块对角矩阵

                     

贡献者: addis

预备知识 分块矩阵,矩阵与线性映射,子空间的直和、补空间

   块对角矩阵(block diagonal matrix)一般是指由方形对角块组成的分块方阵,例如

(1)A=(110000110000002000000333000333000333) .
也就是除了对角线上的方块(包括单个对角元)外,其他矩阵元都为零。我们把对角线上的方块称为对角块(diagonal block),注意对角块未必要求所有矩阵元都非零。

   当我们把该矩阵乘以一个列矢量时,可以把列矢量也进行同样的划分,若对角块的大小依次为 N1,N2,,那么就把列矢量也划分为相同长度的小段。这样,矩阵和列矢量相乘就相当于依次把第 i 个对角块和列矢量的第 i 小段相乘,每段的乘法相互独立,互不影响。

   下面来看如何把块对角矩阵与线性映射联系起来:

定理 1 

   若 N 维线性空间 V 中有若干 Ni 维子空间 Vii=1,,n),满足

(2)V=V1V2Vn ,
每个 Vi 的一组基底为 vi,jj=1,,Ni)。那么所有的 vi,jV 的一组基底(未必需要是正交归一的)。定义基底的顺序为
(3)v1,1,,v1,N1,v2,1,,v2,N2, 
此时若线性映射 A:VV 在每个 Vi 中都闭合。那么 A 关于这组基底的矩阵就是块对角矩阵,第 i 块的大小为 Ni×Ni。第 i 块对角块就是算符 A:ViVi 关于基底 vi,jj=1,,Ni)的矩阵。

   证明留作习题。请试着用式 1 的矩阵作为定理 1 的例子。


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