Rudin 实分析与复分析笔记 1

贡献者： addis

1. Chap 1. 抽象积分

(a) 对每一个复数 $z, e^{z} \neq 0$ . (b) $\exp$ 的导数是它自己。(c) $\exp$ 限制在实轴上是单调增加的正函数，且当 $x \to \infty$ 时， $e^{x} \to \infty$ ; 当 $x \to - \infty$ 时， $e^{x} \to 0$ . (d) 存在一个正数 $π$ 使得 $e^{i π / 2} = i$ , 并使得 $e^{z} = 1$ 当且仅当 $z / (2 π i)$ 是整数。（e） $\exp$ 是周期函数，其周期是 $2 π i$ . (f) 映射 $t \to e^{i}$ 将实轴映到单位圆上。（g）若 $w$ 是复数且 $w \neq 0$ , 则存在某个 $z$ 使 $w = e^{z}$ .
1.2 (a) 集 $X$ 的子集族 $τ$ 称为 $X$ 上的一个拓扑（topology）, 若 $τ$ 具有如下三个性质：(i) $\emptyset \in τ$ 及 $X \in τ$ . (ii) 若 $V_{1} \in τ, i = 1, \dots, n$ , 则 $V_{1} \cap V_{2} \cap \dots \cap V_{n} \in τ$ . (iii) 若 ${V_{a}}$ 是由 $τ$ 的元素构成的集族（有限、可数或不可数）, 则 $⋃_{a} V_{a} \in τ$ . (b) 若 $τ$ 是 $X$ 上的拓扑，则称 $X$ 为一个拓扑空间（topological space）, 且 $τ$ 的元素称为 $X$ 的开集。(c) 若 $X$ 和 $Y$ 为拓扑空间，且 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 内的映射，而对 $Y$ 的每一个开集 $V, f^{- 1} (V)$ 是 $X$ 的开集，则称 $f$ 为连续的.
1.3 (a) 集 $X$ 的子集族 $M$ 称为 $X$ 的一个 $σ$ -代数, 若 $M$ 具有如下性质：(i) $X \in M$ . (ii) 若 $A \in M$ , 则 $A^{c} \in M$ , 其中 $A^{c}$ 是 $A$ 关于 $X$ 的余集。(iii) 若 $A = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ 且 $A_{n} \in M, n = 1, 2, 3, \dots$ , 则 $A \in M$ . (b) 若 $M$ 是 $X$ 的 $σ$ -代数，则称 $X$ 为一个可测空间（measurable space）, 且 $M$ 的元素称为 $X$ 的可测集（measurable set）. (c) 若 $X$ 是可测空间， $Y$ 是拓扑空间， $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 内的映射，而对 $Y$ 的每一个开集 $V$ , $f^{- 1} (V)$ 是 $X$ 的可测集，则 $f$ 称为可测的.
若对 $f (x_{0})$ 的每一个邻域 $V$ , 对应有 $x_{0}$ 的一个邻域 $W$ , 使得 $f (W) \subset V$ , 则称 $X$ 到 $Y$ 内的映射 $f$ 在点 $x_{0} \in X$ 连续.
1.5 设 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间， $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 内的映射。当且仅当 $f$ 在 $X$ 的每一点连续时，映射 $f$ 是连续的.
1.6 (a) 空集可测，(c) 可测集的可数交可测。(d) 由于 $A - B = B^{C} \cap A$ ，若 $A, B \in M$ ，那么 $A - B \in M$ .
若 $σ$ -代数的定义中，只要求对有限并封闭，则称为一个代数（algebra）。
（私货） $X$ 子集组成的 $σ$ -代数是包含了 $X$ 的 $σ$ -环。证明 $σ$ -代数都是 $σ$ -环： $A - B = A \cap B^{c}$ ；证明包含 $X$ 的 $σ$ -环是 $σ$ -代数： $A^{c} = X - A$ 。

图 1： $σ$ -环和 $σ$ -代数
1.7 简言之，连续函数的连续函数是连续的; 可测函数的连续函数是可测的。设 $Y$ 和 $Z$ 为拓扑空间，且 $g : Y \to Z$ 是连续的。(a) 若 $X$ 是拓扑空间， $f : X \to Y$ 是连续的，且 $h = g \circ f$ , 则 $h : X \to Z$ 是连续的。(b) 若 $X$ 是可测空间， $f : X \to Y$ 是可测的，且 $h = g \circ f$ , 则 $h : X \to Z$ 是可测的。
1.8 设 $u$ 和 $v$ 是可测空间 $X$ 上的实可测函数，设 $Φ$ 是平面到拓扑空间 $Y$ 内的连续映射，且对 $x \in X$ 定义 $h (x) = Φ (u (x), v (x))$ , 则 $h : X \to Y$ 是可测的。
1.9 设 $X$ 是可测空间。下面的命题是定理 1.7 和定理 1.8 的推论： (a) 若 $u$ 和 $v$ 是 $X$ 上的实可测函数， $f = u + i v$ , 则 $f$ 为 $X$ 上的复可测函数。 (b) 若 $f = u + i v$ 是 $X$ 上的复可测函数，则 $u, v, | f |$ 都是 $X$ 上的实可测函数。 (c) 若 $f$ 及 $g$ 是 $X$ 上的复可测函数，则 $f + g$ 及 $f g$ 亦然。 (d) 若 $E$ 是 $X$ 上的可测集，且 $χ_{E} (x) = {\begin{cases} 1 & 当 x \in E, \\ 0 & 当 x \notin E, \end{cases}$ , 则 $χ_{E}$ 是可测函数。我们称 $χ_{E}$ 为集 $E$ 的特征函数（characteristic function）. 整本书中，字母 $χ$ 将专用于表示特征函数。 (e) 若 $f$ 为 $X$ 上的复可测函数，则存在 $X$ 上的复可测函数 $α$ , 使得 $| α | = 1$ , 且 $f =$ $α | f |$ .
