电磁场标势和矢势
用标势和矢势表示电磁场
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}}
\end{equation}
推导
首先定义 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，则由法拉第电磁感应定律（eq. 2 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} \right) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{0}}
\end{equation}
这说明括号中的矢量可以表示为一个标量函数的梯度，即标势 $\varphi$，负号是为了在静电场的情况下使得标势等于电势．
标势和矢势的麦克斯韦方程组
将eq. 1 和eq. 2 代入麦克斯韦方程组可以得到两条与麦克斯韦方程组等效的方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
\end{equation}
\begin{equation}
\left( \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} \right) - \boldsymbol\nabla \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{J}}
\end{equation}