换位子群

             

贡献者: JierPeter

预备知识 正规子群和商群

定义 1 换位子

   给定群 $G$ 中的任意元素 $a$ 和 $b$,则称元素 $b^{-1}a^{-1}ba$ 为一个换位子(commutator),或者导子

   给定义 1 中的概念取换位子这一名称,是因为它作用在两个元素的乘积上可以交换其乘积顺序:$(ab)(b^{-1}a^{-1}ba)=ba$.它可以用来更细致地刻画群的交换性,而不仅仅是粗糙的 “交换 / 不交换” 的描述.具体来说,我们需要用换位子群来描述群的交换性:

定义 2 换位子群

   给定群 $G$.$G$ 的全体换位子所生成的子群,称为 $G$ 的换位子群(commutator group),记为 $G'$ 或 $[G, G]$.

   注意,全体换位子构成的集合,通常不是一个群,因此换位子群并不仅仅是换位子构成的,而是换位子以及换位子的乘积构成的.比如说,形如 $b^{-1}a^{-1}bad^{-1}c^{-1}dc$ 的元素可能不是一个换位子,但它是换位子群中的元素.

定理 1 

   给定群 $G$,则 $G'\triangleleft G$.

   证明

   换位子群中的元素都可以写成换位子相乘的形式:$x_1x_2x_3\cdots x_n$,其中各 $x_i$ 为换位子.因此,要证明 $g^{-1}G'g=G'$,只需要证明 $g^{-1}x_1g$ 是一个换位子即可,这样 $g^{-1}x_1x_2x_3\cdots x_ng=g^{-1}x_1gg^{-1}x_2gg^{-1}x_3gg^{-1}\cdots gg^{-1}x_ng$ 也是换位子的乘积,故在换位子群中.

   对于任意 $g\in G$,都有

\begin{equation} \begin{aligned} g^{-1}b^{-1}a^{-1}bag&=g^{-1}b^{-1}gg^{-1}a^{-1}gg^{-1}bgg^{-1}ag\\ &=(g^{-1}bg)^{-1}(g^{-1}ag)^{-1}(g^{-1}bg)(g^{-1}ag) \end{aligned} \end{equation}
也是一个换位子.

   证毕

   换位子群刻画交换性的方式由以下定理 2 描述:

定理 2 

   设 $N$ 是群 $G$ 的正规子群,则商群 $G/N$ 交换当且仅当 $G'\subseteq N$.

   证明

   任取 $x, y\in G$,则 $G'\subseteq N$ 当且仅当 $(xy)^{-1}yx\in N$.

   而 $(xy)^{-1}yx\in N$ 等价于 $(xy)^{-1}yxN=N$,这又等价于 $yxN=xyN$,也就是商群运算的交换性.

   证毕

   定理 2 表明,一个群 $G$ 如果不交换,我们也可能找到一个正规子群使其商群为交换群,好比是抹去了一些细节之后陪集的运算体现出交换性.当然,必须抹去的细节越多,我们就可以说 $G$ 的交换性越差;没有抹去的必要,那 $G$ 就是完全交换的.而这个必须抹去的细节,就是换位子群.换位子群越大,则 $G$ 的交换性越低;换位子群只含单位元,那么 $G$ 本身就是交换的.


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