1.10 若 $F$ 为 $X$ 的任意子集族，则在 $X$ 内存在一个最小的 $σ$ -代数 $M^{*}$ , 使得 $M \subset M^{*}$ . $M^{*}$ 有时称为由 $F$ 生成的 $σ$ -代数。
1.11 设 $X$ 为拓扑空间。由定理 1.10, 在 $X$ 内存在一个最小的 $σ$ -代数 $B$ ，使得 $X$ 内每一个开集都属于 $B$ 。就称 $B$ 的元素为 $X$ 的博雷尔集（Borel set）。
特别地，每个闭集是博雷尔集（由定义，它是开集的余集）, 且闭集的一切可数并 $F_{σ}$ 及开集的一切可数交 $G_{δ}$ 都是博雷尔集。该记号来源于豪斯多夫（Hausdorff）. 字母 $F$ 及 $G$ 分别用于闭集及开集，而 $σ$ 用于并（Summe）, $δ$ 用于交（Durchschnitt）. 例如，每个半开区间 $[a, b)$ 是 $R^{1}$ 内的一个 $G_{δ}$ 集和一个 $F_{σ}$ 集。
因为 $B$ 是 $σ$ -代数，我们现在可以把 $X$ 看做一个可测空间，而博雷尔集则起着可测集的作用。更简洁地，考虑可测空间 $(X, B)$ . 若 $f : X \to Y$ 是 $X$ 的连续映射，其中 $Y$ 为任意拓扑空间，由定义，显然对 $Y$ 内每个开集 $V, f^{- 1} (V) \in B$ . 换句话说， $X$ 的每个连续映射是博雷尔可测的。博雷尔可测映射通常称为博雷尔映射或博雷尔函数.
1.12 假设 $M$ 是 $X$ 内的 $σ$ -代数， $Y$ 为拓扑空间， $f$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的一个映射。 (a) 若 $Ω$ 为所有集 $E \subset Y$ 使得 $f^{- 1} (E) \in M$ 的集族，则 $Ω$ 为 $Y$ 内的 $σ$ -代数。 (b) 若 $f$ 可测且 $E$ 为 $Y$ 内的博雷尔集，则 $f^{- 1} (E) \in M$ . (c) 若 $Y = [- \infty, \infty]$ , 且对每一个实数 $α, f^{- 1} ((α, \infty]) \in M$ ，则 $f$ 可测。 (d) 若 $f$ 可测， $Z$ 为拓扑空间， $g : Y \to Z$ 为博雷尔映射，且 $h = g \circ f$ , 则 $h : X \to Z$ 可测。
1.16 在可测空间 $X$ 上。值域仅由有限个点组成的复函数 $s$ 称为简单函数. 这里是指非负简单函数，其值域为 $[0, \infty)$ 的有限子集。注意，我们从简单函数的值中明显地排除了 $\infty$ . 如果 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 为简单函数 $s$ 不同的值，且令 $A_{i} = {x : s (x) = α_{i}}$ , 显然 $s = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} χ_{A_{i}}$ , 在这里 $χ_{A_{i}}$ 按照 1.9 (d) 所定义，是 $A_{i}$ 的特征函数。
1.17 设 $f : X \to [0, \infty]$ 可测，则存在 $X$ 上的简单可测函数 $s_{n}$ 使得 (a) $0 ⩽ s_{1} ⩽ s_{2} ⩽ \dots ⩽ f$ . (b) 对每个 $x \in X$ , 当 $n \to \infty$ 时， $s_{n} (x) \to f (x)$ .
1.18 (a) 正测度为一个定义在 $σ$ -代数 $M$ 上的函数 $μ$ , 其值域在 $[0, \infty]$ 内，并且是可数可加的。即若 ${A_{i}}$ 为 $M$ 中互不相交的可数集族，则 $μ (⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} μ (A_{i})$ . 为避免麻烦，我们假设至少对一个 $A \in M, μ (A) < \infty$ . (b) 测度空间（measure space）是一个可测空间，具有定义在其可测集的 $σ$ -代数上的正测度。 (c) 复测度是定义在一个 $σ$ -代数上的复值可数可加函数。
1.19 设 $μ$ 为 $σ$ -代数 $M$ 上的正测度，则 (a) $μ (\emptyset) = 0$ . (b) 若 $A_{1}, \dots, A_{n}$ 均为 $M$ 的两两不相交的元素，则 $μ (A_{1} \cup \dots \cup A_{n}) = μ (A_{1}) + \dots + μ (A_{n}) .$ (c) 若 $A, B \in M$ , 则 $A \subset B$ 蕴含着 $μ (A) ⩽ μ (B)$ . (d) 若 $A = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}, A_{n} \in M$ , 且 $A_{1} \subset A_{2} \subset A_{3} \subset \dots$ , 则当 $n \to \infty$ 时， $μ (A_{n}) \to μ (A)$ . (e) 若 $A = ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}, A_{n} \in M$ , $A_{1} \supset A_{2} \supset A_{3} \supset \dots$ , 且 $μ (A_{1})$ 有限，则当 $n \to \infty$ 时， $μ (A_{n}) \to μ (A)$ . 这些性质除 (c) 外，对复测度也成立; (b) 称为有限可加性; (c) 称为单调性.
1.20 测度空间的简单例子。 (a) $X$ 为任意集，对任意 $E \subset X$ , 若 $E$ 为无穷集，定义 $μ (E) = \infty$ , 当 $E$ 为有限集时，令 $μ (E)$ 为 $E$ 的点数。这个 $μ$ 称为 $X$ 上的计数测度. (b) 固定 $x_{0} \in X$ , 对任意 $E \subset X$ , 若 $x_{0} \in E$ , 定义 $μ (E) = 1$ ; 若 $x_{0} \notin E$ , 定义 $μ (E) = 0$ . 这个 $μ$ 称为集中在 $x_{0}$ 的单位质量. (c) 令 $μ$ 是集 ${1, 2, 3, \dots}$ 上的计数测度，令 $A_{n} = {n, n + 1, n + 2, \dots}$ , 则 $\cap A_{n} = \emptyset$ , 但对 $n = 1, 2, 3, \dots, μ (A_{n}) = \infty$ . 这表明定理 1.19 (e) 中的假设并非多余的。
1.30 我们定义 $L^{1} (μ)$ 是所有使得 $\int_{X} | f | d μ < \infty$ 的、 $X$ 上的复可测函数 $f$ 的集族。
1.31 若 $f = u + i v$ , 这里 $u$ 和 $v$ 是 $X$ 上的实可测函数，且 $f \in L^{1} (μ)$ , 则对每一个可测集 $E$ 定义 $\int_{E} f d μ = \int_{E} u^{+} d μ - \int_{E} u^{-} d μ + i \int_{E} v^{+} d μ - i \int_{E} v^{-} d μ$
1.32 设 $f$ 和 $g \in L^{1} (μ)$ , 且 $α$ 和 $β$ 是复数，则 $α f + β g \in L^{1} (μ)$ , 且 $\int_{x} (α f + β g) d μ = α \int_{x} f d μ + β \int_{x} g d μ$
1.34 勒贝格控制收敛定理：设 ${f_{n}}$ 是 $X$ 上的复可测函数序列，使得 $f (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x)$ 对每一个 $x \in X$ 成立。若存在一个函数 $g \in L^{1} (μ)$ 使得 $| f_{n} (x) | ⩽ g (x) (n = 1, 2, 3, \dots; x \in X)$ , 则 $f \in L^{1} (μ)$ , $lim_{n \to \infty} \int_{x} | f_{n} - f | d μ = 0$ , 并且 $lim_{n \to \infty} \int_{X} f_{n} d μ = \int_{X} f d μ$ .
