Prerequisite 偶极子近似（量子）
，库仑规范（量子）
本文使用原子单位制．我们只在使用偶极子近似时讨论长度规范（length gauge），因为我们接下来需要 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与位置无关．当空间中存在静止的电荷分布时，我们可以把标量势能分为 $V + \varphi$ 两部分．前者由静止电荷根据库伦定律计算，不参与规范变换，在这里我们甚至可以不把它看成电磁力而只是某种其他势能．令不含时哈密顿算符为
\begin{equation}
H_0 = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} + qV
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 是所选规范下的广义动量算符（
eq. 2 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla
\end{equation}
未完成：以上这段论述应该放在偶极子近似里面
我们令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _C, \varphi_C, \Psi_C$ 代表库仑规范，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} _L, \varphi_L, \Psi_L$ 代表长度规范．将后者代入与规范无关的哈密顿量（eq. 3 ）得
\begin{equation}
H_L = H_0 - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} _L \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} _L)
+ \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _L^2 + q \varphi_L
\end{equation}
长度规范的思路是：如果使用某种 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = 0$ 的规范，就可以简化该式．用不带撇的变量表示库仑规范，我们令
\begin{equation}
\Psi_C( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} q\chi_L\right) \Psi_L( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)
\end{equation}
\begin{equation}
\chi_L( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C(t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}}
\end{equation}
利用规范变换为（
eq. 5 ），以及 $- \partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _C/\partial t = \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} $，（$ \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t)$ 是除静电场以外的含时电场）（库伦规范+偶极子近似，引用未完成）以及 $\varphi_C = 0$
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} _L = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C - \boldsymbol\nabla \chi_L = \boldsymbol{\mathbf{0}}
\end{equation}
可见
长度规范下矢势为零，广义动量（
eq. 2 ）变为普通动量
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} _L = m \boldsymbol{\mathbf{v}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla
\end{equation}
再看标势的变换：
\begin{equation}
\varphi_L(t) = \varphi_C + \frac{\partial \chi_L}{\partial t} = - \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}}
\end{equation}
由于形式不变，把
eq. 6 和
eq. 8 代入
eq. 3 得长度规范下的哈密顿算符为
\begin{equation}
H_L = H_0 - q \boldsymbol{\mathbf{\mathcal{E}}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}}
\end{equation}
薛定谔方程为
\begin{equation}
H_L \Psi^L = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi^L
\end{equation}