Rudin 数学分析笔记 2

贡献者： addis

　　 本文参考 Rudin [1]。

1. Chap 4. 连续性

• 4.1 函数的极限：令 $f:E\subset X\to Y$，$X,Y$ 为度量空间，且 $p$ 是 $E$ 的极限点。凡是我们写当 $x\to p$ 时 $f(x)\to q$，或 $\lim_{x\to p}f(x)=q$，就是存在 $q\in Y$ 具有以下性质：对每个 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使 $d_{Y}(f(x),q)<\epsilon$ 对满足 $0< d_X(x,p)<\delta$ 的一切点 $x\in E$ 成立。
• 4.2 $\lim_{x\to p}f(x)=q$ 当且仅当 $\lim_{n\to\infty} f(p_n)=q$ 对 $E$ 中满足 $p_n\ne p$，$\lim_{n\to\infty} p_n=p$ 的每个序列 $\{p_n\}$ 成立。
• 如果 $f$ 在 $p$ 有极限，那么它是唯一的
• 4.4 $\lim_{x\to p}f(x)=A$，$\lim_{x\to p}g(x)=B$，那么 (a) $\lim_{x\to p}(f+g)(x)=A+B$，(b) $\lim_{x\to p}(fg)(x)=AB$，(c) $\lim_{x\to p}(f/g)(x)=A/B$（若 $B\ne 0$）。
• 4.6 连续性：$\lim_{x\to p}f(x)=f(p)$。
• 4.7 $h(x) = g(f(x))$。如果 $f$ 在点 $p$ 连续，且 $g$ 在点 $f(p)$ 连续，那么 $h$ 在点 $p$ 连续。
• 4.8 定理：度量空间 $X,Y$ 的函数 $f:X\to Y$ 连续，当且仅当对 $Y$ 的每个开集 $V$，$f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集。这是连续性的一个极有用的特征。
• 推论：度量空间 $X,Y$ 的函数 $f:X\to Y$ 连续，当且仅当对 $Y$ 的每个闭集 $C$，$f^{-1}(C)$ 是 $X$ 中的闭集。
• 4.9 设 $f,g$ 是度量空间 $X$ 上的复连续函数，那么 $f+g$，$fg$ 与 $f/g$ 在 $X$ 上连续。在最后一个中，假定对一切 $x\in X$，$g(x)\ne 0$。
• (a) 度量空间上的 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} :X\to R^k$ 连续当且仅当每个分量函数都连续。(b) 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} , \boldsymbol{\mathbf{g}} :X\to R^k$ 连续，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} + \boldsymbol{\mathbf{g}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{g}} $ 都在 $X$ 上连续。
• 4.13 有界：$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{f}} (x) \right\rvert \leqslant M$。
• 4.14 若紧度量空间 $X$ 到度量空间 $Y$ 的函数 $f:X\to Y$ 是连续的，那么 $f(X)$ 是紧的。
• 4.15 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 是把紧度量空间 $X$ 映入 $R^k$ 内的连续映射，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (X)$ 是闭的和有界的。因此 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 是有界的。
• 4.16 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 是紧度量空间 $X$ 上的连续实函数，且 $M = \sup_{p\in X} f(p)$，$m=\inf_{p\in X} f(p)$，那么一定存在 $r,s\in X$ 使 $f(r)=M$ 以及 $f(x)=m$。
• 4.17 设 $f$ 是把紧度量空间 $X$ 映满度量空间 $Y$ 的连续 1-1 映射，那么逆映射 $f^{-1}$ 是 $Y$ 映满 $X$ 的连续映射。
• 4.18 对度量空间 $X,Y$ 的函数 $f:X\to Y$，称 $f$ 在 $X$ 上一致连续，若对每个 $\epsilon>0$ 总存在 $\delta >0$ 对一切满足 $d_X(p,q)<\delta$ 的 $p,q\in X$ 都能使 $d_\gamma(f(p),f(q))<\epsilon$。
• 4.19 设 $f$ 是把紧度量空间 $X$ 映入度量空间 $Y$ 的连续映射。那么 $f$ 在 $X$ 上一致连续。
• 4.20 设 $E$ 是 $R^1$ 中的非紧集，那么 (a) 有在 $E$ 上连续却无界的函数。(b) 有在 $E$ 上连续且有界，却没有最大值的函数。(c) 如果 $E$ 是有界的，有在 $E$ 上连续却不一致连续的函数。
• 4.22 设 $f$ 是把连通的度量空间 $X$ 映入度量空间 $Y$ 内的连续映射，$E$ 是 $X$ 的连通子集，那么 $f(E)$ 是连通的。
