贡献者： _Eden_; addis
预备知识 QED 的重整化理论-电子自能和光子自能的单圈修正
，
Ward-Takahashi 等式
在电子自能和光子自能的单圈修正中，我们对裸拉氏量中的场量进行缩放得到了重整化的拉氏量
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{L} &= Z_2\bar\psi (i\not\partial - m_0)\psi - \frac{1}{4}Z_3 (F^{\mu\nu})^2-e_0Z_2Z_3^{1/2} \bar\psi \gamma^\mu\psi A_\mu\\
&=\bar\psi (iZ_2\not\partial - Z_m m)\psi - \frac{1}{4}Z_3 (F^{\mu\nu})^2-Z_1 e \bar\psi \gamma^\mu\psi A_\mu~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中我们重新定义了 $Z_1e=e_0 Z_2 Z_3^{1/3},Z_m m=Z_2 m_0$，$m,e$ 为物理质量和物理电荷。我们可以在适当的重整化条件下确定各个重整化常数。
1. $Z_1=Z_2$
让我们从 Ward 等式和裸拉氏量出发给出 $Z_1=Z_2$ 的一个证明。考虑两条电子外线、一条光子外线所组成的三点函数
\begin{equation}
k_\mu \mathcal{M}^\mu(k,p,p+k)=e_0(\mathcal{M}^{\mu}(p)- \mathcal{M}^{\mu}(k))~.
\end{equation}
利用三点函数 Feynman 规则（
定理 1 ），并且保留电子外线的正规传播子（它有在壳极点行为），并截去光子外线的正规传播子（也就是直接连在截肢图上，这不影响 Ward 等式的正确性，因为只有直接连在截肢图上才能对 $k_\mu \mathcal{M}^\mu$ 有贡献），将光子外线贡献用 $k_\mu$ 替代。我们总是可以将三点函数的 Feynman 图表示为 QED 正规顶点和两条电子外腿图的组合：
\begin{equation}
k_\mu \mathcal{M}^\mu(k,p,p+k) = S(p+k) [-ie_0k_\mu \Gamma^\mu(p+k,p)] S(p) =e_0[S(p)-S(p+k)]~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
S(p)=iZ_2/(\not p-m+i\epsilon)+(\text{regular term at } p^2=m^2)~
\end{equation}
为电子的正规传播子（两点编时格林函数），$Z_2$ 为裸拉氏量的正规传播子在 $\not p=m$ 处的留数。对
式 3 两边除以 $S(p)S(p+k)$，可以得到
\begin{equation}
-ik_\mu \Gamma^\mu(p+k,p) = [S(p+k)^{-1}-S(p)^{-1}]= -i Z_2^{-1}\not k~.
\end{equation}
根据 LSZ 约化公式（
和
），三点函数所对应的 Feynman 振幅为
\begin{equation}
i\mathcal{M} = Z_2(Z_3)^{1/2}\epsilon_\mu(k)\bar u(p+k)[-ie_0\Gamma^\mu] u(p)=\epsilon_\mu(k)\bar u(p+k)[-i e Z_1\Gamma^\mu] u(p)~.
\end{equation}
由于 $|\mathcal{M}|^2$ 是可观测量，且在非相对论极限下，从上式出发应当正确地得到库仑定律。非相对论极限下的计算告诉我们，在 $k\rightarrow 0$ 的极限下，$Z_1 \Gamma^\mu(k=0) = \gamma^\mu$。代入
式 5 ，我们最终得到
\begin{equation}
-i k_\mu Z_1^{-1} \gamma^\mu = -i Z_2^{-1}\not k~,
\end{equation}
因此
\begin{equation}
Z_1=Z_2~.