1.35 设 $P$ 是对于点 $x$ 可以具有或者不具有的一种性质。譬如，若 $f$ 是一个给定的函数， $P$ 可以是性质 “ $f (x) > 0$ ”, 若 ${f_{n}}$ 是给定的函数序列， $P$ 可以是性质 “ ${f_{n} (x)}$ 收敛”. 如果 $μ$ 是一个 $σ$ -代数 $M$ 上的测度， $E \in M$ , “ $P$ 在 $E$ 上几乎处处成立” (简记为 “ $P$ 在 $E$ 上 a. e. 成立") 这句话意味着：存在一个 $N \in M$ , 使得 $μ (N) = 0, N \subset E$ , 并且 $P$ 在 $E - N$ 的每一点上成立。当然 “几乎处处” 这个概念非常强烈地依赖于所给定的测度。当明确要求指出测度的时侯，我们将记作 “a. e. $[μ]$ ”.
1.36 设 $(X, M, μ)$ 是一个测度空间， $M^{*}$ 是所有这样的 $E \subset X$ 的集族，对于 $E$ 存在集 $A$ 和 $B \in M$ , 使得 $A \subset E \subset B$ , 且 $μ (B - A) = 0$ , 在这种情况下，定义 $μ (E) = μ (A)$ , 则 $M^{*}$ 是一个 $σ$ -代数，且 $μ$ 是 $M^{*}$ 上的一个测度。
1.38 设 ${f_{n}}$ 是一个在 $X$ 上几乎处处有定义的复可测函数序列，满足 $\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{X} | f_{n} | d μ < \infty$ , 则级数 $f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ 对几乎所有的 $x$ 收敛， $f \in L^{1} (μ)$ , 并且 $\int_{X} f d μ = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{X} f_{n} d μ$
1.41 设 ${E_{k}}$ 是在 $X$ 内的可测集序列，满足 $\sum_{k = 1}^{\infty} μ (E_{k}) < \infty$ , 则几乎所有的 $x \in X$ , 至多属于有限个集 $E_{k}$ .

2. Chap 2. 正博雷尔测度

2.1 复向量空间，线性空间到标量域的线性变换叫做线性泛函
2.2 作为线性泛函的积分：1.32 说明 $L^{1} (μ)$ 对任何正测度 $μ$ 都是一个向量空间，而映射 $f \to \int_{x} f d μ$ 是 $L^{1} (μ)$ 上的一个线性泛函。类似地，如果 $g$ 是任何有界可测函数，则映射 $f \to \int_{x} f g d μ$ 也是 $L^{1} (μ)$ 上的一个线性泛函。某种意义上，这是 $L^{1} (μ)$ 上我们唯一感兴趣的一种泛函。
另一个例子：设 $C$ 是单位区间 $I = [0, 1]$ 上一切连续复函数的集。两个连续函数的和是连续的，一个连续函数的任何标量积也是连续的。因此， $C$ 是一个向量空间。如果 $Λ f = \int_{0}^{1} f (x) d x (f \in C)$ 是通常的黎曼积分，则 $Λ$ 显然是 $C$ 上的线性泛函; $Λ$ 有一个附带的有趣的性质：它是一个正线性泛函. 也就是说，当 $f ⩾ 0$ 时，有 $Λ f ⩾ 0$ .
2.3 设 $X$ 是拓扑空间。(a) 集 $E \subset X$ 是闭的，如果它的余集 $E^{c}$ 是开的。（因此， $\emptyset$ 和 $X$ 是闭集，闭集的有限并是闭集，闭集的任意交是闭集。)（b）集 $E \subset X$ 的闭包 $\bar{E}$ 是 $X$ 中包含 $E$ 的最小闭集。(下述推理证明了 $\bar{E}$ 存在： $X$ 中包含 $E$ 的所有闭子集的集族 $Ω$ 是非空的，因为 $X \in Ω$ . 令 $\bar{E}$ 是 $Ω$ 的一切元素的交。) (c) 集 $K \subset X$ 是紧的, 如果 $K$ 的每个开覆盖包含有限子覆盖。特别地，如果 $X$ 本身是紧的，则 $X$ 称为紧空间. (d) 点 $p \in X$ 的一个邻域是 $X$ 的任意一个包含 $p$ 的开子集。(使用这个词并不是十分标准; 有些人对任意包含一个含 $p$ 的开集的集使用 “ $p$ 的邻域” 这个词。) (e) $X$ 是一个豪斯多夫空间（Hausdorff space）, 如果其中任意不同两点有不相交的邻域。(f) $X$ 是局部紧的（locally compact）, 如果 $X$ 的每一点有一个邻域，它的闭包是紧的。每个紧空间是局部紧的。
2.5 设 $X$ 是豪斯多夫空间。 $K \subset X, K$ 是紧的，且 $p \in K^{c}$ , 则存在开集 $U$ 和 $W$ , 使得 $p \in U, K \subset W$ , 并且 $U \cap W = \emptyset$ .
2.6 设 ${K_{a}}$ 是豪斯多夫空间紧子集的集族， $\cap_{a} K_{a} = \emptyset$ , 则 ${K_{a}}$ 族中存在有限个集，它们的交也是空的。
2.8 设 $f$ 是拓扑空间上的实函数（或广义实函数）. 如果对每个实数 $α, {x : f (x) >$ $α}$ 是开的，则称 $f$ 为下半连续的. 如果对每个实数 $α, {x : f (x) < α}$ 是开的，则称 $f$ 为上半连续的. 显然，一个实函数是连续的，当且仅当它同时是上半连续和下半连续的。
2.9 拓扑空间 $X$ 上的复函数 $f$ 的支集是集 ${x : f (x) \neq 0}$ 的闭包。记 $X$ 上支集是紧的所有连续复函数的集为 $C_{c} (X)$ .
