Rudin 数学分析笔记 3

贡献者： addis

　　本文参考 Rudin [1]。

1. Chap 9. 多元函数

9.1 (a) 向量空间 (b) 线性组合；若 $S \subset R^{n}$ ， $E$ 是 $S$ 内元素的所有线性组合的集，就说 $S$ 生成 $E$ 。(c) 线性无关 (d) 维度 (e) 基；坐标
9.3 基底和线性无关向量的一些定理
9.4 线性变换（线性算子）
9.5 线性算子是 1-1 的当且仅当值域是定义域
9.6 (a) $L (X, Y)$ 代表所有 $X$ 到 $Y$ 的线性变换构成的集。 $L (X, X)$ 写成 $L (X)$ 。线性变换的线性组合。(b) 线性变换的乘积。(c) 范数 $‖ A ‖$ 为所有数 $| A x |$ 的最小上界，其中 $x$ 取遍 $R^{n}$ 中所有 $| x | ⩽ 1$ 的向量。对 $x \in R^{n}$ 有不等式 $| A x | ⩽ ‖ A ‖ | x |$
9.7 (a) $A \in L (R^{n}, R^{m})$ ，则 $‖ A ‖ < \infty$ 且 $A$ 是一致连续映射。(b) $‖ A + B ‖ ⩽ ‖ A ‖ + ‖ B ‖$ ， $‖ c A ‖ = | c | ‖ A ‖$ 。以 $‖ A - B ‖$ 作为距离，那么 $L (R^{n}, R^{m})$ 就是一个度量空间。(c) $‖ B A ‖ ⩽ ‖ B ‖ ‖ A ‖$
9.8 设 $Ω$ 为 $R^{n}$ 上所有可逆线性算子的集合。(a) 若 $A \in Ω$ ， $B \in L (R^{n})$ ，而且 $‖ B - A ‖ \cdot ‖ A^{- 1} ‖ < 1$ ，则 $B \in Ω$ 。(b) $Ω$ 是 $L (R^{n})$ 的开子集，映射 $A \to A^{- 1}$ 在 $Ω$ 上是连续的。
9.9 矩阵： $A x_{j} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} y_{i}$ （ $1 ⩽ j ⩽ n$ ）； $‖ A ‖ ⩽ {\sum_{i, j} a_{i j}^{2}}^{1 / 2}$
9.11 设 $E$ 是 $R^{n}$ 中的开集， $f : E \to R^{m}$ ， $x \in E$ 。如果存在把 $R^{n}$ 映入 $R^{m}$ 的线性变换 $A$ ，使得 $lim_{h \to 0} | f (x + h) - f (x) - A h | / | h | = 0$ ，就说 $f$ 在 $x$ 处可微，并写成¹ $f^{'} (x) = A$ 。（注： $A_{i j} = \partial f_{i} / \partial x_{j}$ ）
一元函数的可导和可微等价。
9.13 上面的极限能被写成 $f (x + h) - f (x) = f^{'} (x) h + r (h)$ ，其中余项 $r (h)$ 满足 $lim_{h \to 0} | r (h) | / | h | = 0$ 。
9.16 偏导数
9.17 若 $f$ 在点 $x \in E$ 可微，那么偏导数 $D_{j} f_{i} (x)$ 存在，且 $f^{'} (x) e_{j} = \sum_{i = 1}^{m} (D_{j} f_{i}) (x) u_{i}$ （ $1 ⩽ j ⩽ n$ ）
9.18 例：设 $γ$ 是把开区间 $(a, b) \subset R^{1}$ 映入开集 $E \subset R^{n}$ 内的可微映射，即 $γ$ 是 $E$ 内的可微曲线。令 $f$ 为域 $E$ 上的实值可微函数。于是 $f$ 是从 $E$ 到 $R^{1}$ 内的可微映射。定义 $g (t) = f (γ (t))$ （ $a < t < b$ ）。于是由链式法则得到 $g^{'} (t) = f^{'} (γ (t)) γ^{'} (t)$ （ $a < t < b$ ）。
梯度 $(\nabla f) (x) = \sum_{i = 1}^{n} (D_{i} f) (x) e_{i}$
9.20 设 $f$ 是开集 $E \subset R^{n}$ 到 $R^{m}$ 内的可微映射。如果 $f^{'}$ 是把 $E$ 映入 $L (R^{n}, R^{m})$ 的连续映射，就说 $f$ 是在 $E$ 内连续可微的。更明确地，它要求对每个 $x \in E$ 以及 $ϵ > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使当 $y \in E$ 以及 $| x - y | < δ$ 时， $‖ f^{'} (y) - f^{'} (x) ‖ < ϵ$ 。我们也说 $f$ 是 $C^{'}$ 映射，或者 $f \in^{'} (E)$ 。
9.21 设 $f$ 把开集 $E \subset R^{n}$ 映入 $R^{m}$ 内。那么当且仅当 $f$ 的所有偏导数 $D_{j} f_{i}$ （ $i ⩽ i ⩽ m, 1 ⩽ j ⩽ n$ ）在 $E$ 上都存在并且连续时， $f \in C^{'} (E)$ 。
9.22 设 $X$ 是度量为 $d$ 的度量空间。如果 $φ : X \to X$ ，并且存在 $c < 1$ ，对一切 $x, y \in X$ ，使得 $d (φ (x), φ (y)) ⩽ c d (x, y)$ ，那么，就说 $φ$ 是 $X$ 到 $X$ 内的一个凝缩函数。