\end{equation}
2. 顶点函数的洛伦兹结构
我们常常将 $i\mathcal{M}(e^-(p)\gamma(q)\rightarrow e^-(p'))=\bar u(p') [-ie\Gamma^\mu(p,p')]u(p) \epsilon_\mu(q)$ 称作 QED 的正规顶点，它对应于两条电子外线、一条光子外线的所有截肢费曼图的贡献之和。将 $[-ie\Gamma^\mu(p,p')]$ 称为 QED 的顶点函数，它仍保持着四矢量的洛伦兹结构。
让我们来先分析 $\Gamma^\mu$ 的洛伦兹结构。由于它服从洛伦兹四矢量的变换规则，且是 $4\times 4$ 矩阵，它一定具有以下的形式：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\Gamma^\mu=\gamma^\mu\cdot A + ({p'}^\mu + p^\mu)\cdot B + ({p'}^\mu - p^\mu) \cdot C~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $A,B,C$ 是 Dirac 代数中的元素，可以表示为 $1,\gamma^\mu,\sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2}[\sigma^\mu,\sigma^\nu],\gamma^\mu\gamma^5,\gamma^5$ 这 $16$ 个元素的线性组合，且它们是洛伦兹标量。又因为在旋量 QED 中，任何阶 Feynman 图的任何量中都没有出现 $\gamma^5$，所以我们只有 $1,\not p^{(1)},p_\mu^{(1)} p_\nu^{(2)} \sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2}[\not p^{(1)},\not p^{(2)}]$ 这几种可能。$A,B,C$ 作为洛伦兹标量矩阵，可以由这组基底展开。
现在假设电子外线在壳，$p^2=p'^2=m^2$，那么可以利用 $\bar u(p')(\not p'-m)= (\not p-m)u(p)=0$，将 $A,B,C$ 中所有 $\not p,\not p'$ 都可以被替换为 $m$，如果多个 $\not p,\not p'$ 相乘也可以通过等式 $\not p\not p'=2p\cdot p'-\not p'\not p$ 的方式交换位置最后被替换为单位矩阵。因此最终 $A,B,C$ 可以表示成洛伦兹标量函数乘以单位矩阵的形式。由于外动量只有 $p,p',q=p'-p$，洛伦兹标量一定是关于独立标量 $p^2,{p'}^2,p\cdot p'$ 的函数。$p^2={p'}^2=m^2$ 是常数，$q^2=(p'-p)^2 = -2p'p$，因此 $A,B,C$ 都可以表示为 $q^2$ 的函数。
我们再来考察 Ward 等式（或者规范对称性）对顶点函数的限制。Ward 等式要求
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\qquad\bar u(p')\Gamma^\mu u(p) (p'_\mu-p_\mu) = 0\\
&\Rightarrow \bar u(p')\left[A(q^2)(\not p'-\not p)+ C(q^2)(p'-p)^2\right] u(p)=\bar u(p')C(q^2)q^2 u(p)=0~.
\end{aligned}
\end{equation}
Ward 等式对于不在壳的虚光子也成立，这说明 $C(q^2) = 0$。综合前面的讨论，$\Gamma^\mu$ 可以表示成
\begin{equation}
\begin{aligned}
\Gamma^\mu = \gamma^\mu\cdot A(q^2) + ({p'}^\mu + p^\mu)\cdot B(q^2),\quad p^2=(p')^2=m^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
或者我们也可以利用 Gordon 等式：
\begin{equation}
\bar u(p') \left[\frac{{p'}^\mu+p^\mu}{2m}+\frac{i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m}\right]u(p)=\bar u(p')\gamma^\mu u(p)~.
\end{equation}
可以将
式 11 改写为另一种形式
\begin{equation}
\Gamma^\mu = \gamma^\mu F_1(q^2) + \frac{i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m} F_2(q^2),\quad p^2=(p')^2=m^2~.
\end{equation}
$F_1(q^2) = A+2mB,F_2(q^2)=-2mB$ 被称为 QED 正规顶点的
形状因子。
3. 顶点函数的单圈修正
为了更方便地在 OS 重整化方案下确定拉氏量中的参数，下面我们基于重整化的拉氏量进行讨论。
\begin{equation}
\mathcal{L}=\bar\psi (iZ_2\not\partial - Z_m m)\psi - \frac{1}{4}Z_3 (F^{\mu\nu})^2-Z_1 e \bar\psi \gamma^\mu\psi A_\mu~.
