块对角矩阵

贡献者： addis

预备知识　分块矩阵，矩阵与线性映射，子空间的直和、补空间

　　 块对角矩阵（block diagonal matrix）一般是指由方形对角块组成的分块方阵，例如

\begin{matrix} (1) & A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \end{matrix}) . \end{matrix}

也就是除了对角线上的方块（包括单个对角元）外，其他矩阵元都为零。我们把对角线上的方块称为对角块（diagonal block），注意对角块未必要求所有矩阵元都非零。

　　当我们把该矩阵乘以一个列矢量时，可以把列矢量也进行同样的划分，若对角块的大小依次为 $N_{1}, N_{2}, \dots$ ，那么就把列矢量也划分为相同长度的小段。这样，矩阵和列矢量相乘就相当于依次把第 $i$ 个对角块和列矢量的第 $i$ 小段相乘，每段的乘法相互独立，互不影响。

　　下面来看如何把块对角矩阵与线性映射联系起来：

定理 1　

　　若 $N$ 维线性空间 $V$ 中有若干 $N_{i}$ 维子空间 $V_{i}$ （ $i = 1, \dots, n$ ），满足

\begin{matrix} (2) & V = V_{1} \oplus V_{2} \oplus \dots \oplus V_{n}, \end{matrix}

每个

V_{i}

的一组基底为

v_{i, j}

（

j = 1, \dots, N_{i}

）。那么所有的

v_{i, j}

是

V

的一组基底（未必需要是正交归一的）。定义基底的顺序为

\begin{matrix} (3) & v_{1, 1}, \dots, v_{1, N_{1}}, v_{2, 1}, \dots, v_{2, N_{2}}, \dots \end{matrix}

此时若线性映射

A : V \to V

在每个

V_{i}

中都闭合。那么

A

关于这组基底的矩阵就是块对角矩阵，第

i

块的大小为

N_{i} \times N_{i}

。第

i

块对角块就是算符

A : V_{i} \to V_{i}

关于基底

v_{i, j}

（

j = 1, \dots, N_{i}

）的矩阵。

　　证明留作习题。请试着用式 1 的矩阵作为定理 1 的例子。

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