9.23 如果 $X$ 是完备度量空间， $φ$ 是 $X$ 到 $X$ 内的凝缩函数，那么存在唯一满足 $φ (x) = x$ 的 $x \in X$ 。也就是说 $φ$ 有唯一的不动点。
粗略地说，反函数定理说的是，一个连续可微映射 $f$ ，在使线性变换 $f^{'} (x)$ 可逆的点 $x$ 的邻域内是可逆的。（且反函数也是连续可微的）
9.24 设 $f$ 把开集 $E \subset R^{n}$ 映入 $R^{m}$ 内的 $C^{'}$ 映射，对某个 $a \in E$ ， $f^{'} (a)$ 可逆，且 $b = f (a)$ 。那么 (a) 在 $R^{n}$ 内存在开集 $U$ 和 $V$ ，使得 $a \in U, b \in V$ ， $f$ 在 $U$ 上是 1-1 的，并且 $f (U) = V$ ；(b) 若 $g$ 是 $f$ 的逆，他在 $V$ 内由 $g (f (x)) = x$ （ $x \in U$ ）确定，那么 $g \in C^{'} (V)$ 。
9.28 隐函数定理：设 $f$ 是开集 $E \subset R^{n + m}$ 到 $R^{n}$ 内的 $C^{'}$ 映射，且在某点 $(a, b) \in$ $E$ 使 $f (a, b) = 0$ 。令 $A = f^{'} (a, b)$ , 并假定 $A_{x}$ 可逆。那么，存在着开集 $U \subset R^{n + m}$ 及 $W \subset R^{m}, (a, b) \in U$ 而 $b \in W$ , 它们有以下的性质：对应于每个 $y \in W$ , 有惟一的 $x$ , 它合于 $(x, y) \in U$ 且 $f (x, y) = 0$ . 如果把这 $x$ 定义成 $g (y)$ , 那么 $g$ 是 $W$ 到 $R^{n}$ 内的 $C^{'}$ 映射， $g (b) = a$ , $f (g (y), y) = 0 (y \in W)$ 并且 $g^{'} (b) = - {(A_{x})}^{- 1} A_{y}$
9.38 如果 $f$ 把开集 $E \subset R^{n}$ 映入 $R^{n}$ 内，且 $f$ 在点 $x \in E$ 可微， $f^{'} (x)$ 的行列式就叫做 $f$ 在 $x$ 的雅可比行列式（Jacobian）。记为 $J_{f} (x) = det f^{'} (x)$ 。如果 $(y_{1}, \dots, y_{n}) = f (x_{1}, \dots, x_{n})$ ，我们又把 $J_{f} (x)$ 记为 $\partial (y_{1}, \dots, y_{n}) / \partial (x_{1}, \dots, x_{n})$ 。

2. Chap 10. 微分形式的积分

10.1 设 $I^{k}$ 是 $R^{k}$ 中的 $k$ -方格，它由满足 $a_{i} ⩽ x_{i} ⩽ b_{i}$ （ $i = 1, \dots, k$ ）的一切 $x = (x_{1}, \dots, x_{k})$ 组成， $I^{j}$ 是 $R^{j}$ 中的 $j$ -方格，它由前 $j$ 个不等式来确定， $f$ 是 $I^{k}$ 上的连续函数。令 $f = f_{k}$ ，而用下式定义 $I^{k - 1}$ 上的函数 $f_{k - 1}$ ： $f_{k - 1} (x_{1}, \dots, x_{k - 1}) = \int_{a_{k}}^{b_{k}} f_{k} (x_{1}, \dots, x_{k - 1}, x_{k}) d x_{k}$ 。 $f_{k}$ 在 $I^{k}$ 上的一致连续性表明 $f_{k - 1}$ 在 $I^{k - 1}$ 上连续。因此，我们能够重复应用这种手续，得到 $I^{j}$ 上的连续函数 $f_{j}$ ，…… $k$ 步以后，就能得到一个数 $f_{0}$ ，我们就把这个数叫做 $f$ 在 $I^{k}$ 上的积分，并写成 $\int_{I^{k}} f (x) d x$ 或者 $\int_{I^{k}} f$ 。
10.2 对每个 $f \in C (I^{k})$ （连续有界复函数），积分结果与顺序无关。
10.3 $R^{k}$ 上一个（实或复）函数 $f$ 的支集（support），是使 $f (x) \neq 0$ 的一切点集的闭包。如果 $f$ 是带有紧支集的连续函数，令 $I^{k}$ 是含有 $f$ 的支集的任意 $k$ -方格，并定义 $\int_{R^{k}} f = \int_{I^{k}} f$ 。这样定义的积分显然与 $I^{k}$ 的选择无关。
10.4 令 $Q^{k}$ 是由 $R^{k}$ 中符合 $x_{1} + \dots + x_{k} ⩽ 1$ 且 $x_{i} > 0$ （ $i = 1, \dots, k$ ）的一切点 $x = (x_{1}, \dots, x_{k})$ 组成的 $k$ -单形。
10.5 本源映射： $G (x) = x + [g (x) - x_{m}] e_{m}$ 。
10.6 在 $R^{n}$ 上，只把标准基的某一对成员交换，而其他成员不变的线性算子 $B$ 叫做对换。 $B$ 也可以看成是交换两个坐标，而基不变。
