Weibull 分布

贡献者：周思益

　　 Weibull 分布是一种概率分布。这种概率分布非常灵活，可以对各种类型的数据进行建模，是可靠性数据建模中最常用的分布。它可以对左偏斜数据，右偏斜数据，对称数据进行建模。因为这种特性，工程师常用它来评估物体的可靠性和材料强度。

　　如果一个机器,每次使用有 $p$ 的概率损坏，那么它的使用到 $k$ 次时被损坏的概率为

\begin{matrix} (1) & P (X = k) = p (1 - p)^{k - 1} . \end{matrix}

如果我们考虑的是一段时间

t

，这段时间每个小间隔

Δ t

的时间内都有

p

的概率被损坏，那么，在时间

t

到

t + Δ t

的时间范围内机器被损坏的概率为

\begin{matrix} (2) & P (X) = p (1 - p)^{\frac{t}{Δ t} - 1} . \end{matrix}

当 p 非常小的时候，我们可以使用如下的数学公式对上面的式子进行化简

\begin{matrix} (3) & lim_{p \to 0} (1 - p)^{\frac{1}{p}} = e^{- 1} . \end{matrix}

化简之后的结果为

\begin{matrix} (4) & P (X) = p (1 - p)^{\frac{1}{p} (\frac{t}{Δ t} - 1) p} \sim p e^{- \frac{t}{Δ t} p} . \end{matrix}

Weibull 分布最简单的情况回到指数分布。如果单次损坏概率与使用次数成指数关系，

\begin{matrix} (5) & p = p_{0} k^{γ} . \end{matrix}

使用到第

k

次损坏的概率是

\begin{matrix} (6) & P (X = k) = p_{0} k^{γ} (1 - p_{0} 1^{γ}) (1 - p_{0} 2^{γ}) \dots (1 - p_{0} (k - 1)^{γ}) . \end{matrix}

连续的情况是

\begin{matrix} (7) & P (X) = p_{0} {\frac{t}{Δ t}}^{γ} (1 - p_{0} 1^{γ}) (1 - p_{0} 2^{γ}) \dots (1 - p_{0} {(\frac{t}{Δ t} - 1)}^{γ}) . \end{matrix}

对上面的式子取对数

\begin{matrix} (8) & \ln P (X) = \ln (p_{0} {\frac{t}{Δ t}}^{γ}) + \sum_{i = 1}^{t / Δ t - 1} \ln (1 - p_{0} i^{γ}) . \end{matrix}

我们使用下面的近似

\begin{matrix} (9) & \ln (1 - p_{0} i^{γ}) \sim - p_{0} i^{γ} . \end{matrix}

式 8 可以化简为

\begin{matrix} (10) & \ln P (X) \sim \ln (p_{0} {\frac{t}{Δ t}}^{γ}) - p_{0} \sum_{i = 1}^{t / Δ t - 1} i^{γ} . \end{matrix}

接下来计算求和

\begin{matrix} (11) & \sum_{i = 1}^{t / Δ t} i^{γ} \sim \int_{0}^{t / Δ t} x^{γ} d x = \frac{1}{γ + 1} {(\frac{t}{Δ t})}^{γ + 1} . \end{matrix}

这样就得到了 Weibull 分布的概率密度函数。

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