可解群

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 换位子群

   可解群在 Galois 理论中起到关键作用,用于判断代数方程的根式可解性,由此而得名。由于我们现在尚未深入 Galois 理论,就不讨论何谓 “可解”,而仅仅从群结构的角度研究这种群的性质。

1. 可解群的定义

定义 1 可解群

   给定群 G,定义 G(0)=G 且对于任意正整数 kG(k)=[G(k1),G(k1)]

   称

(1)G(0)G(1)G(2) 
G导出列(derived series)

   若导出列在有限步内终结于 {e},或者等价地说,存在非负整数 n 使得 G(n)={e},则称 G可解(solvable)

   定义 1 式 1 直接使用了正规子群符号 ,这是由定理 1 保证的。

   定义 1 的基础是换位子群的概念,但我们也可以仅用正规子群的概念来定义可解群:

定义 2 (次)正规序列

   给定群 G,称序列

(2)G=G1G2Gn={e} 
G 的一个次正规序列(subnormal series)。若该序列还满足 kZ{1,n},GkG,则称之为一个正规序列(normal series)

定理 1 可解群的另一定义

   给定群 G,则 G 是可解群,当且仅当存在 G 的正规序列 G=G1G2Gn={e},且对于任意正整数 kGk/Gk+1 都是阿贝尔群。

   证明

   必要性

   设 G 可解,即存在非负整数 n 使得 G(n)={e}。令 Gk=G(k1),则对于任意正整数 kGk+1[Gk,Gk],于是由定理 2 可知,Gk/Gk+1 都是阿贝尔群。又由定理 1 ,可知各 GkG,因此

(3)G=G1G2Gn+1={e} 
是一个正规序列

   充分性

   设存在 G 的正规序列 G=G1G2Gn={e},且对于任意正整数 kGk/Gk+1 都是阿贝尔群。

   由定理 2 可知,Gk+1[Gk,Gk] 对任意正整数 k 成立。考虑到 G2[G1,G1]=G(1),从而 G3[G2,G2][G(1),G(1)]=G(2);以此类推,GkG(k1) 对任意正整数 k 成立。

   因此,Gn={e}G(n1)={e}

   证毕

2. 可解群的结构

引理 1 

   可解群的子群和商群都可解。

   证明

   给定可解群 G

   设 HG 的子群,则 [H,H][G,G],以此类推得 H(k)G(k) 对任意非负整数 k 成立。因此 G(n)={e}H(n)={e}

   设 NG

   若 [G,G]N,则任取 g1,g2G[g1,g2]N,于是 [g1N,g2N]N,即 [G/N,G/N]=N

   若 N[G,G],则类似可得 [G/N,G/N]=G(1)/N

   以此类推,由 G(n)={e} 即可推出 (G/N)(n)={e}

   证毕

引理 2 

   给定群 G 及其正规子群 N,若 NG/N 均可解,则 G 可解。

   证明1

   设 G/NN 分别有正规序列

(4){G/N=Q0Q1Q2Qs=N,N=N0N1N2Nt={e}. 

   对于 0ks,令 Gk=π1(Qk);对于 s<ks+t+1,令 Gk=Nks1。则可以构造序列

(5)G=G0G1Gs+t+1={e}. 
其中,GsGs+t+1 自然构成一个正规序列。而 G0Gs 也依然满足 “全是 G0 的正规子群,Gk1/Gk 是阿贝尔群”,证明如下:

(6)gG,(QkG/N)((g1N)(Qk)(gN)=Qk)(g1N)(π1(Qk))(gN)={π}1(Qk)(g1π1(Qk)gπ1(Qk)). 
此即证明了 π1(Qk)G=G0。注意 π:GG/N 是自然同态。

   又根据习题 2

(7)Qk/Qk+1Gk/Gk+1. 
故由 Qk/Qk+1 是阿贝尔群,得证 Gk/Gk+1 是阿贝尔群。

   证毕


1. ^ 此证明照搬自《代数学基础》。


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