基本初等函数
基本初等函数由以下五类函数构成（$a$ 是常数）
- 幂函数
\begin{equation}
x^a \quad(a \in R)
\end{equation}
- 指数函数
\begin{equation}
a^x \quad(a > 0, \; a \ne 1)
\end{equation}
- 对数函数
\begin{equation}
\log_a x \quad(a > 0, \; a \ne 1)
\end{equation}
- 三角函数
\begin{equation}
\sin x \qquad \cos x \qquad \tan x
\end{equation}
- 反三角函数
\begin{equation}
\arcsin x \qquad \arccos x \qquad \arctan x
\end{equation}
由以上函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如
\begin{equation}
y = \sqrt{1 - x^2}\qquad y = \sin ^2 x\qquad y = \sqrt{\cot \frac{x}{2}}
\end{equation}
基本初等函数的导数
基本初等函数在其定义域内都是可导的，导函数如下
- 幂函数
\begin{equation}
(x^a)' = a x^{a - 1} \quad (a \in R)
\end{equation}
- 三角函数
\begin{equation}
\sin' x = \cos x \qquad \cos' x = - \sin x \qquad
\tan'x = 1/\cos ^2 x = \sec ^2 x
\end{equation}
- 指数函数
\begin{equation}
(a^x)' = \ln\left(a\right) a^x
\end{equation}
- 对数函数
\begin{equation}
(\log_a x)' = \frac{1}{ \ln\left(a\right) x}
\end{equation}
幂函数证明
由导数的代数定义，$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} [f(x + h) - f(x)]/h$，而
\begin{equation}
(x + h)^a - x^a = x^a [(1 + h/x)^a - 1]
\end{equation}
由于 $h \to 0$， $h/x \to 0$．令 $\varepsilon = h/x$，由非整数二项式定理
，
\begin{equation}
(1 + \varepsilon)^a = 1 + a\varepsilon + \frac{a(a - 1)}{2!} \varepsilon ^2 + \frac{a(a - 1)(a - 2)}{3!} \varepsilon ^3\dots
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
(x^a)' &= x^a \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{( 1 + \varepsilon )^a - 1}{\varepsilon x} \\
&= x^{a - 1} \lim_{\varepsilon \to 0} \left(a + \frac{a(a - 1)}{2!}\varepsilon + \frac{a (a - 1)(a - 2)}{3!}{\varepsilon ^2}\dots \right) = a x^{a - 1}
\end{aligned} \end{equation}
正弦函数证明
使用三角函数和差化积公式化简极限
\begin{equation}
\sin'x = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin\left(x + h\right) - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin\left(h/2\right) }{h/2} \cos\left(x + \frac{h}{2}\right)
\end{equation}
由小角正弦值极限
中的结论，其中
\begin{equation}
\lim_{h \to 0} \frac{ \sin\left(h/2\right) }{h/2} = 1
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\sin'x = \lim_{h \to 0} \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) = \cos x
\end{equation}
余弦函数证明
若 $f'(x) = g(x)$，且 $b$ 为任意常数，根据导数的定义 $f'(x + b) = g(x + b)$ 同样成立（证明略）．所以 $\sin'(x + \pi/2) = \cos\left(x + \pi/2\right) $．而 $ \sin\left(x + \pi/2\right) = \cos x$， $ \cos\left(x + \pi/2\right) = - \sin x$ 所以 $\cos' x = - \sin x$
正切函数证明
根据求导法则，因为 $\tan x = \sin x/\cos x$，所以
\begin{equation}
\tan' x = \frac{\sin' x \cos x - \cos' x\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos ^2 x} = \sec ^2 x
\end{equation}
对数函数证明
先证明 $\ln' x = {1}/{x}$． $ \ln\left(x + h\right) - \ln x = \ln\left(1 + h/x\right) $，所以
\begin{equation}
\ln 'x = \lim_{h \to 0} \frac{ \ln\left(x + h\right) - \ln x}{h} = \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} \frac{ \ln\left(1 + h/x\right) }{h/x}
\end{equation}
令 $\varepsilon = h/x$，则
\begin{equation}
\ln' x = \frac{1}{x} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{ \ln\left(1 + \varepsilon\right) }{\varepsilon } = \frac{1}{x} \lim_{\varepsilon \to 0} \ln\left(1 + \varepsilon\right) ^{\frac{1}{\varepsilon }}
\end{equation}
由自然对数底的定义，$\lim\limits_{\varepsilon \to 0} (1 + \varepsilon)^{\frac{1}{\varepsilon }} = \mathrm{e} $，所以
\begin{equation}
\ln 'x = \frac{\ln \mathrm{e} }{x} = \frac{1}{x}
\end{equation}
再证明 $\log'_a x = {1}/(x\ln a)$．
由对数函数的性质 $\log_a b = \ln b/\ln a$
\begin{equation}
\log'_a x = \left(\frac{\ln x}{\ln a} \right) ' = \frac{1}{\ln a}\ln' x = \frac{1}{x\ln a}
\end{equation}
指数函数证明
先证明 $( \mathrm{e} ^x)' = \mathrm{e} ^x$．
由于上面已经证明了 $ \ln'x = 1/x$，而 $ \mathrm{e} ^x$ 是 $\ln x$ 的反函数．所以令 $f(x) = \ln x$，$f'(x) = 1/x$， $f^{ - 1} (x) = \mathrm{e} ^x$，代入反函数的求导法则
\begin{equation}
[f^{-1} (x)]' = \frac{1}{f'[f^{ - 1}(x)]}
\end{equation}
得
\begin{equation}
( \mathrm{e} ^x)' = \frac{1}{1/ \mathrm{e} ^x} = \mathrm{e} ^x
\end{equation}
再证明 $(a^x)' = a^x \ln a$． $(a^x)' = \left[ \left( \mathrm{e} ^{\ln a} \right) ^x \right] ' = \left( \mathrm{e} ^{(\ln a) x} \right) '$．把 $ \mathrm{e} ^{(\ln a) x}$ 看成是 $ \mathrm{e} ^u$ 和 $u = (\ln a) x$ 的复合函数，根据复合函数的求导法则
，$(a^x)' = (\ln a) a^x$