几何定义
我们先来看内积的几何定义．注意该定义不需要任何坐标系的概念．
Fig. 1：内积的几何定义
如fig. 1 ，两个几何矢量的内积（inner product）1就是把它们的模长相乘，再乘以它们的夹角的余弦值．一般用一个实心圆点表示几何矢量的内积（不可省略）：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \cos\theta
\end{equation}
其中 $\theta$ 是两个矢量的夹角．注意两个矢量内积得到的是一个标量．几何定义中（
fig. 1 ），既可以把内积理解为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 投影在 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 上的模长乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的模长，也可以理解为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 投影在 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 上的模长乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的模长
2．可见当两矢量模长不变时，若方向相同，内积取最大值 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert $；若方向相反，内积取最小值 $- \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert $；若相互垂直，则内积为 0．
我们说两个内积为 0 的矢量互相垂直（perpendicular），或者说正交（orthogonal）．几何矢量与自身内积可得该矢量模长的平方．单位矢量与自己的内积等于 1．把一个矢量除以自身模长得到同方向单位矢量的过程叫做矢量的归一化（normalization）．
内积的性质
- 交换律3
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}}
\end{equation}
- 分配律4
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}}
\end{equation}
注意内积不满足结合律，即
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{C}} \ne \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} )
\end{equation}
前者是 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 方向的矢量，后者是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 方向的矢量，显然不相等．
内积的坐标运算
若已知 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在平面直角坐标系 $xy$ 中坐标分别为 $(A_x, A_y)$ 和 $(B_x, B_y)$，那么如何用坐标表示内积运算的结果呢？先用正交归一基 将两矢量展开
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = A_x \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + A_y \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \qquad \boldsymbol{\mathbf{B}} = B_x \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + B_y \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = (A_x \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + A_y \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \boldsymbol\cdot (B_x \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + B_y \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )
\end{equation}
根据分配律
eq. 3 ，我们可以把两个括号拆开，变为 4 个内积之和．
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = A_x B_x \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + A_y B_y \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + A_x B_y \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + A_y B_x \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}}
\end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = 0$（相互垂直），而 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = 1$（相互平行且模长都为 1）．所以最后结果为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = A_x B_x + A_y B_y
\end{equation}
同理，可以在三维直角坐标系 $xyz$ 中把内积结果用坐标表示
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z
\end{equation}
注意内积的代数定义也可以拓展到更高维的情况甚至复数的情况，即对于复数域的 $u_1, u_2, \dots, u_N$ 和 $v_1, v_2, \dots, v_N$，
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_k u_k v_k
\end{equation}
注意虽然上式中的坐标取决于正交归一基底的选取，但内积的结果却与基底的选取无关．这是因为内积的几何定义是两个几何矢量间的几何性质，与基底无关．
证明内积的分配律
Fig. 2：内积分配律的证明
如fig. 2 ，令 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} \equiv \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} $，把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} $， $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} $， $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 分别用几何定义理解为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $， $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $， $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 上的投影乘 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert $，且令投影长度分别为 $L_B, L_C, L_D$．那么要证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{D}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} $，只需证明 $L_D = L_B + L_C$ 即可．现在把 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 平移使其起点与 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的终点对接（投影长度不变）．从图中立即得出 $L_D = L_B + L_C$．
1. ^ 也叫点积 或 点乘，标量积（scalar product）
2. ^ 在这种理解下，若量矢量的夹角为钝角，投影长度取负值
3. ^ 由eq. 1 易证
4. ^ 证明见词条最后．