10.10 设 $E$ 是 $R^{n}$ 中的开集。 $E$ 中的 $k$ -曲面（ $k$ -surface）是从紧集 $D \subset R^{k}$ 到 $E$ 内的 $C^{'}$ 映射 $Φ$ 。 $D$ 叫做 $Φ$ 的参数域（parameter domain）。 $D$ 中的点记为 $u = (u_{1}, \dots, u_{k})$ 。
10.11 设 $E$ 是 $R^{n}$ 中的开集。 $E$ 中的 $k ⩾ 1$ 次微分形式（differential form）（简称为 $E$ 中的 $k$ -形式）是一个函数，用符号表示为 $ω = \sum a_{i_{1} \dots i_{k}} (x) d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}$ （指标 $i_{1}, \dots, i_{k}$ 各自从 $1$ 到 $n$ 独立变化）的，它给 $E$ 中的每个 $k$ -曲面 $Φ$ 规定一个数 $\int_{Φ} ω = \int_{D} \sum a_{i_{1}, \dots, i_{k}} (Φ (u)) \partial (x_{i_{1}}, \dots, x_{i_{k}}) / \partial (u_{1}, \dots, u_{k}) d u$ ，其中 $D$ 是 $Φ$ 的参数域。假设 $a_{i_{1}, \dots, i_{k}}$ 为 $E$ 上的连续实函数。如果 $Φ$ 的分量为 $ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n}$ ，那么上面的雅可比行列式就由 $(u_{1}, \dots, u_{k}) \to (ϕ_{i_{1}} (u), \dots, ϕ_{i_{k}} (u))$ 。如果函数 $a_{i_{1}} \dots a_{i_{k}}$ 都属于 $C^{'}$ 或者 $C^{″}$ ，那么就说 $k$ -形式 $ω$ 属于 $C^{'}$ 类或者 $C^{″}$ 类。
10.12 例子 (a) $ω = y d x + x d y$ 那么 $\int_{γ} ω = \int_{0}^{1} [γ_{1} (t) γ_{2}^{'} (t) + γ_{2} (t) γ_{1}^{'} (t)] d t = γ_{1} (1) γ_{2} (1) - γ_{1} (0) γ_{2} (0)$ 对闭合曲线为零。 $1$ -形式的积分时常叫做线积分。(b) $\int_{γ} x d y$ 是逆时针曲线所围面积， $\int_{γ} y d x$ 是顺时针曲线所围面积。(c) $R^{3}$ 上的 $3$ -曲面 $Φ (r, θ, φ) = (r \sin θ \cos φ, r \sin θ \sin φ, r \cos θ)$ 。 $J_{Φ} (r, θ, φ) = r^{2} \sin θ$ 因此 $\int_{Φ} d x \land d y \land d z = \int_{D} J_{Φ} = 4 π / 3$ 。
10.13 $w, w_{1}, w_{2}$ 是 $E$ 中的 $k$ -形式。当且仅当对于 $E$ 中的每个 $k$ -曲面 $Φ$ ， $ω_{1} (Φ) = ω_{2} (Φ)$ 时，就写成 $ω_{1} = ω_{2}$ 。特别低， $ω = 0$ 表示对 $E$ 中每个 $k$ -曲面 $Φ$ ， $ω (Φ) = 0$ 。令 $c \in R$ ，那么 $c ω$ 由 $\int_{Φ} c ω = c \int_{Φ} ω$ 确定，而 $ω = ω_{1} + ω_{2}$ 表示…… $- ω$ 表示。
考虑 $ω = a (x) d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}$ ，令 $\bar{ω}$ 是对调两个脚标所得的 $k$ -形式。由（雅可比）行列式的性质， $\bar{ω} = - ω$ 。特别地，如果微分形式的某一项出现了两个相同的下表，就有 $ω = 0$ 。
10.14 设 $i_{1}, \dots, i_{k}$ 为正整数， $1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n$ ，又设 $I$ 是 $k$ 元有序组（ $k$ -序组） ${i_{1}, \dots, i_{k}}$ ，那么我们称 $I$ 为递增 $k$ -指标，采用简短的记法 $d x_{I} = d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}$ 。这些形式的 $d x_{I}$ 叫做 $R^{n}$ 中的基本 $k$ -形式。恰好存在 $n! / k! (n - k)!$ 个。
如果微分形式中每个 $k$ -元组变为递增 $k$ -指标，那么就得到 $ω$ 的标准表示 $ω = \sum_{I} b_{I} (x) d x_{I}$ ，其中求和遍历一切递增 $k$ -指标 $I$ 。
10.15 唯一性定理
