复数
可见任意一个复数可以表示为一个加法和一个乘法：$(x, y) = (x, 0) + y(0, 1)$，即熟悉的
\begin{equation}
z = x + \mathrm{i} y
\end{equation}
复平面
Fig. 1：复平面与复数
由此可以看到，复数跟二维平面上的几何矢量是十分相似的．如fig. 1 ，一个复数可以看做复平面上的一个点（或矢量），该矢量在复平面的实轴和虚轴方向的分量分别等于其实部和虚部．复数的模定义为对应矢量的模，即
\begin{equation}
\left\lvert z \right\rvert = \sqrt{ \operatorname{Re} [z]^2 + \operatorname{Im} [z]^2}
\end{equation}
\begin{equation}
\arg(z) = \operatorname{Arctan} ( \operatorname{Im} [z], \operatorname{Re} [z])
\qquad (\arg z \in (-\pi, \pi])
\end{equation}
\begin{equation}
\operatorname{Re} [z] = \left\lvert z \right\rvert \cos\left(\arg z\right) \qquad \operatorname{Im} [z] = \left\lvert z \right\rvert \sin\left(\arg z\right)
\end{equation}
\begin{equation}
z = A(\cos\theta + \mathrm{i} \sin\theta) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}
\end{equation}
基本运算
共轭
一个复数的共轭等于与其实部相同，虚部相反的复数3
\begin{equation}
z ^* = \operatorname{Re} [z] - \mathrm{i} \, \operatorname{Im} [z]
\end{equation}
加和减
eq. 1 中已经定义了加法．与实数相同，定义减法为 $z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2)$，有
\begin{equation}
(x_1 + \mathrm{i} y_1) \pm (x_2 + \mathrm{i} y_2) = (x_1 \pm x_2) + \mathrm{i} (y_1 \pm y_2)
\end{equation}
特殊地，将一个复数与其复共轭加减可得其实部和虚部
\begin{equation}
\operatorname{Re} [z] = \frac12 (z + z ^* ) \qquad
\operatorname{Im} [z] = \frac12 (z - z ^* )
\end{equation}
乘法
两个复数相乘定义为（注意eq. 2 是该定义的一种特殊情况）
\begin{equation}
z_1z_2 = (x_1 + \mathrm{i} y_1)(x_2 + \mathrm{i} y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + \mathrm{i} (x_1 y_2 + x_2 y_1)
\end{equation}
可以证明，乘积的模等于两复数模之积，乘积的幅角等于两复数的幅角之和，即
\begin{equation}
\left\lvert z_1 z_2 \right\rvert = \left\lvert z_1 \right\rvert \left\lvert z_2 \right\rvert
\end{equation}
\begin{equation}
\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)
\end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
z_1 z_2 &= (A_1 \cos\theta_1 + \mathrm{i} A_1 \sin\theta_1)(A_2 \cos\theta_2 + \mathrm{i} A_2 \sin\theta_2)\\
&= A_1 A_2 (\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2) + \mathrm{i} A_1 A_2 (\cos\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_2\sin\theta_1)\\
&= A_1 A_2 [ \cos\left(\theta_1 + \theta_2\right) + \mathrm{i} \sin\left(\theta_1 + \theta_2\right) ]
\end{aligned} \end{equation}
不难证明复数的乘法满足交换律和结合律．容易证明，一个复数模的平方可以用它和复共轭的乘积表示．
\begin{equation}
x^2 + y^2 = \left\lvert z \right\rvert ^2 = z z ^*
\end{equation}
除法
和实数一样，复数的除法定义为乘法的逆运算．令 $z_1 = z z_2$（$z_2 \ne 0$），则两个复数相除可以记为
\begin{equation}
z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + \mathrm{i} y_1}{x_2 + \mathrm{i} y_2}
\end{equation}
\begin{equation}
z = \frac{z_1 z_2 ^* }{z_2 z_2 ^* }
= \frac{(x_1 + \mathrm{i} y_1)(x_2 - \mathrm{i} y_2)}{(x_2 + \mathrm{i} y_2)(x_2 - \mathrm{i} y_2)}
= \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} + \mathrm{i} \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2}
\end{equation}
与乘法同理，两个复数相除相当于把它们的模相除，幅角相减，即
\begin{equation}
\left\lvert z_1/z_2 \right\rvert = \left\lvert z_1 \right\rvert / \left\lvert z_2 \right\rvert
\end{equation}
\begin{equation}
\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2)
\end{equation}
根据定义易证．例如
\begin{equation}
\frac{2 z_1 z_2}{(z_3 + z_4)^2} = \frac{2 z_1^* z_2^*}{(z_3^* + z_4^*)^2}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert z_1 + z_2 \right\rvert ^2 &= \left\lvert z_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert z_2 \right\rvert ^2 + z_1^* z_2 + z_2^* z_1\\
&= \left\lvert z_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert z_2 \right\rvert ^2 + 2 \operatorname{Re} [z_1^* z_2]
\end{aligned}
\end{equation}
1. ^ 一些教材常常先定义虚数单位 $ \mathrm{i} = \sqrt{-1}$ 或 $ \mathrm{i} ^2 = -1$，这种定义往往不易理解．我们这里直接将复数定义为服从某种运算规则的实数对，更能揭示复数的本质 [8]．
2. ^ 为了与变量 $i$ 区分，本书中虚数单位使用正体的 $ \mathrm{i} $．
3. ^ 一些教材也使用 $\bar z$ 表示 $z$ 的共轭．