指数函数（复数）
Fig. 1：复数域中的指数函数
1复数域中的指数函数被定义为
\begin{equation}
w = \mathrm{e} ^z = \mathrm{e} ^{x + \mathrm{i} y} = \mathrm{e} ^x(\cos y + \mathrm{i} \sin y)
\end{equation}
\begin{equation}
\left\lvert w \right\rvert = \mathrm{e} ^x \qquad \arg(w) = y
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} = \cos z + \mathrm{i} \sin z
\end{equation}
根据eq. 1 的定义结合两角和公式（eq. 3 ），容易证明 $ \mathrm{e} ^z$ 同样满足
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{z_1 + z_2} = \mathrm{e} ^{z_1} \mathrm{e} ^{z_2}
\end{equation}
虽然我们还没有系统地学习复变函数求导的概念，但我们可以根据eq. 3 求出一个物理中常见的导数公式
\begin{equation} \begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax} &= -a \sin\left(ax\right) + \mathrm{i} a \cos\left(ax\right) \\
&= \mathrm{i} a[ \cos\left(ax\right) + \mathrm{i} \sin\left(ax\right) ]\\
&= \mathrm{i} a \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax}
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{z x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left( \mathrm{e} ^{ax} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} bx} \right) = (a + \mathrm{i} b) \mathrm{e} ^{(a+ \mathrm{i} b)x} = z \mathrm{e} ^{zx}
\end{equation}