10.16 基本 $k$ -形式的乘积：设 $I = {i_{1}, \dots, i_{p}}$ ， $J = {j_{1}, \dots, j_{q}}$ 。……积是 $R^{n}$ 中的 $(p + q)$ -形式， $d x_{I} \land d x_{J} = d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{p}} \land d x_{j_{1}} \land \dots \land d x_{j_{q}}$ 。如果 $I, J$ 有公共元素，那么结果为零。如果没有公共元素，把元素递增排列，得到的 $(p + q)$ -指标写作 $[I, J]$ 。那么 $d x_{[I, J]}$ 是基本 $(p + q)$ -形式。……
10.17 乘法： $ω, λ$ 分别是…… $p$ -形式和 $q$ -形式，标准表示为 $ω = \sum_{I} b_{I} (x) d x_{I}$ ， $λ = \sum_{J} c_{J} (x) d x_{J}$ 。其中……。他们的乘积定义为 $ω \land λ = \sum_{I, J} b_{I} (x) c_{J} (x) d x_{I} d x_{J}$ 。
10.18 $ω$ 是…… $k$ -形式。定义微分算子 $d$ ，它给每个 $ω$ 联系上一个 $(k + 1)$ -形式。 $E$ 中的 $C^{'}$ 类的 $0$ -形式，恰好是实函数 $f \in C^{'} (E)$ ，定义 $d f = \sum_{i = 1}^{n} (D_{i} f) (x) d x_{i}$ 。如果 $ω = \sum b_{I} (x) d x_{I}$ 是 $k$ -形式 $ω$ 的标准表示，而对每个递增 $k$ -指标 $I$ 来说 $b_{I} \in C^{'} (E)$ ，就定义 $d ω = \sum_{I} (d b_{I}) \land d x_{I}$ 。
10.26 对向量空间 $X, Y$ ，令 $f : X \to Y$ 。如果 $f - f (0)$ 是线性的，就称 $f$ 为仿射的（affine）。也就是说要求存在某个 $A \in L (X, Y)$ 使得 $f (x) = f (0) + A x$ 。
定义标准单形（standard simplex） $Q^{k}$ 为由形如 $u = \sum_{i = 1}^{k} α_{k} e_{i}$ 使 $α_{i} ⩾ 0$ （ $i = 1, \dots, k$ ）并且 $\sum α_{i} ⩽ 1$ 的一切 $u \in R^{k}$ 组成的集。
有向仿射 $k$ -单形（oriented affine $k$ -simplex） $σ = [p_{0}, p_{1}, \dots, p_{k}]$ 是用 $Q^{k}$ 作参数域，由仿射映射 $σ (α_{1} e_{1} + \dots + α_{k} e_{k}) = p_{0} + \sum_{i = 1}^{k} α_{i} (p_{i} - p_{0})$ 。给出的 $R^{n}$ 中的 $k$ -曲面。注意……
10.28 开集 $E \subset R^{n}$ 中的仿射 $k$ -链 $Γ$ 是 $E$ 中有限多个有向仿射 $k$ -单形 $σ_{1}, \dots, σ_{r}$ 的集体。这些 $k$ -单形不必各不相同。
设 $ω$ 是 $E$ 中的 $k$ -形式，定义 $\int_{Γ} ω = \sum_{i = 1}^{r} \int_{σ_{i}} ω$ 。
10.30……复合映射 $Φ = T \circ σ$ 是 $V$ 中的以 $Q^{k}$ 为参数域的 $k$ 曲面。称 $Φ$ 为 $C^{″}$ 类的有向 $k$ -单形。 $V$ 中 $C^{″}$ 类的有向 $k$ -单形 $Φ_{1}, \dots, Φ_{r}$ 的有限集 $Ψ$ 叫做 $V$ 中的 $C^{″}$ 类的 $k$ -链。
10.33 Stokes 定理：设 $Ψ$ 是开集 $V \subset R^{m}$ 中的 $C^{″}$ 类 $k$ -链， $ω$ 是 $V$ 中的 $C^{'}$ 类 $(k - 1)$ -形式，那么 $\int_{Ψ} d ω = \int_{\partial Ψ} ω$ 。

3. Chap 11. Lebesgue 理论

对集合 $A, B$ ，定义 $A - B$ 为 ${x | x \in A, x \notin B}$ 。
11.1 设 $R$ 是由集构成的一个类（family of sets）²，并且由 $A \in R$ ， $B \in R$ 能推出 $A ⋃ B \in R$ ， $A - B \in R$ 。就说 $R$ 是环（ring）。
由于 $A ⋂ B = A - (A - B)$ ，必然有 $A ⋂ B \in R$ 。
如果一旦 $A_{n} \in R$ ， $n = 1, 2, 3, \dots$ 就有 $⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in R$ ，那么 $R$ 就叫 $σ$ -环。