2.10 设 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间，并设 $f : X \to Y$ 是连续的。若 $K$ 是 $X$ 的紧子集，则 $f (K)$ 是紧的。
2.11 在本章，将使用下述约定。记号 $K ≺ f$ 表示 $K$ 是 $X$ 的紧子集， $f \in C_{c} (X)$ , 对一切 $x \in X, 0 ⩽ f (x) ⩽ 1$ , 并对一切 $x \in K, f (x) = 1$ . 记号 $f ≺ V$ 表示 $V$ 是开集， $f \in C_{c} (X), 0 ⩽ f ⩽ 1$ , 并且 $f$ 的支集含于 $V$ . 记号 $K ≺ f ≺ V$ 表示二者都成立。
2.12 设 $X$ 是局部紧的豪斯多夫空间， $V$ 是 $X$ 中的开集， $K \subset V$ , 而 $K$ 是紧集，则存在一个 $f \in C_{c} (X)$ , 使得 $K ≺ f ≺ V$
2.14 里斯表示定理（Riesz representation theorem）：设 $X$ 是局部紧的豪斯多夫空间， $Λ$ 是 $C_{c} (X)$ 上的正线性泛函，则在 $X$ 内存在一个包含 $X$ 的全体博雷尔集的 $σ$ -代数 $M$ , 并存在 $M$ 上的唯一一个正测度 $μ, μ$ 在下述意义上表示了 $Λ$ : (a) 对每个 $f \in C_{c} (X), Λ f = \int_{X} f d μ$ . 并有下述的附加性质： (b) 对每个紧集 $K \subset X, μ (K) < \infty$ . (c) 对每个 $E \in M$ , 有 $μ (E) = inf {μ (V) : E \subset V, V$ 是开集 $} .$ (d) 对每个开集 $E$ 或每个 $E \in M$ 而 $μ (E) < \infty$ , 有 $μ (E) = sup {μ (K) : K \subset E, K$ 是紧集 $} .$ (e) 若 $E \in M, A \subset E$ , 并且 $μ (E) = 0$ , 则 $A \in M$ . 为清晣起见，让我们进一步明确一下假设中 “正” 字的含义： $Λ$ 被假定是复向是空间 $C_{c} (X)$ 上的一个线性泛函，具有如下的附加性质，即对每一个取值为非负实数的函数 $f, Λ f$ 也是非负实数。简言之，若 $f (X) \subset [0, \infty)$ , 则 $Λ f \in [0, \infty)$ .
2.15 定义在局部紧的豪斯多夫空间 $X$ 的全体博雷尔集组成的 $σ$ -代数上的测度 $μ$ 称为 $X$ 上的博雷尔测度. 如果 $μ$ 是正的，并且一个博雷尔集 $E \subset X$ 具有定理 2.14 的性质 (c) 或 (d), 我们就分别称 $E$ 为外正则或内正则的。如果 $X$ 内的每个博雷尔集同时是外正则和内正则的，则称 $μ$ 为正则的.
2.16 拓扑空间中的一个集 $E$ 称为 $σ$ -紧的, 如果 $E$ 是紧集的可数并。对于测度空间（测度为 $μ$ ）中的一个集 $E$ , 如果 $E$ 是集 $E_{i}$ 的可数并，而 $μ (E_{i}) < \infty$ , 那么称 $E$ 有 $σ$ -有限测度. 例如在定理 2.14 的情况下，每个 $σ$ -紧集有 $σ$ -有限测度。另外容易看出，如果 $E \in M$ , $E$ 有 $σ$ -有限测度，则 $E$ 是内正则的。
2.17 设 $X$ 是局部紧、 $σ$ -紧的豪斯多夫空间。若 $M$ 和 $μ$ 都像 2.14 所叙述的那样，则 $M$ 和 $μ$ 有下述性质：（a）若 $E \in M$ 和 $ε > 0$ , 则存在闭集 $F$ 和开集 $V$ 使得 $F \subset E \subset V$ 且 $μ (V - F) < ε$ . (b) $μ$ 是 $X$ 上的一个正则博雷尔测度。 $μ (B - A) = 0$ . (c) 若 $E \in M$ , 则存在集 $A$ 和 $B$ 使得 $A$ 是一个 $F_{σ}$ 集， $B$ 是一个 $G_{δ}$ 集， $A \subset E \subset B$ 且 $μ (B - A) = 0$ . 作为 (c) 的推论，我们看出每个 $E \in M$ 是一个 $F_{σ}$ 集和一个测度为 0 的集的并。
2.18 设 $X$ 是局部紧的豪斯多夫空间。其每个开集是 $σ$ -紧的。设 $λ$ 是 $X$ 上的任一个正博雷尔测度，对每个紧集 $K$ , 有 $λ (K) < \infty$ . 则 $λ$ 是正则的。注意，每个欧氏空间 $R^{k}$ 满足现在的假设，因为 $R^{k}$ 中的每个开集是闭球的可数并。
2.19 欧氏空间
2.22 若 $A \subset R^{1}$ , 并且 $A$ 的每个子集都是勒贝格可测的，则 $m (A) = 0$ . 推论：每个正测度集都有不可测的子集。
2.24 鲁金定理：设 $f$ 是 $X$ 上的复可测函数， $μ (A) < \infty$ , 若 $x \notin A$ 时， $f (x) = 0$ , 并且 $ε > 0$ , 则存在一个 $g \in C_{c} (X)$ , 使得 $μ ({x : f (x) \neq g (x)}) < ε$ . 并且，还可以做到 $sup_{x \in X} | g (x) | ⩽ sup_{x \in X} | f (x) |$
2.25 维塔利-卡拉泰奥多里定理：设 $f \in L^{1} (μ), f$ 是实值的，并且 $ε > 0$ . 则在 $X$ 上存在函数 $u$ 和 $v, u$ 是上半连续且有上界的， $v$ 是下半连续且有下界的，使得 $u ⩽ f ⩽ v$ , 且 $\int_{X} (v - u) d μ < ε$

3. Chap 3. $L^{p}$ -空间

3.1 设 $φ$ 是定义在开区间 $(a, b)$ 上的实函数，其中 $- \infty ⩽ a < b ⩽ \infty$ . 如果对任意 $a < x < b, a < y < b$ 和 $0 ⩽ λ ⩽ 1$ , 恒有不等式 $φ ((1 - λ) x + λ y) ⩽ (1 - λ) φ (x) + λ φ (y)$ , 那么称 $φ$ 是凸的。
3.2 若 $φ$ 在 $(a, b)$ 上是凸的，则 $φ$ 在 $(a, b)$ 上连续。
在这一节里， $X$ 是任意一个具有正测度 $μ$ 的测度空间。
3.4 若 $p$ 和 $q$ 都是正实数，使得 $p + q = p q$ , 或等价地 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ , 则称 $p$ 和 $q$ 为一对共轭指数. 显然有 $1 < p < \infty$ 和 $1 < q < \infty$ . 一个重要的特殊情况是 $p = q = 2$ . 当 $p \to 1$ 时， $q \to \infty$ . 因而也可以把 1 和 $\infty$ 看成是一对共轭指数。许多分析学家通常不明确指出而把共轭指数记为 $p$ 和 $p^{'}$ .