• 4.25 设 $f$ 定义在 $(a,b)$ 上，定义一点的左极限和右极限……显然极限存在当且仅当左极限和右极限存在且相等。如果函数在一点不连续，就说在这点间断（discontinuous）。
• 4.26 设 $f$ 定义在 $(a,b)$ 上，如果 $f$ 在一点 $x$ 间断，并且如果 $f(x+)$ 和 $f(x-)$ 都存在，就说 $f$ 在 $x$ 发生了第一类间断。其他间断称为第二类间断。
• 4.28 设 $f:(a,b)\to R$，若 $a< x< y< b$ 时有 $f(x)\leqslant f(y)$，就说 $f$ 在 $(a,b)$ 上单调递增；若有 $f(x)\geqslant f(y)$ 就是单调递减。二者统称为单调函数。
• 4.30 设 $f$ 在 $(a,b)$ 上单调，那么 $(a,b)$ 中使 $f$ 间断的点最多是可数的。
• 4.31 间断点不一定是孤立点。
• 4.32 对任意 $c\in R$，集合 ${x|x>c}$ 叫做 $+\infty$ 的一个邻域，记为 $(c,+\infty)$。类似地，$(-\infty, c)$ 是 $-\infty$ 的一个邻域。
• 4.33 把函数的极限用领域的语言拓展到了广义实数系。

2. Chap 5. 微分法

• 5.1 导数（导函数）：定义在 $[a,b]$ 上的实值函数，……$f'(x) = \lim_{t\to x} [f(t)-f(x)]/(t-x)$。
• 如果 $f'$ 在点 $x$ 有定义，就说 $f$ 在 $x$ 点可微或可导。如果在 $E\subset [a,b]$ 的每一点有定义，就说 $f$ 在 $E$ 上可微。
• 5.2……若 $f$ 在 $x\in [a,b]$ 可微（可导），那么它在 $x$ 点连续。
• 5.5……$h'(x) = g'(f(x))f'(x)$。
• 设 $f$ 是定义在度量空间 $X$ 上的实函数，说 $f$ 在点 $p\in X$ 取得局部极大值，如果存在 $\delta>0$，对任意 $q\in X$ 且 $d(p,q)<\delta$ 有 $f(q)\leqslant f(p)$。局部极小值的定义类似。
• 5.8 设 $f$ 定义在 $[a,b]$ 上；$x\in [a,b]$，如果 $f$ 在点 $x$ 取得局部极大值而且 $f'(x)$ 存在，那么 $f'(x) = 0$。
• 5.9 设 $f,g$ 是 $[a,b]$ 上的连续实函数，他们在 $(a,b)$ 内可微，那么就有一点 $x\in (a,b)$，使 $[f(b)-f(a)]g'(x) = [g(b)-g(a)]f'(x)$
• 5.10 一般中值定理：设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 的连续实函数，在 $(a,b)$ 内可微，那么一定有一点 $x\in (a,b)$，使得 $f(b)-f(a) = (b-a)f'(x)$。
• 5.12 设 $f$ 是 $[a,b]$ 上实值可微函数，设 $f'(a)<\lambda< f'(b)$，那么必有一点 $x\in (a,b)$ 使 $f'(x) = \lambda$。
• 推论：如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上可微，那么 $f'$ 在 $[a,b]$ 上不能有简单间断。但 $f'$ 可能有第二类间断。
• 5.13 洛必达（L'Hospital）法则：假设实函数 $f,g$ 在 $(a,b)$ 内可微，而且对所有 $x\in (a,b)$，$g'(x)\ne 0$。这里 $-\infty\leqslant a< b\leqslant+\infty$。已知 $\lim_{x\to a} f'(x)/g'(x) = A$，如果 $\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0$，或 $\lim_{x\to a} g(x) = +\infty$，那么 $\lim_{x\to a} f(x)/g(x)= A$。
• 5.14 如果 $f$ 在一个区间由导数 $f'$，而 $f'$ 自身又是可微的，把 $f'$ 的导数记为 $f''$，叫做二阶导数。这样继续下去得到 $f, f', f'', f^{(3)},\dots, f^{(n)}$，其中 $f^{(n)}$ 叫做 $n$ 阶导数。
• 5.15 Taylor 定理：设 $f$ 是 $[a, b]$ 上的实函数，$n$ 是正整数，$f^{(n-1)}$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f^{(n)}(t)$ 对每个 $t \in(a, b)$ 存在。设 $\alpha, \beta$ 是 $[a, b]$ 中的不同的两点，再规定 $P(t)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(\alpha)}{k !}(t-\alpha)^{k}$. 那么，在 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间一定存在着一点，$x$, 使得 $f(\beta)=P(\beta)+\frac{f^{(n)}(x)}{n !}(\beta-\alpha)^{n}$.
• 5.19 设 $\mathbf{f}$ 是把 $[a, b]$ 映人 $R^{k}$ 内的连续映射，并且 $\mathbf{f}$ 在 $(a, b)$ 内可微，那么，必有 $x \in(a, b)$, 使得 $|\mathbf{f}(b)-\mathbf{f}(a)| \leqslant(b-a)\left|\mathbf{f}^{\prime}(x)\right|$.