11.2 如果 $ϕ$ 能给每个集合 $A \in R$ 指派广义实数系内的一个数 $ϕ (A)$ ，就说它是定义在 $R$ 上的集函数（set function）。如果能从 $A \cap B = 0$ 得出 $ϕ (A ⋃ B) = ϕ (A) + ϕ (B)$ ，那么 $ϕ$ 就是可加的（additive）。如果能从 $A_{i} ⋂ A_{j} = 0$ （ $i \neq j$ ) 得出 $ϕ (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} ϕ (A_{n})$ ， $ϕ$ 就是可数可加的（countably additive）。注意这与 $A_{n}$ 的排列次序无关，所以重排定理表明等式右边只要收敛就绝对收敛。如果不收敛，它的部分和就趋于 $\pm \infty$ 。
11.4 $R^{p}$ 中的区间（interval）指的是满足 $a_{i} ⩽ x_{i} ⩽ b_{i}$ （ $i = 1, \dots, p$ ）的点 $x = (x_{1}, \dots, x_{p})$ 的集合，或者把任意或全部 $⩽$ 改为 $<$ 的集合。允许任意 $a_{i} = b_{i}$ 。规定空集属于区间。若 $A$ 是有限个区间的并，就说 $A$ 是初等集（elementary set）。
令 $I$ 是区间，定义 $m (I) = Π_{i = 1}^{p} (b_{i} - a_{i})$ 。如果 $A = I_{1} ⋃ \dots ⋃ I_{n}$ ，并且这些区间两两不相交，就令 $m (A) = m (I_{1}) + \dots + m (I_{n})$ 。用 $E$ 表示所有初等集的类。
(12) $E$ 是环，但不是 $σ$ -环。(13) 如果 $A \in E$ ，那么 $A$ 必定是有限个不相交的区间的并。(15) $m$ 在 $E$ 上可加。当 $p = 1, 2, 3$ 时， $m$ 分别是长度，面积和体积。
11.5 设 $ϕ$ 是 $E$ 上的非负可加的集函数。如果对于每个 $A \in E$ 和 $ε > 0$ ，存在闭集 $F \in E$ 和开集 $G \in E$ 满足 $F \subset A \subset G$ ，并且 $ϕ (G) - ε ⩽ ϕ (A) ⩽ ϕ (F) + ε$ ，就说 $ϕ$ 是正规的（regular）。
11.6 集函数 $m$ 是正规的。……
11.7 设 $μ$ 在 $E$ 上可加，正规，非负且有限。 $E$ 是 $R^{p}$ 中的任何集。考虑由初等开集 $A_{n}$ 组成的 $E$ 的覆盖 $E \subset ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ 。定义 $μ^{*} (E) = inf \sum_{n = 1}^{\infty} μ (A_{n})$ ，此处的下确界是对 $E$ 的一切初等开集组成的可数覆盖来取的。 $μ^{*} (E)$ 叫做 $E$ 对应于 $μ$ 的外测度（outer measure）。“测度” 的拼音是（ce4 du4）。
对于所有的 $E$ ， $μ^{*} (E) ⩾ 0$ ，且当 $E_{1} \subset E_{2}$ 时， $μ^{*} (E_{1}) ⩽ μ^{*} (E_{2})$ 。
11.8 (a) 对每个 $A \in E$ ， $μ^{*} (A) = μ (A)$ 。这说明 $μ^{*}$ 把 $μ$ 从初等集拓展到 $R^{n}$ 上的一般集合 (b) 次加性（subadditivity）：如果 $E \subset R^{n}$ ， $E = ⋃_{1}^{\infty} E_{n}$ ，那么 $μ^{*} (E) ⩽ \sum_{n = 1}^{\infty} μ^{*} (E_{n})$ 。
11.9 对任意 $A, B \subset R^{p}$ ，定义 $S (A, B) = (A - B) ⋃ (B - A)$ ， $d (A, B) = μ^{*} (S (A, B))$ 。如果 $lim_{n \to \infty} d (A, A_{n}) = 0$ ，就记 $A_{n} \to A$ 。若有一列初等集 ${A_{n}}$ 满足 $A_{n} \to A$ ，就说 $A$ 是有限 $μ$ 可测的（finitely $μ$ -measurable），记为 $A \in M_{F} (μ)$ 。若 $A$ 是可数多个有限 $μ$ 可测集的并，就说 $A$ 是 $μ$ 可测的（ $μ$ -measurable），记为 $A \in M (μ)$ 。 $S (A, B)$ 是所谓的 “对称差（symmetric difference）”。 $d (A, B)$ 是一个距离函数。
11.10 $M (μ)$ 是 $σ$ -环， $μ^{*}$ 在 $M (μ)$ 上可数可加。
……就把原来定义在 $E$ 上的 $μ$ 推广成 $σ$ -环 $M (μ)$ 上的可数可加集函数了。这个推广了的集函数叫做一个测度（measure）。 $μ = m$ 的特殊情形叫做 $R^{p}$ 上的 Lebesgue 测度。
11.12 如果集合 $X$ 存在子集（称为可测集）组成的 $σ$ -环 $M$ ，以及其上的一个非负可数可加集函数 $μ$ （称为测度），就说 $X$ 是测度空间（measure space）。如果还有 $X \in M$ ，那么 $X$ 称为可测空间（measurable space）。
（私货）可测空间的 $σ$ -环就是 $σ$ -代数。
概率论中，事件可以看作是集合，而事件发生的概率是可加（或可数可加）集函数。
