块对角矩阵

                     

贡献者: addis

预备知识 分块矩阵,矩阵与线性映射,子空间的直和、补空间

   块对角矩阵(block diagonal matrix)一般是指由方形对角块组成的分块方阵,例如

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3\end{pmatrix} \end{equation}
也就是除了对角线上的方块(包括单个对角元)外,其他矩阵元都为零.我们把对角线上的方块称为对角块(diagonal block),注意对角块未必要求所有矩阵元都非零.

   当我们把该矩阵乘以一个列矢量时,可以把列矢量也进行同样的划分,若对角块的大小依次为 $N_1, N_2, \dots$,那么就把列矢量也划分为相同长度的小段.这样,矩阵和列矢量相乘就相当于依次把第 $i$ 个对角块和列矢量的第 $i$ 小段相乘,每段的乘法相互独立,互不影响.

   下面来看如何把块对角矩阵与线性映射联系起来:

定理 1 

   若 $N$ 维线性空间 $V$ 中有若干 $N_i$ 维子空间 $V_i$($i=1,\dots,n$),满足

\begin{equation} V = V_1 \oplus V_2 \oplus \dots \oplus V_n \end{equation}
每个 $V_i$ 的一组基底为 $v_{i,j}$($j=1,\dots,N_i$).那么所有的 $v_{i,j}$ 是 $V$ 的一组基底(未必需要是正交归一的).定义基底的顺序为
\begin{equation} v_{1,1},\dots, v_{1,N_1}, v_{2,1}, \dots, v_{2,N_2}, \dots \end{equation}
此时若线性映射 $A: V\to V$ 在每个 $V_i$ 中都闭合.那么 $A$ 关于这组基底的矩阵就是块对角矩阵,第 $i$ 块的大小为 $N_i\times N_i$.第 $i$ 块对角块就是算符 $A:V_i\to V_i$ 关于基底 $v_{i,j}$($j=1,\dots,N_i$)的矩阵.

   证明留作习题.请试着用式 1 的矩阵作为定理 1 的例子.


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