有界算子的预解式

             

贡献者: DTSIo; 切糕糕

预备知识 有界算子的谱

定义 1 预解式

   设 $X$ 是复巴拿赫空间,$T:X\to X$ 是有界线性算子.定于 $T$ 的预解式(resolvent) 为复变量 $z\in\mathbb{C}$ 的算子值函数 $$ R(z;T):=(z-T)^{-1}, $$ 如果 $z$ 使得上式有意义(即 $z$ 属于 $T$ 的预解集).

   然而我们首先要确认这个式子确实对某些 $z$ 有意义.引入下列定义:

定义 2 冯诺依曼级数

   设 $X$ 是巴拿赫空间,$A:X\to X$ 是有界算子.算子 $A$ 的几何级数 $$ \text{Id}+A+A^2+\dots $$ 称为冯诺依曼级数(von Neumann series)

   不难看出在 $\|A\| < 1$ 时,它按照算子范数收敛到 $(\text{Id}-A)^{-1}$,这与通常的数值几何级数很类似.

   借助冯诺依曼级数,立刻看出当 $|z| > \|T\|$ 时成立 $$ (z-T)^{-1} =\frac{1}{z}(1-z^{-1}T)^{-1} =\frac{1}{z}\sum_{n=0}\frac{T^n}{z^n}, $$ 所以可见 $R(z;T)$ 对于充分大的 $z$ 确实是全纯函数.

   据此便可以证明如下基本命题:

定理 1 

  1. 如果 $T:X\to X$ 是有界线性算子,那么预解集 $\rho(T)$ 是开集,而谱集 $\sigma(T)$ 是紧集.
  2. 如果 $T:X\to X$ 是有界线性算子,那么它至少有一个谱点,也就是说 $\sigma(T)$ 是非空紧集.

   证明 对于 1.,如果 $\lambda_0\in\rho(T)$,那么 $A:=\lambda_0-T$ 是有界的可逆算子.于是可作冯诺依曼级数 $$ A^{-1}(\text{Id}+zA^{-1}+z^2A^{-2}+\dots+z^nA^{-n}+\dots); $$ 如果 $|z| < \|A^{-1}\|^{-1}$,那么这个级数收敛到 $A^{-1}(\text{Id}-zA^{-1})^{-1}=(\lambda_0-z-T)^{-1}$.这说明预解集的点的某个邻域还包含在预解集内,从而预解集是开集,而谱集是闭集.另一方面,我们已经知道,只要 $|z| > \|T\|$,$(z-T)^{-1}$ 便是全纯函数,于是谱集包含在圆 $|z|\leq\|T\|$ 内.所以谱集是紧集.

   对于 2.,如果 $(z-T)^{-1}$ 对于所有复数 $z$ 都存在,那么根据上面的级数展开,可以看出它是全复平面上的算子值全纯函数,而且由于 $|z| > 2\|T\|$ 时有 $$ (z-T)^{-1}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}\frac{T^n}{z^n}, $$ 而右边级数的模显然小于 2,所以 $f(z)$ 是有界的全纯函数.按照刘维尔定理,它只能是常值函数,这当然不可能.Q.E.D.

   从证明中可见 $R(z;T)$ 是定义在 $\rho(T)$ 上的算子值全纯函数.


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利