11.13 设 $f$ 是可测空间 $X$ 上的函数，在广义实数系内取值。如果 ${x | f (x) > a}$ 对于每个实数 $a$ 可测，就说函数 $f$ 是可测的（measurable）。
11.17 设 ${f_{n}}$ 是一列可测函数。当 $x \in X$ ，令 $g (x) = sup f_{n} (x)$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）， $h (x) = \underset{n \to \infty}{lim sup} f_{n} (x)$ 。那么 $g, h$ 可测。
推论 (a) 假若 $f, g$ 可测，那么 $max (f, g)$ 和 $min (f, g)$ 可测。如果 $f^{+} = max (f, 0)$ ， $f^{-} = - min (f, 0)$ ，那么 $f^{+}, f^{-}$ 都可测。
……(b) 可测函数序列的极限函数是可测函数。
11.18 设 $f, g$ 是定义在 $X$ 上的可测实函数，而 $F$ 是 $R^{2}$ 上的实连续函数，令 $h (x) = F (f (x), g (x))$ （ $x \in X$ ），那么 $h$ 可测。特别地， $f + g$ 和 $f g$ 可测。
11.19 设 $s$ 是 $X$ 上的实值函数。如果 $s$ 的值域是有限集，就说 $s$ 为简单函数（simple function）。设 $E \subset X$ ，令 $K_{E} (x) = {\begin{aligned} 1 (x \in E) \\ 0 (x \notin E) \end{aligned}$ 。 $K_{E}$ 称为 $E$ 的特征函数（characteristic function）。
11.20 设 $f$ 为 $X$ 上的实函数。那么存在一列简单函数 ${s_{n}}$ ，对于每个 $x \in X$ 当 $n \to \infty$ 时 $s_{n} (x) \to f (x)$ 。若 $f$ 可测，可选 ${s_{n}}$ 为可测函数序列。若 $f ⩾ 0$ ，可以选 ${s_{n}}$ 为单调增序列
11.21 设 $s (x) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} K_{E_{i}} (x)$ （ $x \in X, c_{i} > 0$ ）可测，而且 $E \in M$ 。我们定义 $I_{E} (s) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} μ (E ⋂ E_{i})$ 。如果 $f$ 可测且为非负的，我们定义 $\int_{E} f d μ = sup I_{E} (s)$ 。这里 $sup$ 是对所有满足 $0 ⩽ s ⩽ f$ 的简单函数 $s$ 而取的。这就是 $f$ 关于测度 $μ$ 在集 $E$ 上的 Lebesgue 积分，积分可以取 $+ \infty$ 。
11.22 设 $f$ 为可测函数，考虑两积分 $\int_{E} f^{\pm} d μ$ 。如果其中至少有一个有限，我们定义 $\int_{E} f d μ = \int_{E} f^{+} d μ - \int_{E} f^{-} d μ$ 。若两个积分都有限，那么左边也有限，就说 $f$ 在 $E$ 上对 $μ$ 是 Lebesgue 可积的，记为 $f \in L (μ)$ ，若 $μ = m$ ，就说在 $E$ 上 $f \in L$ 。
11.23 (a) 若 $f$ 在 $E$ 上有界可测，而且 $μ (E) < + \infty$ , 那么在 $E$ 上 $f \in L (μ)$ . (b) 如果 $x \in E$ 时 $a ⩽ f (x) ⩽ b$ , 而且 $μ (E) < + \infty$ , 那么 $a μ (E) ⩽ \int_{E} f d μ ⩽ b μ (E)$ (c) 如果在 $E$ 上 $f$ 与 $g \in L (μ)$ , 而且当 $x \in E$ 时 $f (x) ⩽ g (x)$ , 那么 $\int_{E} f d μ ⩽ \int_{E} g d μ$ . (d) 如果在 $E$ 上 $f \in L (μ)$ , 那么对于每个有限常数 $c$ , 在 $E$ 上 $c f \in L (μ)$ , 而且 $\int_{E} c f d μ = c \int_{E} f d μ$ . (e) 如果 $μ (E) = 0$ , 而 $f$ 可测，那么 $\int_{E} f d μ = 0$ . (f) 如果在 $E$ 上 $f \in L (μ), A \in M$ , 且 $A \subset E$ , 那么在 $A$ 上 $f \in L (μ)$ .
11.24 (a) 设在 $X$ 上 $f$ 非负可测。若 $A \in M$ , 定义 $ϕ (A) = \int_{A} f d μ$ , 那么 $ϕ$ 在 $M$ 上可数可加。(b) 如果在 $X$ 上 $f \in L (μ)$ , 这结论也成立。
若 $A \in M, B \subset A$ , 而且 $μ (A - B) = 0$ , 那么 $\int_{A} f d μ = \int_{B} f d μ$ .
