贡献者： JierPeter; addis
可解群在 Galois 理论中起到关键作用，用于判断代数方程的根式可解性，由此而得名。由于我们现在尚未深入 Galois 理论，就不讨论何谓 “可解”，而仅仅从群结构的角度研究这种群的性质。
1. 可解群的定义
定义 1 可解群
给定群 $G$，定义 $G^{(0)}=G$ 且对于任意正整数 $k$，$G^{(k)}=[G^{(k-1)}, G^{(k-1)}]$。
称
\begin{equation}
G^{(0)}\rhd G^{(1)}\rhd G^{(2)}\rhd \cdots~
\end{equation}
为 $G$ 的
导出列（derived series）。
若导出列在有限步内终结于 $\{e\}$，或者等价地说，存在非负整数 $n$ 使得 $G^{(n)}=\{e\}$，则称 $G$可解（solvable）。
定义 1 的式 1 直接使用了正规子群符号 $\rhd$，这是由定理 1 保证的。
定义 1 的基础是换位子群的概念，但我们也可以仅用正规子群的概念来定义可解群：
定义 2 （次）正规序列
给定群 $G$，称序列
\begin{equation}
G=G_1\rhd G_2\rhd\cdots G_n=\{e\}~
\end{equation}
为 $G$ 的一个
次正规序列（subnormal series）。若该序列还满足 $\forall k\in \mathbb{Z}\cap\{1, n\}, G_k\lhd G$，则称之为一个
正规序列（normal series）。
定理 1 可解群的另一定义
给定群 $G$，则 $G$ 是可解群，当且仅当存在 $G$ 的正规序列 $G=G_1\rhd G_2\rhd\cdots G_n=\{e\}$，且对于任意正整数 $k$，$G_k/G_{k+1}$ 都是阿贝尔群。
证明：
必要性：
设 $G$ 可解，即存在非负整数 $n$ 使得 $G^{(n)}=\{e\}$。令 $G_k=G^{(k-1)}$，则对于任意正整数 $k$，$G_{k+1}\subseteq [G_k, G_k]$，于是由定理 2 可知，$G_k/G_{k+1}$ 都是阿贝尔群。又由定理 1 ，可知各 $G_k\lhd G$，因此
\begin{equation}
G=G_1\rhd G_2\rhd\cdots\rhd G_{n+1}=\{e\}~
\end{equation}
是一个
正规序列。
充分性：
设存在 $G$ 的正规序列 $G=G_1\rhd G_2\rhd\cdots G_n=\{e\}$，且对于任意正整数 $k$，$G_k/G_{k+1}$ 都是阿贝尔群。
由定理 2 可知，$G_{k+1}\supseteq [G_k, G_k]$ 对任意正整数 $k$ 成立。考虑到 $G_2\supseteq[G_1, G_1]=G^{(1)}$，从而 $G_3\supseteq[G_2, G_2]\supseteq [G^{(1)}, G^{(1)}]=G^{(2)}$；以此类推，$G_{k}\supseteq G^{(k-1)}$ 对任意正整数 $k$ 成立。
因此，$G_n=\{e\}\implies G^{(n-1)}=\{e\}$。
证毕。
2. 可解群的结构
证明：
给定可解群 $G$。
设 $H$ 是 $G$ 的子群，则 $[H, H]\subseteq [G, G]$，以此类推得 $H^{(k)}\subseteq G^{(k)}$ 对任意非负整数 $k$ 成立。因此 $G^{(n)}=\{e\}\implies H^{(n)}=\{e\}$。
设 $N\lhd G$。
若 $[G, G]\subseteq N$，则任取 $g_1, g_2\in G$ 有 $[g_1, g_2]\in N$，于是 $[g_1N, g_2N]\subseteq N$，即 $[G/N, G/N]=N$。
若 $N\subseteq [G, G]$，则类似可得 $[G/N, G/N]=G^{(1)}/N$。
以此类推，由 $G^{(n)}=\{e\}$ 即可推出 $ \left(G/N \right) ^{(n)}=\{e\}$。
证毕。
引理 2
给定群 $G$ 及其正规子群 $N$，若 $N$ 和 $G/N$ 均可解，则 $G$ 可解。
证明1：
设 $G/N$ 和 $N$ 分别有正规序列
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
G/N ={}& Q_0\rhd Q_1\rhd Q_2\rhd\cdots\rhd Q_s=N, \\
N ={}& N_0\rhd N_1\rhd N_2\rhd\cdots\rhd N_t=\{e\}.
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
对于 $0\leq k\leq s$，令 $G_k=\pi^{-1} \left(Q_k \right) $；对于 $s< k\leq s+t+1$，令 $G_k=N_{k-s-1}$。则可以构造序列
\begin{equation}
G=G_0\rhd G_1\rhd\cdots\rhd G_{s+t+1}=\{e\}. ~
\end{equation}
其中，$G_s$ 到 $G_{s+t+1}$ 自然构成一个正规序列。而 $G_0$ 到 $G_s$ 也依然满足 “全是 $G_0$ 的正规子群，$G_{k-1}/G_{k}$ 是阿贝尔群”，证明如下：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\forall g\in G, \left(Q_k\lhd G/N \right) \iff{}& \left( \left(g^{-1}N \right) \left(Q_k \right) \left(gN \right) =Q_k \right) \\
\iff{}& \left(g^{-1}N \right) \left(\pi^{-1} \left(Q_k \right) \right) \left(gN \right) = \left\{\pi \right\} ^{-1} \left(Q_k \right) \\
\implies{}& \left(g^{-1}\pi^{-1} \left(Q_k \right) g\subseteq \pi^{-1} \left(Q_k \right) \right) .
\end{aligned}~
\end{equation}
此即证明了 $\pi^{-1} \left(Q_k \right) \lhd G=G_0$。注意 $\pi: G\to G/N$ 是自然同态。
又根据习题 2 ，
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q_k/Q_{k+1} \cong G_k/G_{k+1}.
\end{aligned}~
\end{equation}
故由 $Q_k/Q_{k+1}$ 是阿贝尔群，得证 $G_k/G_{k+1}$ 是阿贝尔群。
证毕。
1. ^ 此证明照搬自《代数学基础》。
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