可解群

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　换位子群

　　可解群在 Galois 理论中起到关键作用，用于判断代数方程的根式可解性，由此而得名。由于我们现在尚未深入 Galois 理论，就不讨论何谓 “可解”，而仅仅从群结构的角度研究这种群的性质。

1. 可解群的定义

定义 1　可解群

　　给定群 $G$ ，定义 $G^{(0)} = G$ 且对于任意正整数 $k$ ， $G^{(k)} = [G^{(k - 1)}, G^{(k - 1)}]$ 。

　　称

\begin{matrix} (1) & G^{(0)} ⊳ G^{(1)} ⊳ G^{(2)} ⊳ \dots \end{matrix}

为

G

的导出列（derived series）。

　　若导出列在有限步内终结于 ${e}$ ，或者等价地说，存在非负整数 $n$ 使得 $G^{(n)} = {e}$ ，则称 $G$ 可解（solvable）。

　　定义 1 的式 1 直接使用了正规子群符号 $⊳$ ，这是由定理 1 保证的。

　　定义 1 的基础是换位子群的概念，但我们也可以仅用正规子群的概念来定义可解群：

定义 2　（次）正规序列

　　给定群 $G$ ，称序列

\begin{matrix} (2) & G = G_{1} ⊳ G_{2} ⊳ \dots G_{n} = {e} \end{matrix}

为

G

的一个次正规序列（subnormal series）。若该序列还满足

\forall k \in Z \cap {1, n}, G_{k} ⊲ G

，则称之为一个正规序列（normal series）。

定理 1　可解群的另一定义

　　给定群 $G$ ，则 $G$ 是可解群，当且仅当存在 $G$ 的正规序列 $G = G_{1} ⊳ G_{2} ⊳ \dots G_{n} = {e}$ ，且对于任意正整数 $k$ ， $G_{k} / G_{k + 1}$ 都是阿贝尔群。

　　证明：

　　 必要性：

　　设 $G$ 可解，即存在非负整数 $n$ 使得 $G^{(n)} = {e}$ 。令 $G_{k} = G^{(k - 1)}$ ，则对于任意正整数 $k$ ， $G_{k + 1} \subseteq [G_{k}, G_{k}]$ ，于是由定理 2 可知， $G_{k} / G_{k + 1}$ 都是阿贝尔群。又由定理 1 ，可知各 $G_{k} ⊲ G$ ，因此

\begin{matrix} (3) & G = G_{1} ⊳ G_{2} ⊳ \dots ⊳ G_{n + 1} = {e} \end{matrix}

是一个正规序列。

　　 充分性：

　　设存在 $G$ 的正规序列 $G = G_{1} ⊳ G_{2} ⊳ \dots G_{n} = {e}$ ，且对于任意正整数 $k$ ， $G_{k} / G_{k + 1}$ 都是阿贝尔群。

　　由定理 2 可知， $G_{k + 1} \supseteq [G_{k}, G_{k}]$ 对任意正整数 $k$ 成立。考虑到 $G_{2} \supseteq [G_{1}, G_{1}] = G^{(1)}$ ，从而 $G_{3} \supseteq [G_{2}, G_{2}] \supseteq [G^{(1)}, G^{(1)}] = G^{(2)}$ ；以此类推， $G_{k} \supseteq G^{(k - 1)}$ 对任意正整数 $k$ 成立。

　　因此， $G_{n} = {e} ⟹ G^{(n - 1)} = {e}$ 。

　　证毕。

2. 可解群的结构

引理 1　

　　可解群的子群和商群都可解。

　　证明：

　　给定可解群 $G$ 。

　　设 $H$ 是 $G$ 的子群，则 $[H, H] \subseteq [G, G]$ ，以此类推得 $H^{(k)} \subseteq G^{(k)}$ 对任意非负整数 $k$ 成立。因此 $G^{(n)} = {e} ⟹ H^{(n)} = {e}$ 。

　　设 $N ⊲ G$ 。

　　若 $[G, G] \subseteq N$ ，则任取 $g_{1}, g_{2} \in G$ 有 $[g_{1}, g_{2}] \in N$ ，于是 $[g_{1} N, g_{2} N] \subseteq N$ ，即 $[G / N, G / N] = N$ 。

　　若 $N \subseteq [G, G]$ ，则类似可得 $[G / N, G / N] = G^{(1)} / N$ 。

　　以此类推，由 $G^{(n)} = {e}$ 即可推出 ${(G / N)}^{(n)} = {e}$ 。

　　证毕。

引理 2　

　　给定群 $G$ 及其正规子群 $N$ ，若 $N$ 和 $G / N$ 均可解，则 $G$ 可解。

　　证明¹：

　　设 $G / N$ 和 $N$ 分别有正规序列

\begin{matrix} (4) & {\begin{aligned} G / N = & Q_{0} ⊳ Q_{1} ⊳ Q_{2} ⊳ \dots ⊳ Q_{s} = N, \\ N = & N_{0} ⊳ N_{1} ⊳ N_{2} ⊳ \dots ⊳ N_{t} = {e} . \end{aligned} \end{matrix}

　　对于 $0 \leq k \leq s$ ，令 $G_{k} = π^{- 1} (Q_{k})$ ；对于 $s < k \leq s + t + 1$ ，令 $G_{k} = N_{k - s - 1}$ 。则可以构造序列

\begin{matrix} (5) & G = G_{0} ⊳ G_{1} ⊳ \dots ⊳ G_{s + t + 1} = {e} . \end{matrix}

其中，

G_{s}

到

G_{s + t + 1}

自然构成一个正规序列。而

G_{0}

到

G_{s}

也依然满足 “全是

G_{0}

的正规子群，

G_{k - 1} / G_{k}

是阿贝尔群”，证明如下：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \forall g \in G, (Q_{k} ⊲ G / N) ⟺ & ((g^{- 1} N) (Q_{k}) (g N) = Q_{k}) \\ ⟺ & (g^{- 1} N) (π^{- 1} (Q_{k})) (g N) = {π}^{- 1} (Q_{k}) \\ ⟹ & (g^{- 1} π^{- 1} (Q_{k}) g \subseteq π^{- 1} (Q_{k})) . \end{aligned} \end{matrix}

此即证明了

π^{- 1} (Q_{k}) ⊲ G = G_{0}

。注意

π : G \to G / N

是自然同态。

　　又根据习题 2 ，

\begin{matrix} (7) & \begin{array}{r} Q_{k} / Q_{k + 1} ≅ G_{k} / G_{k + 1} . \end{array} \end{matrix}

故由

Q_{k} / Q_{k + 1}

是阿贝尔群，得证

G_{k} / G_{k + 1}

是阿贝尔群。

　　证毕。

1. ^ 此证明照搬自《代数学基础》。

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可解群

1. 可解群的定义

定义 1 可解群

定义 2 （次）正规序列

定理 1 可解群的另一定义

2. 可解群的结构

引理 1

引理 2

定义 1　可解群

定义 2　（次）正规序列

定理 1　可解群的另一定义

引理 1　

引理 2　