3. Chap 6. Riemann-Stieltjes 积分

• 6.1 设 $[a, b]$ 是给定的区间。$[a, b]$ 的分法 $P$ 指的是有限点集 $x_{0}$, $x_{1}, \cdots, x_{n}$, 其中 $a=x_{0} \leqslant x_{1} \leqslant \cdots \leqslant x_{n-1} \leqslant x_{n}=b$. 把这里每个数减去它的前邻数的差记作 $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} \quad(i=1, \cdots, n)$. 现在假设 $f$ 是定义在 $[a, b]$ 上的有界实函数。对应于 $[a, b]$ 的每个分法 $P$, 令 $M_{i}=\sup f(x)\ \ \left(x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_{i}\right)$, $m_{i}=\inf f(x)\ \ \left(x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_{i}\right)$, $U(P, f)=\sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i}$, $L(P, f)=\sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i}$ 最后置 $\overline{\int_{a}^{b}} f \mathrm{~d} x=\inf U(P, f)$, $\underline{\int_{a}^{b}} f \mathrm{~d} x=\sup L(P, f)$. 其中最大下界与最小上界是对 $[a, b]$ 的所有分法而取的。两式左端分别称为 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Riemann 上积分与下积分.
• 如果上积分与下积分相等，就说 $f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积，记作 $f \in \mathscr{R}$ (即 是 $\mathscr{R}$ 表示 Riemann 可积函数的集合). 并且用 $\int_{a}^{b} f \mathrm{~d} x$ 或 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 上下积分的共同值。这就是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Riemann 积分.
• 因为 $f$ 是有界的，对于每个 $P$, $m(b-a) \leqslant L(P, f) \leqslant U(P, f) \leqslant M(b-a)$, 从而数 $L(P, f)$ 和 $U(P, f)$ 组成一个有界集。这说明，对于每个有界函数 $f$, 上秎分与下积分都有定义。关于它们是否相等的问题，即是 $f$ 的可积性问题，是 更为细致的问题。我们将不去孤立地研究 Riemann 积分，而马上去考虑更一般的情形。
• 6.2 设 $\alpha$ 是 $[a, b]$ 上的一个单调递增函数（因 $\alpha(a)$ 和 $\alpha(b)$ 有限，从而 $\alpha$ 在 $[a, b]$ 上有界). 对应于 $[a, b]$ 的每个分法 $P$, 记 $\Delta \alpha_{i}=\alpha\left(x_{i}\right)-\alpha\left(x_{i-1}\right)$ 显然 $\Delta \alpha_{i} \geqslant 0$. 对于 $[a, b]$ 上任意的有界实函数 $f$, 令 $U(P, f, \alpha)=\sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}$, $L(P, f, \alpha)=\sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta \alpha_{i}$. 这里 $M_{i}, m_{i}$ 与 6.1 中的含义相同，并且定义 $\overline{\int_{a}^{b}} f \mathrm{~d} \alpha=\operatorname{infU}(P, f, \alpha)$, $\underline{\int_{a}^{b}} f \mathrm{~d} \alpha=\sup L(P, f, \alpha)$. 其中的 $\inf$ 及 $\sup$ 都是对所有分法而取的。如果两式左端相等，我们就用 $\int_{a}^{b} f \mathrm{~d} \alpha$ 有时也用 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} \alpha(x)$ 表示它们的共同值。这就是 $[a, b]$ 上 $f$ 关于 $\alpha$ 的 Riemann-Stieltjes 积分（或简称为 Stieltjes 积 分）, 我们就说 $f$ 关于 $\alpha$ 在 Riemann 意义上可积，并记作 $f \in \mathscr{R}(\alpha)$. 取 $\alpha(x)=x$, 可见 Riemann 积分是 Riemann-Stieltjes 积分的特殊情形。在一般情形，$\alpha$ 甚至不一定是连续的。
• 6.3 我们称分法 $P^{*}$ 是 $P$ 的加细，如果 $P^{*} \supset P($ 即 $P$ 的每个点都是 $P^{*}$ 的点). 设有两个分法 $P_{1}$ 和 $P_{2}$, 如果 $P^{*}=P_{1} \cup P_{2}$, 便称 $P^{*}$ 是它们的共同加细。
• 6.4 如果 $P^{*}$ 是 $P$ 的加细，那么 $L(P, f, \alpha) \leqslant L\left(P^{*}, f, \alpha\right)$ 而且 $U\left(P^{*}, f, \alpha\right) \leqslant U(P, f, \alpha)$
• 6.5 $\underline{\int_{a}^{b}} f \mathrm{~d} \alpha \leqslant \overline{\int_{a}^{b}} f \mathrm{~d} \alpha .$
