三角恒等式
Prerequisite 三角函数
这里列出几个高中常见的三角函数恒等式，推导从略．以下用到的两个高中不常见的三角函数分别为 $\csc x= 1/\sin x$，$\sec x = 1/\cos x$，分别读作 cosecant 和 secant
勾股定理
\begin{equation}
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
\end{equation}
等式两边同除 $\cos^2 x$ 得
\begin{equation}
\tan^2 x + 1 = \sec^2 x
\end{equation}
两角和公式
\begin{gather}
\sin\left(x\pm y\right) = \sin x\cos y \pm \cos x\sin y\\
\cos\left(x\pm y\right) = \cos x\cos y \mp \sin x\sin y
\end{gather}
二倍角公式
令eq. 3 中 $y=x$ 取上号得
\begin{gather}
\sin 2x = 2\sin x\cos x\\
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x
\end{gather}
降幂公式
结合eq. 6 和 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 可以得到
\begin{gather}
\sin^2 x = \frac12 (1- \cos 2x) \\
\cos^2 x = \frac12 (1+\cos 2x)
\end{gather}
和差化积公式
\begin{gather}
\sin x + \sin y = 2\sin \left(\frac{x + y}{2} \right) \cos \left(\frac{x - y}{2} \right) \\
\sin x - \sin y = 2\sin \left(\frac{x - y}{2} \right) \cos \left(\frac{x + y}{2} \right) \\
\cos x + \cos y = 2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \cos \left(\frac{x-y}{2} \right) \\
\cos x - \cos y = -2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right) \sin \left(\frac{x-y}{2} \right)
\end{gather}
这里介绍一种推导方法可方便记忆．以eq. 11 为例，$\cos x, \cos y$ 和 $\cos x + \cos y$ 分别等于fig. 1 中矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $（令它们的模长为 1）和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在水平方向的投影长度，而 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在水平方向的投影长度等为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \cos[(x+y)/2]$，其中 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert = 2\cos [(y-x)/2]$，代入可得eq. 11 ．利用 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在竖直方向的投影可得eq. 9 ，把eq. 9 和eq. 11 中的 $y$ 分别替换成 $-y$ 和 $y+\pi$ 可推导出eq. 10 和eq. 12 ．
Fig. 1：和差化积公式推导
积化和差公式
根据和差化积公式，我们也可以直接写出积化和差公式
\begin{gather}
\sin x\sin y = \frac12 [ \cos\left(x - y\right) - \cos\left(x + y\right) ]\\
\cos x\cos y = \frac12 [ \cos\left(x + y\right) + \cos\left(x - y\right) ]\\
\sin x\cos y = \frac12 [ \sin\left(x + y\right) + \sin\left(x - y\right) ]
\end{gather}