11.25 上述推论说明，零测度集在积分时可以忽略。若集 ${x ∣ f (x) \neq g (x)} \cap E$ 是零测度的，就写作：在 $E$ 上 $f \sim g$ . 这样， $f \sim f; f \sim g$ 意味着 $g \sim f$ ; 由 $f \sim g, g \sim h$ 能推出 $f \sim h$ . 这就是说，关系 $\sim$ 是等价关系。若在 $E$ 上 $f \sim g$ , 显然可得 $\int_{A} f d μ = \int_{A} g d μ$ , 只要这些积分对每个可测子集 $A \subset E$ 存在。若一性质 $P$ 对于每个点 $x \in E - A$ 成立，并且 $μ (A) = 0$ , 习惯上说 $P$ 几乎对于一切 $x \in E$ 成立，或 $P$ 在 $E$ 上几乎处处成立。（“几乎处处” 这个概念自然依赖于所考虑的特定测度。在文献中，除非有什么别的附笔，一般指的是 Lebesgue 测度。）若在 $E$ 上 $f \in L (μ)$ , 显然 $f (x)$ 必然在 $E$ 上几乎处处有限。
11.26 定理若在 $E$ 上 $f \in L (μ)$ , 那么在 $E$ 上 $| f | \in L (μ)$ , 而且 $| \int_{E} f d μ | ⩽ \int_{E} | f | d μ$ . 因为 $f$ 的可积性包含着 $| f |$ 的可积性，所以 Lebesgue 积分常常被称为绝对收敛积分. 自然还可以定义非绝对收敛的积分，而且在处理某些问题时这样做是重要的。但是这种积分缺乏勒贝格积分的某些最有用的性质，在分析中起的作用比较次要些。
11.27 设 $f$ 在 $E$ 上可测， $| f | ⩽ g$ , 并且在 $E$ 上 $g \in L (μ)$ . 那么在 $E$ 上 $f \in L (μ)$ .
11.28 Lebesgue 单调收敛定理 假设 $E \in M, {f_{n}}$ 是可测函数序列，满足 $0 ⩽ f_{1} (x) ⩽ f_{2} (x) ⩽ \dots (x \in E)$ . $n \to \infty$ 时用， $f_{n} (x) \to f (x) (x \in E)$ 来定义 $f$ . 那么 $\int_{E} f_{n} d μ \to \int_{E} f d μ (n \to \infty)$
11.29 假设 $f = f_{1} + f_{2}$ , 在 $E$ 上 $f_{i} \in L (μ) (i = 1, 2)$ , 那么在 $E$ 上 $f \in L (μ)$ , 并且 $\int_{E} f d μ = \int_{E} f_{1} d μ + \int_{E} f_{2} d μ$
11.30 假设 $E \in M, {f_{n}}$ 是非负可测函数序列，并且 $f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x), (x \in E)$ 那么 $\int_{E} f d μ = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{E} f_{n} d μ$ .
11.31 Fatou 定理：假设 $E \in M$ , 若 ${f_{n}}$ 是非负可测函数序列，并且 $f (x) = lim_{n \to \infty} inf_{n} (x) (x \in E)$ , 那么 $\int_{E} f d μ ⩽ \underset{n \to \infty}{lim inf} \int_{E} f_{n} d μ$
11.32 Lebesgue 控制收敛定理 假设 $E \in M, {f_{n}}$ 是可测函数序列，当 $n \to \infty$ 时 $f_{n} (x) \to f (x) (x \in E)$ , 如果在 $E$ 上有函数 $g \in L (μ)$ , 使 $| f_{n} (x) | ⩽ g (x) (n = 1, 2, 3, \dots, x \in E)$ , 那么 $lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} d μ = \int_{E} f d μ$ .
推论：若 $μ (E) < + \infty, {f_{n}}$ 在 $E$ 上一致有界，且在 $E$ 上 $f_{n} (x) \to f (x)$ , 必然 $lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} d μ = \int_{E} f d μ$ 成立。一致有界收敛序列常常被称为有界收敛序列。
令可测空间 $X$ 是实轴上的区间 $[a, b]$ , 取 $μ = m$ (Lebesgue 测度), 并且 $M$ 是 $[a, b]$ 的 Lebesgue 可测子集之类。习惯上采用熟悉的符号 $\int_{a}^{b} f d x$ 代替 $\int_{X} f d m$ , 来表示 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Lebesgue 积分。为了区别 Riemann 积分与 Lebesgue 积分，我们现在把前者表示为 $R \int_{a}^{b} f d x$ .