• 6.6 在 $[a,b]$ 上 $f\in\mathscr{R}(\alpha)$ 当且仅当对任意的 $\epsilon>0$，存在一个分法 $P$ 使 $U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha)<\epsilon$。
• 6.8 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，那么在 $[a,b]$ 上 $f\in \mathscr{R}(\alpha)$。
• 6.9 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调，$\alpha$ 在 $[a,b]$ 上连续，那么 $f\in \mathscr{R}(\alpha)$。
• 6.10 假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，只有有限个间断点。$\alpha$ 在 $f$ 的每个间断点上连续，那么 $f\in \mathscr{R}(\alpha)$。
• 6.11 假设在 $[a,b]$ 上 $f\in \mathscr{R}(\alpha)$，$m\leqslant f\leqslant M$。$\phi$ 在 $[m, M]$ 上连续，并且在 $[a,b]$ 上 $h(x) = \phi(f(x))$。那么在 $[a,b]$ 上 $h\in \mathscr{R}(\alpha)$。
• 6.12 (a) 如果在 $f_1,f_2 \in \mathscr{R}(\alpha)$，那么 $f_1+f_2 \in \mathscr{R}(\alpha)$。对任意常数 $c$，$cf\in \mathscr{R}(\alpha)$，并且 $\int_a^b (f_1+f_2) \,\mathrm{d}{\alpha} = \int_a^bf_1 \,\mathrm{d}{\alpha} + \int_a^bf_2 \,\mathrm{d}{\alpha} $。$\int_a^b cf \,\mathrm{d}{\alpha} = c\int_a^b f \,\mathrm{d}{\alpha} $。
• 6.12 (b) 如果在 $[a,b]$ 上 $f_1\leqslant f_2$，那么 $\int_a^bf_1 \,\mathrm{d}{\alpha} \leqslant \int_a^bf_2 \,\mathrm{d}{\alpha} $。
• 6.12 (c) 如果在 $[a,b]$ 上 $f\in \mathscr{R}(\alpha)$，并且 $a< c< b$，那么在 $[a,c]$ 及 $[c,b]$ 上 $f\in \mathscr{R}(\alpha)$，并且 $\int_a^cf \,\mathrm{d}{\alpha} +\int_c^bf \,\mathrm{d}{\alpha} = \int_a^bf \,\mathrm{d}{\alpha} $
• 6.12（d) 如果在 $[a,b]$ 上 $f\in \mathscr{R}(\alpha)$ 并且 $[a,b]$ 上 $ \left\lvert f(x) \right\rvert \leqslant M$，那么 $ \left\lvert \int_a^bf \,\mathrm{d}{\alpha} \right\rvert \leqslant M[\alpha(b)-\alpha(a)]$。
• 6.12 (e) 如果 $f\in \mathscr{R}(\alpha_1)$ 并且 $f\in \mathscr{R}(\alpha_2)$，那么 $f\in \mathscr{R}(\alpha_1+\alpha_2)$ 并且 $\int_a^bf \,\mathrm{d}{(\alpha_1+\alpha_2)} = \int_a^bf \,\mathrm{d}{\alpha_1} + \int_a^bf \,\mathrm{d}{\alpha_2} $。如果 $f\in \mathscr{R}(\alpha)$ 且 $c$ 是正常数，那么 $f\in \mathscr{R}(c\alpha)$ 而且 $\int_a^bf \,\mathrm{d}{(c\alpha)} = c\int_a^bf \,\mathrm{d}{\alpha} $
• 如果在 $[a,b]$ 上 $f,g\in \mathscr{R}(\alpha)$ 那么 (a) $fg\in \mathscr{R}(\alpha)$；(b) $ \left\lvert f \right\rvert \in \mathscr{R}(\alpha)$ 而且 $ \left\lvert \int_a^bf \,\mathrm{d}{\alpha} \right\rvert \leqslant \int_a^b \left\lvert f \right\rvert \,\mathrm{d}{\alpha} $
• 6.17 $\int_a^b f \,\mathrm{d}{\alpha} = \int_a^b f(x)\alpha'(x) \,\mathrm{d}{x} $。
• 6.20 设在 $[a,b]$ 上 $f\in \mathscr{R}$，对于 $a\leqslant x\leqslant b$，令 $F(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}{t} $。那么 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续；如果 $f$ 又在 $[a,b]$ 的 $x_0$ 点连续，那么 $F$ 在 $x_0$ 可微，并且 $F'(x_0) = f(x_0)$。
• 6.21 微积分基本定理：如果在 $[a,b]$ 上 $f\in \mathscr{R}$。在 $[a,b]$ 上又有可微函数 $F$ 满足 $F' = f$，那么 $\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} = F(b)-F(a)$。
• 6.22 分部积分：假定 $F$ 和 $G$ 都是 $[a, b]$ 上的可微函数。$F^{\prime}=f \in \mathscr{R}$, $G^{\prime}=g \in \mathscr{R}$. 那么 $\int_{a}^{b} F(x) g(x) \mathrm{d} x=F(b) G(b)-F(a) G(a)-\int_{a}^{b} f(x) G(x) \mathrm{d} x$.