3.6 若 $0 < p < \infty$ 且 $f$ 是 $X$ 上的一个复可测函数，定义 $‖ f ‖_{p} = {\int_{x} | f |^{p} d μ}^{1 / p}$ , 且设 $L^{p} (μ)$ 空间由所有满足 $‖ f ‖_{p} < \infty$ 的 $f$ 组成，称 $‖ f ‖_{p}$ 为 $f$ 的 $L^{p}$ -范数.
若 $μ$ 是 $R^{k}$ 上的勒贝格测度，记 $L^{p} (R^{k})$ 以代替 $L^{p} (μ)$ . 若 $μ$ 是集 $A$ 上的计数测度，习惯上用 $ℓ^{p} (A)$ 记对应的 $L^{p}$ -空间。当 $A$ 可数时，便简记为 $ℓ^{p}$ . $ℓ^{p}$ 的一个元素可以看成是一个复序列 $x = {ξ_{n}}$ , 并且 $‖ x ‖_{p} = {\sum_{n = 1}^{\infty} {| ξ_{n} |}^{p}}^{1 / p}$
3.7 设 $g : X \to [0, \infty]$ 是可测的，且 $S$ 是所有使得 $μ (g^{- 1} ((α, \infty])) = 0$ 的实数 $α$ 的集。若 $S = \emptyset$ , 令 $β = \infty$ . 若 $S \neq \emptyset$ , 令 $β = inf S$ . 因为 $g^{- 1} ((β, \infty]) = ⋃_{n = 1}^{\infty} g^{- 1} ((β + \frac{1}{n}, \infty])$ 并且因为零测度集的可数并有测度 0 , 可以看出 $β \in S$ . 我们称 $β$ 为 $g$ 的本性上确界. 如果 $f$ 是 $X$ 上的复可测函数，定义 $‖ f ‖_{\infty}$ 为 $| f |$ 的本性上确界，并设 $L^{\infty} (μ)$ 由所有满足 $‖ f ‖_{\infty} < \infty$ 的 $f$ 所组成。 $L^{\infty} (μ)$ 的元素有时称为 $X$ 上的本性有界可测函数.
3.8 若 $p$ 和 $q$ 是共轭指数， $1 ⩽ p ⩽ \infty, f \in L^{p} (μ)$ 和 $g \in L^{q} (μ)$ , 则 $f g \in L^{1} (μ)$ , 并且 $‖ f g ‖_{1} ⩽ ‖ f ‖_{p} ‖ g ‖_{q}$ 成立。
3.9 假定 $1 ⩽ p ⩽ \infty$ , 并且 $f, g \in L^{p} (μ)$ , 则 $f + g \in L^{p} (μ)$ , 且 $‖ f + g ‖_{p} ⩽ ‖ f ‖_{p} + ‖ g ‖_{p}$ 成立。
3.11 对于 $1 ⩽ p ⩽ \infty$ 和每一个正测度 $μ$ , $L^{p} (μ)$ 是一个完备的度量空间。
3.12 若 $1 ⩽ p ⩽ \infty, {f_{n}}$ 是在 $L^{p} (μ)$ 内的柯西序列，它的极限为 $f$ , 则 ${f_{n}}$ 存在一个子序列，它几乎处处点态收敛于 $f (x)$ .
3.13 设 $S$ 是所有使得 $μ ({x : s (x) \neq 0}) < \infty$ 的 $X$ 上的复可测简单函数 $s$ 的类。若 $1 ⩽ p < \infty$ , 则 $S$ 在 $L^{p} (μ)$ 中是稠密的。
3.14 对 $1 ⩽ p < \infty$ , $C_{c} (X)$ 在 $L^{p} (μ)$ 中稠密。
3.16 一个局部紧豪斯多夫空间 $X$ 上的复函数 $f$ , 若对每一个 $ε > 0$ , 存在一个紧集 $K \subset X$ , 使得对所有不在 $K$ 内的 $x$ , $| f (x) | < ε$ 成立，则称 $f$ 在无穷远点为 0. 所有在无穷远点为 0 的 $X$ 上的连续函数的类称为 $C_{0} (X)$ . 显然 $C_{c} (X) \subset C_{0} (X)$ , 并且若 $X$ 是紧的，这两个类就是重合的，在这种情况下对它们中的任何一个记为 $C (X)$ .
3.17 若 $X$ 是一个局部紧豪斯多夫空间，则 $C_{0} (X)$ 是 $C_{c} (X)$ 相对于由上确界范数 $‖ f ‖ = sup_{x \in X} | f (x) |$ 所定义的度量的完备化。

4. Chap 4. 希尔伯特空间的初等理论

4.1 复向量空间 $H$ 称为内积空间 (或 $U$ 空间), 如果向量 $x$ 和 $y \in H$ 的每个序对都对应一个复数 $(x, y)$ , 即所谓 $x$ 和 $y$ 的内积（或标量积）, 使得下面的法则成立。(a) $(y, x) = \overset{―}{(x, y)}$ (横线表示取共轭复数). (b) 当 $x, y$ 和 $z \in H$ 时， $(x + y, z) = (x, z) + (y, z)$ . (c) 当 $x$ 和 $y \in H, α$ 是标量时， $(α x, y) = α (x, y)$ . (d) 对所有 $x \in H, (x, x) ⩾ 0$ . (e) $(x, x) = 0$ 当且仅当 $x = 0$ . (f) $‖ x ‖^{2} = (x, x)$ .
