有界算子的预解式

             

预备知识 有界算子的谱

定义 1 预解式

   设 $X$ 是复巴拿赫空间, $T:X\to X$ 是有界线性算子. 定于 $T$ 的预解式 (resolvent) 为复变量 $z\in\mathbb{C}$ 的算子值函数 $$ R(z;T):=(z-T)^{-1}, $$ 如果 $z$ 使得上式有意义 (即 $z$ 属于 $T$ 的预解集).

   然而我们首先要确认这个式子确实对某些 $z$ 有意义. 引入下列定义:

定义 2 冯诺依曼级数

   设 $X$ 是巴拿赫空间, $A:X\to X$ 是有界算子. 算子 $A$ 的几何级数 $$ \text{Id}+A+A^2+... $$ 称为冯诺依曼级数 (von Neumann series).

   不难看出在 $\|A\| < 1$ 时, 它按照算子范数收敛到 $(\text{Id}-A)^{-1}$, 这与通常的数值几何级数很类似.

   借助冯诺依曼级数, 立刻看出当 $|z| > \|T\|$ 时成立 $$ (z-T)^{-1} =\frac{1}{z}(1-z^{-1}T)^{-1} =\frac{1}{z}\sum_{n=0}\frac{T^n}{z^n}, $$ 所以可见 $R(z;T)$ 对于充分大的 $z$ 确实是全纯函数.

   据此便可以证明如下基本命题:

定理 1 

  1. 如果 $T:X\to X$ 是有界线性算子, 那么预解集 $\rho(T)$ 是开集, 而谱集 $\sigma(T)$ 是紧集.
  2. 如果 $T:X\to X$ 是有界线性算子, 那么它至少有一个谱点, 也就是说 $\sigma(T)$ 是非空紧集.

   证明. 对于 1., 如果 $\lambda_0\in\rho(T)$, 那么 $A:=\lambda_0-T$ 是有界的可逆算子. 于是可作冯诺依曼级数 $$ A^{-1}(\text{Id}+zA^{-1}+z^2A^{-2}+...+z^nA^{-n}+...); $$ 如果 $|z| < \|A^{-1}\|^{-1}$, 那么这个级数收敛到 $A^{-1}(\text{Id}-zA^{-1})^{-1}=(\lambda_0-z-T)^{-1}$. 这说明预解集的点的某个邻域还包含在预解集内, 从而预解集是开集, 而谱集是闭集. 另一方面, 我们已经知道, 只要 $|z| > \|T\|$, $(z-T)^{-1}$ 便是全纯函数, 于是谱集包含在圆 $|z|\leq\|T\|$ 内. 所以谱集是紧集.

   对于 2., 如果 $(z-T)^{-1}$ 对于所有复数 $z$ 都存在, 那么根据上面的级数展开, 可以看出它是全复平面上的算子值全纯函数, 而且由于 $|z| > 2\|T\|$ 时有 $$ (z-T)^{-1}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}\frac{T^n}{z^n}, $$ 而右边级数的模显然小于 2, 所以 $f(z)$ 是有界的全纯函数. 按照刘维尔定理, 它只能是常值函数, 这当然不可能. Q.E.D.

   从证明中可见 $R(z;T)$ 是定义在 $\rho(T)$ 上的算子值全纯函数.

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