• 6.23 设 $f_{1}, \cdots, f_{k}$ 是 $[a, b]$ 上的实函数，并设 $\boldsymbol{f}=\left(f_{1}, \cdots, f_{k}\right)$ 是将 $[a, b]$ 映人 $R^{k}$ 内的映射。如果 $\alpha$ 在 $[a, b]$ 上单调递增，那么说 $\boldsymbol f \in \mathscr{R}(\alpha)$, 指的就是对于 $j=1,2, \cdots, k$，$f_{j} \in \mathscr{R}(\alpha)$. 果真如此的话，就定义 $\int_{a}^{b} \boldsymbol{f} \mathrm{d} \alpha=\left(\int_{a}^{b} f_{1} \mathrm{~d} \alpha, \cdots, \int_{a}^{b} f_{k} \mathrm{~d} \alpha\right)$. 换句话说，$\int \boldsymbol{f} \mathrm{~d} \alpha$ 是 $R^{k}$ 中的点，而 $\int f_{j} \mathrm{~d} \alpha$ 是它的第 $j$ 个坐标。
• 6.24 设 $\boldsymbol{f}$ 及 $\boldsymbol{F}$ 是把 $[a, b]$ 映入 $R^{k}$ 的映射，$\boldsymbol{f}$ 在 $[a, b]$ 上 $\in \mathscr{R}$ 并且 $\boldsymbol F'=\boldsymbol f$, 那么 $\int_{a}^{b} \boldsymbol{f}(t) \mathrm{d} t=\boldsymbol{F}(b)-\boldsymbol{F}(a)$
• 6.25 如果 $\boldsymbol f$ 是把 $[a, b]$ 映入 $R^{k}$ 内的映射，并且对于 $[a, b]$ 上的某个单调递增函数 $\alpha$, $\boldsymbol f \in \mathscr{R}(\alpha)$, 那么 $|\boldsymbol f| \in \mathscr{R}(\alpha)$, 而且 $\left|\int_{a}^{b} \boldsymbol f \mathrm{~d} \alpha\right| \leqslant \int_{a}^{b}|\boldsymbol f| \mathrm{d} \alpha$.
• 6.26 将闭区间 $[a, b]$ 映人 $R^{k}$ 的映射 $\gamma$ 叫做 $R^{k}$ 里的曲线。也可以说 $\gamma$ 是 $[a , b]$ 上的曲线。假如 $\gamma$ 是一对一的，$\gamma$ 就称作弧. 假如 $\gamma(a)=\gamma(b)$; 就说 $\gamma$ 是闭曲线. 结合着 $R^{k}$ 里的每个曲线 $\gamma$, 总有 $R^{k}$ 的一个子集，即是 $\gamma$ 的值域，但是不同的曲线可以有相同的值域。 我们给 $[a, b]$ 的每个分法 $P=\left\{x_{0}, \cdots, x_{n}\right\}$ 和 $[a, b]$ 上的每个曲线 $\gamma$, 配置一个数 $\Lambda(P, \gamma)=\sum_{i=1}^{n}\left|\gamma\left(x_{i}\right)-\gamma\left(x_{i-1}\right)\right|$. 我们把 $\Lambda(\gamma)=\sup \Lambda(P, \gamma)$ 定义作 $\gamma$ 之长; 这里的 sup 是对 $[a, b]$ 的一切分法来取的。假若 $\Lambda(\gamma)<\infty$, 就说 $\gamma$ 是可求长的。
• 6.27 假如 $\gamma^{\prime}$ 在 $[a, b]$ 上连续，$\gamma$ 便是可求长的，而且 $\Lambda(\gamma)=\int_{a}^{b}\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$

4. Chap 7. 函数序列与函数项级数

• 7.1 假设 $n=1,2,...$，$\{f_n\}$ 是一个定义在集 $E$ 上的函数序列，再假设数列 $\{f_n(x)\}$ 对每个 $x\in E$ 收敛。我们便可以由 $f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)$（$x\in E$）确定一个函数 $f$。这时我们说 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上收敛。$f$ 是 $\{f_n\}$ 的极限或极限函数。
• 类似地，如果对每个 $x\in E$，$\sum f_n(x)$ 收敛，如果定义 $f(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x)$（$x\in E$），就说函数 $f$ 是级数 $\sum f_n$ 的和。
• ……所以，积分的极限和极限的积分，即使两者都是有限的，也未必相等。
• 7.7 如果对每一个 $\epsilon >0$，有一个整数 $N$，使得 $n\geqslant N$ 时，对一切 $x\in E$，有 $ \left\lvert f_n(x)-f(x) \right\rvert \leqslant \epsilon$，我们就说函数序列在 $E$ 上一致收敛于函数 $f$。一致收敛必定逐点收敛。
• 7.8 $E$ 上的函数序列 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上一致收敛，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，存在一个整数 $N$ 使得 $m,n\geqslant N$ 和 $x\in E$ 时，$ \left\lvert f_n(x)-f_m(x) \right\rvert \leqslant \varepsilon$。
• 7.9 假设 $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)$（$x\in E$）。令 $M_n = \sup_{x\in E} \left\lvert f_n(x)-f(x) \right\rvert $。那么在 $E$ 上 $f_n\to f$ 是一致的，当且仅当 $n\to \infty$ 时，$M_n\to 0$。
