Prerequisite 球坐标系的定义
，四象限 Arctan 函数
当我们讨论球坐标和直角坐标的转换时，通常令两个原点重合，取极轴（$\theta = 0$）为 $z$ 轴的正方向，$\theta = \pi/2$，$\phi = 0$ 为 $x$ 轴的正方向，$\theta = \pi/2$，$\phi = \pi/2$ 为 $y$ 轴的正方向．这时两种坐标之间的变换关系为．
\begin{equation}
\begin{cases}
x = r\sin \theta \cos \phi \\
y = r\sin \theta \sin \phi \\
z = r\cos \theta
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
r &= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \\
\theta &= \operatorname{Arctan} \left(\sqrt{x^2 + y^2}, z \right) \\
\phi &= \operatorname{Arctan} (y, x)
\end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $ \operatorname{Arctan} $ 函数（也记为 $ \operatorname {atan2}$）的定义见
eq. 1 ．注意根据
eq. 1 ，同一个直角坐标可以对应不同的极坐标，例如将 $\phi$ 增加 $2\pi$ 的整数倍，由例如对 $z$ 轴上的点 $\phi$ 可以取任意值．但根据
eq. 2 ，我们可以找到两种坐标间的一一对应
关系．
矢量的变换
两组基底之间的变换关系为
\begin{equation}
\begin{cases}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}}
\end{cases}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是关于两个角度的三维旋转矩阵
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} = \begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\\
\cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta\\
-\sin\phi & \cos\phi & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}
若任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在直角坐标系和球坐标系中分别表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = v_x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + v_z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = v_r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + v_\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + v_\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}}
\end{equation}
则坐标变换关系可以用矩阵乘法表示
\begin{equation}
\begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_\phi\end{pmatrix}
= \boldsymbol{\mathbf{R}} \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix}
= \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_\phi\end{pmatrix}
\end{equation}
推导
把空间中一点 $P$ 的位矢 $r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 分解为垂直于 $xy$ 平面的分量 $z = r\cos \theta $ 和 $xy$ 平面的分量 $r\sin \theta $．后者又可以进而分解成 $x$ 分量 和 $y$ 分量 $x = r\sin \theta \cos \phi$， $y = r\sin \theta \sin \phi$，这就得到了eq. 1 ．
在直角坐标系中，有 $r = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$，代入eq. 1 中的三条关系，就可以很容易解出eq. 2 中的三条关系．
现在推导变换关系（eq. 3 ）．由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 都是关于 $(r, \theta, \phi)$ 的函数，所以在考察一点 $(r, \theta, \phi)$ 时，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的球坐标是 $(1, \theta, \phi)$， 根据eq. 1 变换到直角坐标为
\begin{equation}
(\sin \theta \cos \phi,\,\sin \theta \sin \phi,\,\cos \theta)
\end{equation}
写成矢量的形式，就是
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \sin \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{equation}
至于
eq. 3 的第二条式子，在同一个球坐标 $(r,\theta ,\phi)$ 处，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 的球坐标为 $(1, \theta + \pi /2, \phi)$，根据
eq. 1 变换到直角坐标再化简就得到直角坐标和对应的矢量形式为
\begin{equation}
(\cos \theta \cos \phi ,\,\cos \theta \sin \phi , \,- \sin \theta)
\end{equation}
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \cos \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{equation}
同理可得
eq. 5 ．将基底变换
eq. 3 和
eq. 4 分别代入
eq. 7 和
eq. 6 得坐标变换
eq. 9 和
eq. 8 ．
两方向的夹角
若已知球坐标系中两个方向分别为 $(1, \theta_1, \phi_1)$ 和 $(1, \theta_2, \phi_2)$ 如何求它们之间的夹角 $\alpha$ 呢？我们可以先计算两个单位矢量的直角坐标，然后对它们进行内积即可得到两矢量夹角的余弦值．由eq. 1 ，两矢量的直角坐标分别为
\begin{equation}
(\sin\theta_1\cos\phi_1,\ \sin\theta_1\sin\phi_1,\ \cos\theta_1)
\qquad
(\sin\theta_2\cos\phi_2,\ \sin\theta_2\sin\phi_2,\ \cos\theta_2)
\end{equation}
利用三角恒等式（
eq. 4 ），得
\begin{equation} \begin{aligned}
\cos\alpha &= \sin\theta_1\cos\phi_1\sin\theta_2\cos\phi_2 + \sin\theta_1\sin\phi_1 \sin\theta_2\sin\phi_2 + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\
&= \sin\theta_1\sin\theta_2(\cos\phi_1 \cos\phi_2 + \sin\phi_1\sin\phi_2) + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\
&= \sin\theta_1\sin\theta_2 \cos\left(\phi_2-\phi_1\right) + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\
\end{aligned} \end{equation}