4.2 性质 4.1 (a)-(d) 蕴含着 $| (x, y) | ⩽ ‖ x ‖ ‖ y ‖$ 对所有 $x, y \in H$ 成立。
4.3 对任意 $x$ 和 $y \in H$ , 都有 $‖ x + y ‖ ⩽ ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ .
4.4……就是说， $H$ 中的每一个柯西序列都收敛，那么 $H$ 就称为希尔伯特空间.
4.5 例子 (a) 对任一固定的 $n$ , 所有 $n$ 元序组 $x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ 的集 $C^{n}$ , 这里 $ξ_{1}, \dots, ξ_{n}$ 是复数。当我们像通常一样按分量定义加法和标量乘法，并定义 $(x, y) = \sum_{j = 1}^{n} ξ_{i} {\bar{η}}_{j} (y = (η_{1}, \dots, η_{n}))$ 就成为一个希尔伯特空间。
(b) 如果 $μ$ 是一个正测度， $L^{2} (μ)$ 就是一个具有内积 $(f, g) = \int_{x} f \bar{g} d μ$ 的希尔伯特空间。这里右端的被积函数由定理 3.8, 是属于 $L^{1} (μ)$ 的。因此 $(f, g)$ 有确定的意义。注意 $‖ f ‖ = (f, f)^{1 / 2} = {\int_{x} | f |^{2} d μ}^{1 / 2} = ‖ f ‖_{2}$ . $L^{2} (μ)$ 的完备性（3.11）表明 $L^{2} (μ)$ 的确是一个希尔伯特空间（要记住 $L^{2} (μ)$ 是看做函数的等价类的空间的; 比较 3.10 节的讨论). 当 $H = L^{2} (μ)$ 时，不等式 4.2 和 4.3 转化为霍尔德和闵可夫斯基不等式的特例。注意，例 (a) 是例 (b) 的特殊情况。在 (a) 中的测度是什么？
(c) $[0, 1]$ 上全体连续复函数的向量空间是一个内积空间，如果 $(f, g) = \int_{0}^{1} f (t) \overset{―}{g (t)} d t$ 但它不是希尔伯特空间。
4.6 对任意固定的 $y \in H$ , 映射 $x \to (x, y), x \to (y, x), x \to ‖ x ‖$ 都是 $H$ 上的连续函数。
4.8 向量空间 $V$ 中的集 $E$ 称为凸的, 如果它有下面的几何性质：当 $x \in E, y \in E$ , 且 $0 < t < 1$ 时，点 $z_{t} = (1 - t) x + t y$ 也属于 $E$ . 当 $t$ 从 0 变到 1 时，我们可以设想点 $z_{t}$ 在 $V$ 中描出一条从 $x$ 到 $y$ 的直线段。凸性要求 $E$ 包含它的任意两点之间的线段。显然， $V$ 的每个子空间都是凸的。同样，如果 $E$ 是凸的，那么它的每一个平移 $E + x = {y + x : y \in E}$ 也一定是凸的。
4.9 若对某个 $x, y \in H, (x, y) = 0$ , 我们就说 $x$ 正交于 $y$ , 有时记作 $x ⊥ y$ . 由于 $(x, y) = 0$ 蕴含着 $(y, x) = 0$ , 关系 “ $⊥$ ” 是对称的。设 $x^{⊥}$ 表示所有正交于 $x$ 的 $y \in H$ 的集；而当 $M$ 是 $H$ 的子空间时，设 $M^{⊥}$ 是所有正交于每个 $x \in M$ 的那些 $y \in H$ 的集。注意 $x^{⊥}$ 是 $H$ 的一个子空间，因为 $x ⊥ y$ 和 $x ⊥ y^{'}$ 蕴涵着 $x ⊥ (y + y^{'})$ 和 $x ⊥ α y . x^{⊥}$ 也恰好是那些使连续函数 $y \to (x, y)$ 等于 0 的那些点的集。因此， $x^{⊥}$ 是 $H$ 的闭子空间。由于 $M^{⊥} = ⋂_{x \in M} x^{⊥}$ , $M^{⊥}$ 是闭子空间的交，于是得知 $M^{⊥}$ 是 $H$ 的闭子空间。
4.10 在希尔伯特空间 $H$ 中，每一个非空闭凸集 $E$ 都包含唯一的一个具有最小范数的元素。
4.11 设 $M$ 是希尔伯特空间 $H$ 的闭子空间。(a) 对每个 $x \in H$ , 有唯一的分解 $x = P x + Q x$ 其中 $P x \in M, Q x \in M^{⊥}$ . (b) $P x$ 和 $Q x$ 分别是 $M$ 和 $M^{⊥}$ 中距 $x$ 最近的点。(c) 映射 $P : H \to M$ 和 $Q : H \to M^{⊥}$ 都是线性的。(d) $‖ x ‖^{2} = ‖ P x ‖^{2} + ‖ Q x ‖^{2}$ .
4.12 若 $L$ 是 $H$ 上的一个连续线性泛函，则存在唯一的一个 $y \in H$ , 使得 $L x = (x, y) (x \in H)$ .
4.13 线性组合指有限个向量的，独立即线性无关，张成空间 $[S]$ ，规范正交即正交归一
如果 ${u_{α} : α \in A}$ 是规范正交的，对于每个 $x \in H$ , 我们都对应于指标 $A$ 上的一个复函数 $\hat{x}$ , 它定义为 $\hat{x} (α) = (x, u_{α}) (α \in A)$ . 有时，称这些数 $\hat{x} (α)$ 为关于集 ${u_{α}}$ 的傅里叶系数.