\end{equation}
类似
电子自能和光子自能的单圈修正中的讨论，我们先在 OS 重整化方案下进行讨论，用维数正规化处理发散积分。根据 OS 方案下的重整化条件，我们希望当电子光子外线在壳、且光子四动量为 $0$ 时，有
\begin{equation}
-ie\Gamma^\mu(p,p')|_{q=0,p^2={p'}^2=m^2} = -ie\gamma^\mu~,
\end{equation}
这表明在充分大的空间尺度上测得的物理电荷量为 $e_{\text{ph}}=e$。重整化条件要求 $F_1(q^2=0)=1$，于是我们可以通过圈图修正计算形状因子 $F_1(q^2)$ 来确定重整化常数 $Z_1$。
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad\bar u(p')\Gamma^\mu(p,p')u(p)\\
&=\int\frac{ \,\mathrm{d}^{4}{k} }{(2\pi)^4} \frac{-i g_{\nu\rho}}{(k-p)^2+i\epsilon} \bar u(p')(-ie\gamma^\nu)\frac{i}{\not k+\not q-m+i\epsilon}\gamma^\mu \frac{i}{\not k-m+i\epsilon} (-ie\gamma^\rho) u(p)\\
&\quad+\bar u(p')Z_1\gamma^\mu u(p)\\
&=2ie^2\int\frac{ \,\mathrm{d}^{4}{k} }{(2\pi)^4} \frac{\bar u(p') [\not k \gamma^\mu \not k'+m^2\gamma^\mu - 2m(k+k')^\mu]u(p)}{((k-p)^2+i\epsilon)({k'}^2-m^2+i\epsilon)(k^2-m^2+i\epsilon)} \\
&\quad+ \bar u(p') Z_1 \gamma^\mu u(p) \qquad (k' = k+q)~.
\end{aligned}
\end{equation}
未完成：未完成计算
经过一系列复杂又复杂的计算，我们最终得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_1(q^2)&=Z_1 + \frac{e^2}{(4\pi)^{d/2}}\int \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} \delta(x+y+z-1)\left[\frac{\Gamma(2-d/2)}{\Delta^{2-d/2}}\frac{(2-\epsilon)^2}{2}\right.\\
&\quad\quad\left.+\frac{\Gamma(3-d/2)}{\Delta^{3-d/2}}(q^2[2(1-x)(1-y)-\epsilon xy]+m^2[2(1-4z+z^2)-\epsilon(1-z)^2])
\right]~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\Delta =(1-z)^2m^2+zm_\gamma^2 - xyq^2$。$m_\gamma$ 为引入的光子质量项（存在待处理的红外发散）。因此由重整化条件得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\delta_1 = Z_1-1 = -\frac{e^2}{(4\pi)^{d/2}}\int \,\mathrm{d}{z} (1-z)\left[\frac{\Gamma(2-d/2)}{\Delta_0^{2-d/2}}\frac{(2-\epsilon)^2}{2}\right.\\
&\quad\quad\left.+\frac{\Gamma(3-d/2)}{\Delta_0^{3-d/2}}(q^2[2(1-x)(1-y)-\epsilon xy]+m^2[2(1-4z+z^2)-\epsilon(1-z)^2])
\right]~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\Delta_0 = \Delta|_{q^2=0}$。可以求得紫外发散项
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta_1|_{UV}=-\frac{e^2}{16\pi^2}\int \,\mathrm{d}{z} (1-z) \frac{2}{\epsilon} \cdot 2 = -\frac{e^2}{8\pi^2}\frac{1}{\epsilon}~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此 $\delta_1|_{UV}=\delta_2|_{UV}$。通过复杂的计算可以进一步验证 $\delta_1=\delta_2$，即在单圈阶验证了 $Z_1=Z_2$。
未完成：计算形状因子 $F_1(q^2)$ 和 $F_2(q^2)$。