Prerequisite 点电荷的拉格朗日和哈密顿量
，量子化
，原子单位制
本文使用原子单位制．电动力学中，电磁场中单个粒子的哈密顿量为
\begin{equation}
H = \frac{1}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2 + q\varphi
\end{equation}
其中 $\varphi$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 分别是电磁场的标势和矢势
，都是位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和时间的函数．$ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的广义动量
，
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}}
\end{equation}
将 ${ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = - \mathrm{i} \hbar \boldsymbol\nabla $，代入得量子化后的哈密顿算符为
\begin{equation}
\begin{aligned}
H &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} )
+ \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q \varphi\\
&= -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + \mathrm{i} \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} + \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q\varphi
\end{aligned} \end{equation}
注意算符 $ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是指先把波函数乘以矢势再取散度而不是直接对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 取散度（想想量子力学中算符相乘的定义）．
另外要注意 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = - \mathrm{i} \boldsymbol{\nabla} $ 代表的是eq. 2 的广义动量而不是 $m \boldsymbol{\mathbf{v}} $．所以一般规范下的平面波 $ \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) $ 的能量是
\begin{equation}
E = \frac{( \boldsymbol{\mathbf{k}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2}{2m}
\end{equation}
在长度规范
下，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \equiv \boldsymbol{\mathbf{0}} $，这时才有常见的 $E = \boldsymbol{\mathbf{k}} ^2/(2m)$．
如果对电磁场进行规范变换（eq. 3 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ' + \boldsymbol\nabla \chi
\qquad
\varphi = \varphi' - \frac{\partial \chi}{\partial t}
\end{equation}
为了仍然满足含时薛定谔方程，波函数需要乘以一个相位因子，但物理观测结果却不会改变
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} q\chi\right) \Psi'( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)
\end{equation}
其中 $\chi$ 是
eq. 3 中的任意标量函数 $\lambda$．将以上三式代入含时薛定谔方程并化简后，等于把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \varphi, \Psi$ 分别直接加上一瞥撇．所以对于任意规范，
eq. 3 都保持相同的形式．
常见的规范如库仑规范，以及偶极子近似下的长度规范和速度规范．