可解群
贡献者: JierPeter; addis
可解群在 Galois 理论中起到关键作用,用于判断代数方程的根式可解性,由此而得名。由于我们现在尚未深入 Galois 理论,就不讨论何谓 “可解”,而仅仅从群结构的角度研究这种群的性质。
1. 可解群的定义
定义 1 可解群
给定群 ,定义 且对于任意正整数 ,。
称
为 的
导出列(derived series)。
若导出列在有限步内终结于 ,或者等价地说,存在非负整数 使得 ,则称 可解(solvable)。
定义 1 的式 1 直接使用了正规子群符号 ,这是由定理 1 保证的。
定义 1 的基础是换位子群的概念,但我们也可以仅用正规子群的概念来定义可解群:
定义 2 (次)正规序列
给定群 ,称序列
为 的一个
次正规序列(subnormal series)。若该序列还满足 ,则称之为一个
正规序列(normal series)。
定理 1 可解群的另一定义
给定群 ,则 是可解群,当且仅当存在 的正规序列 ,且对于任意正整数 , 都是阿贝尔群。
证明:
必要性:
设 可解,即存在非负整数 使得 。令 ,则对于任意正整数 ,,于是由定理 2 可知, 都是阿贝尔群。又由定理 1 ,可知各 ,因此
是一个
正规序列。
充分性:
设存在 的正规序列 ,且对于任意正整数 , 都是阿贝尔群。
由定理 2 可知, 对任意正整数 成立。考虑到 ,从而 ;以此类推, 对任意正整数 成立。
因此,。
证毕。
2. 可解群的结构
证明:
给定可解群 。
设 是 的子群,则 ,以此类推得 对任意非负整数 成立。因此 。
设 。
若 ,则任取 有 ,于是 ,即 。
若 ,则类似可得 。
以此类推,由 即可推出 。
证毕。
引理 2
给定群 及其正规子群 ,若 和 均可解,则 可解。
证明1:
设 和 分别有正规序列
对于 ,令 ;对于 ,令 。则可以构造序列
其中, 到 自然构成一个正规序列。而 到 也依然满足 “全是 的正规子群, 是阿贝尔群”,证明如下:
此即证明了 。注意 是自然同态。
又根据习题 2 ,
故由 是阿贝尔群,得证 是阿贝尔群。
证毕。
1. ^ 此证明照搬自《代数学基础》。
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