• 7.10 假设 $\left\{f_{n}\right\}$ 是定义在 $E$ 上的函数序列。并且，假设 $\left|f_{n}(x)\right| \leqslant M_{n} \quad(x \in E, n=1,2,3, \cdots)$ 如果 $\Sigma M_{n}$ 收敛，那么，$\Sigma f_{n}$ 便在 $E$ 上一致收敛。
• 7.11 假设在度量空间内的集 $E$ 上 $f_{n}$ 一致收敛于 $f$. 设 $x$ 是 $E$ 的极限点，那么 $\lim_{t\to x}\lim_{n\to\infty} f_n(t) = \lim_{n\to\infty}\lim_{t\to x} f_n(t)$
• 7.12 如果 $\{f_n\}$ 是 $E$ 上的连续函数序列。并且在 $E$ 上 $f_n$ 一致收敛于 $f$。那么，$f$ 在 $E$ 上连续。
• 7.13 假定 $K$ 是紧集。并且 (a) $\left\{f_{n}\right\}$ 是 $K$ 上的连续函数序列，(b) $\left\{f_{n}\right\}$ 在 $K$ 上逐点收敛于连续函数 $f$, (c) 对于一切 $x \in K$ 和 $n=1,2,3, \cdots, f_{n}(x) \geqslant f_{n+1}(x)$. 那么在 $K$ 上 $f_{n} \rightarrow f$ 是一致的。
• 7.14 如果 $X$ 是度量空间，$\mathscr C(X)$ 就表示以 $X$ 为定义域的复值连续有界函数的集。给每个 $f\in\mathscr C(X)$ 配置上确范数 $ \left\lVert f \right\rVert = \sup_{x\in X} \left\lvert f(x) \right\rvert $。因为 $f$ 有界，所以 $ \left\lVert f \right\rVert <\infty$。只有当 $f(x)=0$ 时才有 $ \left\lVert f \right\rVert =0$。如果 $h=f+g$，那么对一切 $x\in X$ 有 $ \left\lvert h(x) \right\rvert \leqslant \left\lvert f(x) \right\rvert + \left\lvert g(x) \right\rvert \leqslant \left\lVert f \right\rVert + \left\lVert g \right\rVert $。所以 $ \left\lVert f+g \right\rVert \leqslant \left\lVert f \right\rVert + \left\lVert g \right\rVert $。定义 $f,g\in\mathscr C(X)$ 之间的距离为 $ \left\lVert f-g \right\rVert $。于是 $\mathscr C(X)$ 变为度量空间。
• 复述 7.9：对于 $\mathscr C(X)$ 度量来说，序列 $\{f_n\}$ 收敛于 $f$ 当且仅当 $f_n$ 在 $X$ 上一致收敛于 $f$。
• 7.15 以上度量使 $\mathscr C(X)$ 成为完备度量空间。
• 7.16 设函数 $\alpha$ 在 $[a,b]$ 上单调递增。假定在 $[a,b]$ 上 $f_n\in\mathscr R(\alpha)$，$n=1,2,\dots$。再假设 $[a,b]$ 上 $f_n\to f$ 是一致的，那么 $[a,b]$ 上 $f\in\mathscr R$，而且 $\int_a^b f \,\mathrm{d}{\alpha} = \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n \,\mathrm{d}{\alpha} $。
• 7.17 设 $\{f_n\}$ 是 $[a,b]$ 上的可微函数序列，且 $[a,b]$ 上有某点 $x_0$ 使 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛。如果 $\{f'_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，那么 $\{f_n\}$ 就在 $[a,b]$ 上一致收敛于某函数 $f$；且 $f'(x) = \lim_{n\to\infty} f'_n(x)$（$a\leqslant x \leqslant b$）。
• 7.18 实轴上有处处不可微的实连续函数。
• 7.19 令 $\{f_n\}$ 为集合 $E$ 上的函数序列。说 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上逐点有界，如果对每个 $x\in E$，序列 $\{f_n\}$ 是有界的。也就是说：如果存在一个定义在 $E$ 上的有限值函数 $\phi$，使 $ \left\lvert f_n(x) \right\rvert <\phi(x)$（$x\in E$，$n=1,2,\dots$）。我们说 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上一致有界，如果存在一个数 $M$，使 $ \left\lvert f_n(x) \right\rvert < M$（$x\in E$，$n=1,2,\dots$）。
• 7.22 $f$ 是定义在度量空间 $X$ 的子集 $E$ 上的函数，$\mathscr F$ 是 $f$ 的族。说 $\mathscr F$ 在 $E$ 上等度连续（equicontinuous），就是对每个 $\varepsilon>0$ 存在一个 $\delta >0$，只要 $d(x,y)<\delta$，$x,y\in E$ 以及 $f\in \mathscr F$ 就能使 $ \left\lvert f(x)-f(y) \right\rvert <\varepsilon$。
• 7.23 假若 $\left\{f_{n}\right\}$ 是在可数集 $E$ 上逐点有界的复值函数序列，那么 $\left\{f_{n}\right\}$ 便有子序列 $\left\{f_{n_{k}}\right\}$, 使得 $\left\{f_{n_{k}}(x)\right\}$ 对于每个 $x \in E$ 收敛。
• 7.24 若 $K$ 是紧度量空间，$f_n\in \mathscr C(K)$，$n=1,2,\dots$，而且 $\{f_n\}$ 在 $K$ 上一致收敛，那么 $\{f_n\}$ 在 $K$ 上等度连续。
• 7.25 若 $K$ 是紧集，$f_n\in \mathscr C(K)$，$n=1,2,\dots$，而且 $\{f_n\}$ 在 $K$ 上逐点有界又等度连续，那么 (a) $\{f_n\}$ 在 $K$ 上一致有界，(b) $\{f_n\}$ 含有一致收敛的子序列。