4.14 设 ${u_{α} : α \in A}$ 是 $H$ 中的规范正交集，且 $F$ 是 $A$ 的一个有限子集，设 $M_{F}$ 是由 ${u_{α} : α \in F}$ 张成的空间。（a）若 $φ$ 是 $A$ 上的一个复函数且在 $F$ 外取值为 0 , 则存在一个向量 $y \in M_{F}$ , 即 $y = \sum_{α \in F} φ (α) u_{α}$ 使得 $\hat{y} (α) = φ (α)$ 对每个 $α \in A$ 成立。同时 $‖ y ‖^{2} = \sum_{α \in F} | φ (α) |^{2}$ . (b) 若 $x \in H$ 且 $s_{F} (x) = \sum_{α \in F} \hat{x} (α) u_{α}$ , 则 $‖ x - s_{F} (x) ‖ < ‖ x - s ‖$ 对除 $s = s_{F} (x)$ 外的所有 $s \in M_{F}$ 成立，且 $\sum_{a \in F} | \hat{x} (α) |^{2} ⩽ ‖ x ‖^{2}$
等距映射（isometry）是保持距离的一种简单映射。对所有 $X_{0}$ 中的点 $x_{1}, x_{2}, f (x_{1})$ 与 $f (x_{2})$ 在 $Y$ 中的距离刚好等于 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 在 $X$ 中的距离。
4.16 设 (a) $X$ 和 $Y$ 都是度量空间，且 $X$ 是完备的。(b) $f : X \to Y$ 是连续的。(c) $f$ 在 $X$ 的一个稠密子集 $X_{0}$ 上是等距映射。(d) $f (X_{0})$ 在 $Y$ 上稠密。则 $f$ 是从 $X$ 到 $Y$ 上的等距映射。此结论最重要的内容是 $f$ 把 $X$ 映射到整个 $Y$ 上。
4.17 设 ${u_{α} : α \in A}$ 是 $H$ 中的一个规范正交集， $P$ 是向量 $u_{α}$ 的所有有限线性组合构成的空间。不等式 $\sum_{α \in A} | \hat{x} (α) |^{2} ⩽ ‖ x ‖^{2}$ 对所有的 $x \in H$ 都成立，且 $x \to \hat{x}$ 是 $H$ 到 $ℓ^{2} (A)$ 上的连续线性映射，其限制于 $P$ 的闭包 $\bar{P}$ 是 $\bar{P}$ 到 $ℓ^{2} (A)$ 上的等距映射。
4.18 设 ${u_{α} : α \in A}$ 是 $H$ 中的规范正交集。下面关于 ${u_{α}}$ 的四个条件中的每一个都蕴含着另外三个：(i) ${u_{α}}$ 是 $H$ 的极大规范正交集。(ii) ${u_{α}}$ 的全体有限线性组合 $P$ 在 $H$ 中稠密。(iii) 对每个 $x \in H$ , 有 $\sum_{α \in A} | \hat{x} (α) |^{2} = ‖ x ‖^{2}$ . (iv) 若 $x \in H, y \in H$ , 则 $\sum_{α \in A} \hat{x} (α) \overset{―}{\hat{y} (α)} = (x, y)$ . 最后一个公式就是熟知的帕塞瓦尔恒等式（Parseval's identity）. 注意 $\hat{x}, \hat{y} \in ℓ^{2} (A)$ , 所以 $\hat{x} \bar{\hat{y}} \in ℓ^{1} (A)$ . 从而 (iv) 中的和式的意义是明确的。当然，(iii) 是(iv)当 $x = y$ 时的特例。极大规范正交集通常叫做完备规范正交集（complete orthonormal set）或者规范正交基（orthonormal bases）.
4.20 偏序集（partially ordered sets）：集 $P$ 称为由二元关系 " $⩽$ ” 所偏序化（partially ordered by）, 如果 (a) $a ⩽ b$ 和 $b ⩽ c$ 蕴含着 $a ⩽ c$ . (b) 对每个 $a \in P, a ⩽ a$ . (c) $a ⩽ b$ 和 $b ⩽ a$ 蕴涵着 $a = b$ . 偏序集 $P$ 的子集 $Q$ 称为全序的（totally ordered） 或线性序的（linearly ordered）, 如果每一对 $a, b \in Q$ 满足 $a ⩽ b$ 或者 $b ⩽ a$ .
4.21 豪斯多夫极大性定理: 每一个非空偏序集都含有极大的全序子集。
4.22 希尔伯特空间 $H$ 中的每一个规范正交集 $B$ 都包含在 $H$ 的一个极大规范正交集中。
4.23 $T$ 为单位圆周，对于 $1 ⩽ p < \infty$ 定义 $L^{p} (T)$ 为所有 $R^{1}$ 上的、勒贝格可测的、周期为 $2 π$ 的，并使得范数 $‖ f ‖_{p} = {\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | f (t) |^{p} d t}^{1 / p}$ 为有限的复函数类。
$L^{\infty} (T)$ 是所有 $L^{\infty} (R^{1})$ 中的周期为 $2 π$ 的元素的类，以其本性上确界为范数。而 $C (T)$ 由 $T$ 上全体连续复函数组成（或者，等价地，由全体 $R^{1}$ 上的周期为 $2 π$ 的连续复函数组成）, 并具有范数 $‖ f ‖_{\infty} = sup_{t} | f (t) |$
三角多项式是形如 $f (t) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{N} (a_{n} \cos n t + b_{n} \sin n t) (t \in R^{1})$ 的有限和式，这里 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{N}$ 和 $b_{1}, \dots, b_{N}$ 是复数。根据欧拉恒等式，也可以写成 $f (t) = \sum_{n = - N}^{N} c_{n} e^{i n t}$ 的形式，这对大多数目的来说显得更方便些。很清楚，每一个三角多项式都有周期 $2 π$ . 我们用 $Z$ 表示全体整数集，并且令 $u_{n} (t) = e^{i n t} (n \in Z)$ 如果在 $L^{2} (T)$ 中用 $(f, g) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) \overset{―}{g (t)} d t$ 来定义内积。那么，简单的计算表明 ${u_{n}; n \in Z}$ 是 $L^{2} (T)$ 的一个规范正交集，通常称之为三角系.
4.25 若 $f \in C (T)$ 且 $ε > 0$ , 则存在一个三角多项式 $P$ , 对每个实的 $t$ , 有 $| f (t) - P (t) | < ε$ . 一个更为精细的结果曾由 Fejér (1904) 所证明：任何 $f \in C (T)$ 的傅里叶级数部分和的算术平均值都一致收敛于 $f$ .
