三维旋转矩阵
类比平面旋转矩阵，空间旋转矩阵是三维坐标的旋转变换，所以应该是 $3 \boldsymbol\times 3$ 的方阵．不同的是平面旋转变换只有一个自由度 $\theta $，而空间旋转变换除了转过的角度还需要考虑转轴的方向，三维空间中的方向有两个自由度，所有三维旋转矩阵共有 3 个自由度．
若已经知道空间直角坐标系中三个单位正交矢量
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} =(1,0,0) ^{\mathrm{T}} \quad \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} =(0,1,0) ^{\mathrm{T}} \quad \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} =(0,0,1) ^{\mathrm{T}}
\end{equation}
经过三维旋转矩阵变换以后变为另外三个正交归一矢量，令坐标变为
\begin{equation}
({a_{11}},{a_{21}},{a_{31}}) ^{\mathrm{T}} \quad ({a_{12}},{a_{22}},{a_{32}}) ^{\mathrm{T}} \quad ({a_{13}},{a_{23}},{a_{33}}) ^{\mathrm{T}}
\end{equation}
类比平面旋转矩阵
，可以得到旋转矩阵为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} _3 = \begin{pmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\
{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\
{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}
\end{pmatrix}\end{equation}
这 9 个矩阵元只有 3 个是独立的，因为我们有 6 个条件：每个列矢量模长等于 1（3 个等式），且两两间正交（3 个等式）．
除了通过三个单位矢量构建旋转矩阵，我们可以通过由转轴的方向和旋转的角度来计算每个矩阵元，参考 “绕轴旋转矩阵” 和 “四元数”．
逆矩阵
如果我们把eq. 2 中的三个正交归一基底记为