• 7.26 Stone-Weierstrass 定理：如果 $f$ 是 $[a,b]$ 上的一个连续复函数，那么就有多项式 $P_n$ 的序列，使得 $\lim_{n\to\infty} P_n(x) = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致成立。如果 $f$ 是实函数，$P_n$ 可以是实多项式。
• 7.27 在每个闭区间 $[-a,a]$ 上，必有实多项式 $P_n$ 的序列，满足 $P_n(0) = 0$ 且 $\lim_{n\to\infty} P_n(x) = \left\lvert x \right\rvert $ 一致地成立。
• 7.28 定义在 $E$ 上的复函数族 $\mathscr A$ 为代数，若对于一切 $f,g\in \mathscr A$ 来说，(i) $f+g\in \mathscr A$，(ii) $fg\in \mathscr A$，(iii) 对一切复常数 $c$，$cf\in \mathscr A$。也就是说，加法、乘法、数乘是封闭的。
• 如果 $\mathscr A$ 满足，只要 $f_n\in \mathscr A$（$n=1,2,\dots$），且在 $E$ 上 $f_n\to f$ 一致成立，就有 $f\in \mathscr A$。就说 $\mathscr A$ 是一致闭的。
• 设 $\mathscr B$ 是由 $\mathscr A$ 中所有一致收敛函数序列的及先函数组成的集，就说 $\mathscr B$ 是 $\mathscr A$ 的一致闭包。
• Weierstrass 定理可以叙述为：$[a,b]$ 上连续函数的集合是 $[a,b]$ 上的多项式集的一致闭包。
• 7.29 设 $\mathscr B$ 是有界函数的代数 $\mathscr A$ 的一致闭包。那么 $\mathscr B$ 是一致闭的代数。
• 7.30 设 $\mathscr A$ 是集合 $E$ 上的函数族。说 $\mathscr A$ 能分离 $E$ 的点，就是说对不同的 $x_1,x_2\in E$，总有函数 $f\in \mathscr A$，使 $f(x_1)\ne f(x_2)$。

5. Chap 8. 一些特殊函数

• 幂级数 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n$ 或更一般地 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$，都称为解析函数。我们限制 $x$ 取实数。
• 8.1 假设对 $ \left\lvert x \right\rvert < R$，级数 $\sum_{n=0}^\infty c_n x^n$ 收敛，并规定 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n$（$ \left\lvert x \right\rvert < R$）。那么无论选取怎样的 $\varepsilon >0$，级数在 $[-R+\epsilon, R-\epsilon]$ 上一致收敛，函数 $f$ 在 $(-R,R)$ 内连续、可微，且 $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nc_n x^{n-1}$（$ \left\lvert x \right\rvert < R$）
• 在 8.1 中，$f$ 在 $(-R,R)$ 内有任意阶导数。他们是……
• 8.3 设有双重序列 $\{a_{ij}\}$，$i,j=1,2,3\dots$。假设 $\sum_{j=1}^\infty = b_i$（$i=1,2,\dots$）并且 $\sum b_i$ 收敛，那么 $\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty\sum_{i=1}^\infty a_{ij}$
• 8.4 设 $f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$，这级数在 $ \left\lvert x \right\rvert < R$ 内收敛。若 $-R< a< R$，$f$ 就可以在 $x=a$ 附近展开为幂级数，这幂级数在 $ \left\lvert x-a \right\rvert < R- \left\lvert a \right\rvert $ 中收敛，且有泰勒公式……
• 定义 $E(z) = \sum_{n=0}^\infty z^n/n!$ 为指数函数，有加法公式 $E(z+w)=E(z)E(w)$。…… 对一切实数 $x$，$E(x)= \mathrm{e} ^x$。
• 定义 $C(x) = [E(ix)+E(-ix)]/2$，$S(x)=[E(ix)-E(-ix)]/(2i)$。
• 8.9 三角多项式是形如 $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N (a_n\cos nx + b_n \sin nx)$（$x\in R$）的有限和。其中系数都是复数。也可以记为 $f(x) = \sum_{-N}^N c_n \mathrm{e} ^{inx}$（$x\in R$）。每个三角多项式以 $2\pi$ 为周期。$c_m = (1/2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} mx} \,\mathrm{d}{x} $。$f$ 是实函数当且仅当 $c_{-n} = \bar c_n$，$n=0,\dots,N$。定义三角级数为 $\sum_{-\infty}^\infty c_n \mathrm{e} ^{inx}$。
• 8.10 $\left\{\phi_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 是 $[a, b]$ 上合于 $\int_{a}^{b} \phi_{n}(x) \overline{\phi_{m}(x)} \mathrm{d} x=0 \quad(n \neq m)$ 的复值函数序列。那么，$\left\{\phi_{n}\right\}$ 叫做 $[a, b]$ 上的函数的正交系。此外，若是 对于一切 $n$，$\int_{a}^{b}\left|\phi_{n}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x=1$，$\left\{\phi_{n}\right\}$ 便叫作正规正交系（orthonormal）.