11.33 (a) 如果在 $[a, b]$ 上 $f \in R$ , 必然在 $[a, b]$ 上 $f \in L$ 而且 $\int_{a}^{b} f d x = R \int_{a}^{b} f d x$ . (b) 假定 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界，那么在 $[a, b]$ 上 $f \in R$ , 当且仅当 $f$ 在 $[a, b]$ 上几乎处处连续。
积分和微分之间常见的联系，大部可以转入 Lebesgue 理论中来。若在 $[a, b]$ 上 $f \in L$ , 并且 $F (x) = \int_{a}^{x} f d t (a ⩽ x ⩽ b)$ 那么在 $[a, b]$ 上几乎处处 $F^{'} (x) = f (x)$ . 反之，若 $F$ 在 $[a, b]$ 的每一点处可微，并且在 $[a, b]$ 上 $F^{'} \in L$ , 则 $F (x) - F (a) = \int_{a}^{x} F^{'} (t) (a ⩽ x ⩽ b)$
11.34 设 $X$ 是可测空间。如果复函数 $f$ 可测并且 $\int_{x} | f |^{2} d μ < + \infty$ , 就说在 $X$ 上 $f \in L^{2} (μ)$ , 如果 $μ$ 是 Lebesgue 测度，就说 $f \in L^{2}$ . 当 $f \in L^{2} (μ)$ 时，(从现在起，省略 “在 $X$ 上” 三个字) 定义 $‖ f ‖ = {\int_{X} | f |^{2} d μ}^{\frac{1}{2}}$ , 而把 $‖ f ‖$ 叫做 $\int$ 的 $L^{2} (μ)$ 范数。
11.35 假设 $f, g \in L^{2} (μ)$ . 那么 $f g \in L (μ)$ , 并且 $\int_{x} | f g | d μ ⩽ ‖ f ‖ ‖ g ‖$
11.36 定理如果 $f, g \in L^{2} (μ)$ , 那么 $f + g \in L^{2} (μ)$ , 而且 $‖ f + g ‖ ⩽ ‖ f ‖ + ‖ g ‖$ .
11.37 如果我们把 $L^{2} (μ)$ 内两函数 $f$ 与 $g$ 间的距离定义为 $‖ f - g ‖$ , 可以知道定义 $2.15$ 的条件都能满足，仅有的例外是 $‖ f - g ‖ = 0$ 并不意味着 $f (x) = g (x)$ 对一切 $x$ 成立，而只是几乎对一切 $x$ 成立。所以如果把只在一个零测度集上不相同的函数等同起来， $L^{2} (μ)$ 便是一个度量空间。现在我们在实轴的一个区间上对于 Lebesgue 测度来考虑 $L^{2}$ .
11.38 连续函数在 $[a, b]$ 上构成 $L^{2}$ 的一个稠密子集。更明确地：对于 $[a, b]$ 上的任何 $f \in L^{2}$ , 和任何 $ε > 0$ , 总有 $[a, b]$ 上的连续函数 $g$ , 使得 $‖ f - g ‖ = {\int_{a}^{b} | f - g |^{2} d x}^{\frac{1}{2}} < ε$
11.39 我们说复函数序列 ${ϕ_{n}}$ 是可测空间 $X$ 上函数的正规正交系，就是要求 $\int_{X} ϕ_{m} {\bar{ϕ}}_{n} d μ = {\begin{cases} 0 & (n \neq m), \\ 1 & (n = m) . \end{cases}$ 特别地，我们必有 $ϕ_{n} \in L^{2} (μ)$ . 若是 $f \in L^{2} (μ)$ 而且 $c_{n} = \int_{x} f {\bar{ϕ}}_{n} d u (n = 1, 2, 3, \dots)$ , 便照定义 8.10 那样，写成 $f \sim \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} ϕ_{n}$ .
三角 Fourier 级数的定义同样可以在 $[- π, π]$ 上扩充到 $L^{2}$ (或甚至扩充到 $L$ ). 定理 8.11 与 8.12 (Bessel 不等式) 对任何 $f \in L^{2} (μ)$ 成立。
11.40 假设在 $[- π, π]$ 上 $f \in L^{2}$ , $f (x) \sim \sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x}$ , 令 $s_{n}$ 是 (99) 的第 $n$ 个部分和。那么 $lim_{x \to \infty} ‖ f - s_{n} ‖ = 0$ , $\sum_{- \infty}^{\infty} {| c_{n} |}^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | f |^{2} d x$
如果 $L^{2}$ 里的两个函数能取得相同的 Fourier 级数，那么它们至多在一个零测度集上不相同。
11.42 $L^{2} (μ)$ 是完备度量空间。
11.43 Riesz-Fischer 定理设 ${ϕ_{n}}$ 是 $X$ 上的正规正交系。假定 $Σ {| c_{n} |}^{2}$ 收敛，再设 $s_{n} = c_{1} ϕ_{1} + \dots + c_{n} ϕ_{n}$ , 必然存在一个函数 $f \in L^{2} (μ)$ , 使 ${s_{n}}$ 在 $L^{2} (μ)$ 内收敛于 $f$ , 并且 $f \sim \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} ϕ_{n}$
11.44 定义 ${ϕ_{n}}$ 是正规正交集， $f \in L^{2} (μ)$ . 如果由等式 $\int_{x} f {\bar{ϕ}}_{k} d μ = 0 (n = 1, 2, 3, \dots)$ 能推出 $‖ f ‖ = 0$ , 就说 ${ϕ_{n}}$ 是完备的。
11.45 设 ${ϕ_{n}}$ 是完备正规正交系。如果 $f \in L^{2} (μ)$ , 并且 $f \sim \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} ϕ_{n}$ , 必然 $\int_{X} | f |^{2} d μ = \sum_{n = 1}^{\infty} {| c_{n} |}^{2}$

1. ^ $A$ 的矩阵就是雅可比矩阵
 2. ^ 集合的集合叫类

[1] ^ Walter Rudin. Principle of Mathematical Analysis

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