4.26 傅里叶级：数对任意 $f \in L^{1} (T)$ , 我们用公式 $\bar{f} (n) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) e^{- i n t} d t (n \in Z)$ 定义 $f$ 的傅里叶系数. 这样对每个 $f \in L^{1} (T)$ , 都对应了 $Z$ 上的一个函数 $\hat{f}$ . $f$ 的傅里叶级数就是 $\sum_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (n) e^{i n t}$ 而它的部分和是 $s_{N} (t) = \sum_{- N}^{N} \hat{f} (n) e^{i n t} (N = 0, 1, 2, \dots)$ . 因为 $L^{2} (T) \subset L^{1} (T)$ ,（1）也可以应用于每个 $f \in L^{2} (T)$ . 重新叙述定理 4.17 和定理 4.18: 里斯-费希尔定理断言：当 ${c_{n}}$ 是一个复数序列，使 $\sum_{n = - \infty}^{\infty} {| c_{n} |}^{2} < \infty$ 时，则存在一个 $f \in L^{2} (T)$ 使 $c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) e^{- i n t} d t (n \in Z)$ . 帕塞瓦尔定理断言：当 $f \in L^{2} (T)$ 和 $g \in L^{2} (T)$ 时， $\sum_{n = - \infty}^{\infty} \hat{f} (n) \overset{―}{\hat{g} (n)} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) \overset{―}{g (t)} d t$ . 左边的级数绝对收敛，并 $lim_{N \to \infty} {‖ f - s_{N} ‖}_{2} = 0$ . 一个特殊情形是 ${‖ f - s_{N} ‖}_{2}^{2} = \sum_{| n | > N} | \hat{f} (n) |^{2}$ .

5. Chap 5. 巴拿赫空间技巧的例子

5.4 对于从一个赋范线性空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y$ 内的一个线性变换 $Λ$ , 下面三个条件的每一个都蕴涵着另外两个：(a) $Λ$ 是有界的。(b) $Λ$ 是连续的。(c) $Λ$ 在 $X$ 的某个点连续。
5.6 贝尔定理（Baire's theorem）：若 $X$ 是完备度量空间，则每个由 $X$ 的稠密开子集组成的可数族，其交在 $X$ 中稠密。
5.9 设 $U$ 和 $V$ 是巴拿赫空间 $X$ 和 $Y$ 的开单位球。对 $X$ 到 $Y$ 上的每一个有界线性变换 $Λ$ , 相应地有一个 $δ > 0$ , 使 $Λ (U) \supset δ V$ . 请注意假设中 “到 $Y$ 上” 这个词！符号 $δ V$ 表示集 ${δ y, y \in V}$ , 即所有 $‖ y ‖ < δ$ 的 $y \in$ $Y$ 的集。
5.10 若 $X$ 和 $Y$ 都是巴拿赫空间， $Λ$ 是 $X$ 到 $Y$ 上的一一的有界线性变换，则存在 $δ > 0$ , 使 $‖ Λ x ‖ ⩾ δ ‖ x ‖ (x \in X)$ . 换句话说， $Λ^{- 1}$ 是 $Y$ 到 $X$ 上的一个有界线性变换。
5.11 一个收敛问题：对每个 $f \in C (T)$ , 是否有 $f$ 的傅里叶级数在每一点 $x$ 都收敛于 $f (x)$ ? 让我们回忆一下， $f$ 的傅里叶级数在点 $x$ 的第 $n$ 个部分和由 $s_{n} (f; x) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) D_{n} (x - t) d t (n = 0, 1, 2, \dots)$ 给出，这里 $D_{n} (t) = \sum_{k = - n}^{n} e^{i k t}$ . 问题在于判定 $lim_{n \to \infty} s_{n} (f; x) = f (x)$ 是否对每个 $f \in C (T)$ 和每个实数 $x$ 成立。我们在 4.26 看到部分和按 $L^{2}$ 范数收敛于 $f$ , 因此定理 3.12 蕴涵着每个 $f \in L^{2} (T)$ (从而对每个 $f \in C (T)$ 亦然) 都是整个部分和序列的某个子序列的 a. e. 点态极限。但这并没有回答现在提出的问题。我们将会看到，巴拿赫一斯坦因豪斯定理否定地回答了这个问题。
5.13 在不存在孤立点的完备度量空间中，没有一个可数稠密集是 $G_{δ}$ 集。
5.17 设 $V$ 是复向量空间。(a) 若 $u$ 是 $V$ 上的复线性泛函 $f$ 的实部，则 $f (x) = u (x) - i u (i x) (x \in V)$ (b) 若 $u$ 是 $V$ 上的一个实线性泛函，而 $f$ 由上式定义，则 $f$ 是 $V$ 上的一个复线性泛函。(c) 若 $V$ 是赋范线性空间，而 $f$ 与 $u$ 有上式的关系，则 $‖ f ‖ = ‖ u ‖$ .
5.19 设 $M$ 是赋范线性空间 $X$ 的一个线性子空间， $x_{0} \in X$ . 则 $x_{0}$ 属于 $M$ 的闭包 $\bar{M}$ 当且仅当不存在 $X$ 上的有界线性泛函 $f$ 使所有 $x \in M, f (x) = 0$ 而 $f (x_{0}) \neq 0$ .
5.20 若 $X$ 是一个赋范线性空间，且 $x_{0} \in X, x_{0} \neq 0$ , 则存在一个 $X$ 上的范数为 1 的有界线性泛函 $f$ 使 $f (x_{0}) = ‖ x_{0} ‖$ .
5.22 设 $K$ 是一个紧豪斯多夫空间， $H$ 是 $K$ 的紧子集，并设 $A$ 是 $C (K)$ 的一个子空间，使 $1 \in A$ ( $1$ 表示对每个 $x \in X$ 对应于数 $1$ 的函数 ), 并且使 $‖ f ‖_{K} = ‖ f ‖_{H} (f \in A)$ 这里我们采用记号 $‖ f ‖_{E} = sup {| f (x) | : x \in E}$ . 由于 5.23 节讨论过的例子， $H$ 有时称为对应于空间 $A$ 的 $K$ 的边界。
5.23 设 $U = {z : | z | < 1}$ 是复平面上的开单位圆盘。令 $K = \bar{U}$ (闭单位圆盘), 并取 $H$ 为 $U$ 的边界 $T$ . 我们断言每个多项式 $f$ , 即每个形如 $f (z) = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} z^{n}$ 的函数，这里 $a_{0}, \dots, a_{N}$ 是复数，都满足关系式 $‖ f ‖_{U} = ‖ f ‖_{T}$
5.25 设 $A$ 是闭单位圆盘 $\bar{U}$ 上的连续复函数的一个向量空间。若 $A$ 包含全体多项式，并且对每个 $f \in A$ 有 $sup_{z \in U} | f (z) | = sup_{z \in T} | f (z) |$ (这里 $T$ 是单位图周，即 $U$ 的边界), 则泊松积分表达式 $f (z) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} \frac{1 - r^{2}}{1 - 2 r \cos (θ - t) + r^{2}} f (e^{i t}) d t (z = r e^{i θ})$ 对每个 $f \in A, z \in U$ 都成立。

6. Chap 6. 复测度

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