• 假若 $\left\{\phi_{n}\right\}$ 是 $[a, b]$ 上的正规正交系，而且 $c_{n}=\int_{a}^{b} f(t) \overline{\phi_{n}(t)} \mathrm{d} t \quad(n=1,2,3, \cdots)$, 我们便说 $c_{n}$ 是 $f$ 关于 $\left\{\phi_{n}\right\}$ 的第 $n$ 个 Fourier 系数。我们写作 $f(x) \sim \sum_{1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}(x)$。这并不意味着任何关于级数收敛性的事实。
• 8.11 设 $\left\{\phi_{n}\right\}$ 是 $[a, b]$ 上的正规正交系。令 $s_{n}(x)=\sum_{m=1}^{n} c_{m} \phi_{m}(x)$ 是 $f$ 的 Fouricr 级数的第 $n$ 个部分和。又假定 $t_{n}(x)=\sum_{m=1}^{n} \gamma_{m} \phi_{m}(x) .$ 那么 $\int_{a}^{b}\left|f-s_{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{a}^{b}\left|f-t_{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x$ 并且，当且仅当 $\gamma_{m}=c_{m} \quad(m=1, \cdots, n)$ 时才能使等式成立。
• 8.12 若 $\left\{\phi_{n}\right\}$ 是 $[a, b]$ 上的正规正交系，又若 $f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}(x)$，那么 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2} \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)|^{2} \mathrm{~d} x$. 特别地，$\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=0$. 这即是所谓 Bessel 不等式.
• 8.13 将要考虑的函数都以 $2 \pi$ 为周期，都在 $[-\pi, \pi]$ 上 Riemann 可积。那么 $s_{N}(x)=s_{N}(f ; x)=\sum_{-N}^{N} c_{n} e^{i n x}$ 是 $f$ 的 Fourier 级数的第 $N$ 个部分和。$\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left|s_{N}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x=\sum_{-N}^{N}\left|c_{n}\right|^{2} \leqslant \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2} \mathrm{~d} x$. 定义 Dirichlet 核 $D_{N}(x)=\sum_{n=-N}^{N} e^{i n x}=\frac{\sin \left(N+\frac{1}{2}\right) x}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ 这里第一个等式是 $D_{N}(x)$ 的定义; 于是 $s_{N}(f ; x) =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{-N}^{N} e^{i n(x-t)} \mathrm{d} t$。$s_{N}(f ; x)= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) D_{N}(x-t) \mathrm{d} t =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) D_{N}(t) \mathrm{d} t$
• 8.14 如果对于某一点 $x$, 有两个常数 $\delta>0$ 和 $M<\infty$, 对所有的 $t \in(-\delta, \delta)$, 使得 $|f(x+t)-f(x)| \leqslant M|t|$ 便一定有 $\lim _{N \rightarrow \infty} s_{N}(f ; x)=f(x)$
• 8.15 如果 $f$ 连续（以 $2 \pi$ 为周期）, 并且 $\varepsilon>0$, 那么便有一个三角多 项式 $P$, 对于一切实数 $x$，$|P(x)-f(x)|<\varepsilon$
• 8.16 Parseval 定理：假定 $f$ 与 $g$ 都是 Riemann 可积而且周期为 $2 \pi$ 的函数。$f(x) \sim \sum_{-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x}, g(x) \sim \sum_{-\infty}^{\infty} \gamma_{n} e^{i n x}$ 那么 $\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-x}^{\pi}\left|f(x)-S_{N}(f ; x)\right|^{2} \mathrm{~d} x=0$；$\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{g(x)} \mathrm{d} x=\sum_{-\infty}^{\infty} c_{n} \bar{\gamma}_{n}$；$\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2} \mathrm{~d} x=\sum_{-\infty}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2}$
• 8.17 当 $0< x<\infty$ 时 $\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t$ 对于这些 $x$, 这积分收敛。(当 $x<1$ 时，0 与 $\infty$ 都必须检查。)
• 8.18 (a) 如果 $0< x<\infty$, 函数方程 $\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)$ 成立。(b) $\Gamma(n+1)=n !, n=1,2,3, \cdots$. (c) $\log \Gamma$ 在 $(0, \infty)$ 上是凸的。
• 8.19 如果 $f$ 在 $(0, \infty)$ 上是正值函数，合于 (a) $f(x+1)=x f(x)$, (b) $f(1)=1$, (c) $\log f$ 是凸的，那么 $f(x)=\Gamma(x)$.
• 8.20 如果 $x>0$, 又 $y>0$, 那么 $\int_{0}^{1} t^{x-1}(1-t)^{y-1} \mathrm{~d} t=\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ 这积分是所谓的 $B$ 函数 $B(x, y)$.
• 8.21 $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$，$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-s^{2}} \mathrm{~d} s=\sqrt{\pi}$
• 8.22 当 $x$ 很大时，这给 $\Gamma(x+1)$ 提供了一个简单的近似表 达式（当 $n$ 很大时，就是 $n !$ 的近似表达式）. 这公式是 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\Gamma(x+1)}{(x / e)^{x} \sqrt{2 \pi x}}=1$

[1] ^ Walter Rudin. Principle of Mathematical Analysis