条件的 $N$.

   当抛硬币次数较多时,根据中心极限定理可知正面向上概率的方差为 $1/(4N)$.该分布为二项分布,本质上和高尔顿板 原理相同.

N = 60; % 每组投掷
M = 10000; % 实验组数
data = sum(rand(M, N) > 0.5, 2)/N;
format long;
disp('理论方差 =');
disp(1/(4*N));
disp('实验方差 =');
disp(std(data)^2);
hist(data, 20);


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