LSZ 约化公式（矢量场）
贡献者： _Eden_
旋量量子电动力学（Spinor electrodynamics，也简称旋量 QED）是关于电子、正电子和光子的相互作用的量子场论，拉氏量为
\[
\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\not D - m_0)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}~.
\]
其中协变微商 $D_\mu=\partial_\mu+ie_0 A_\mu$，因此拉氏量的相互作用部分为 $\mathcal{L}_{int}=-e_0 A_\mu \bar\psi \gamma^\mu \psi=-e_0 A_\mu j^{\mu}$。自由场的拉氏量则包含了自由 Dirac 场和和自由电磁场这两个部分，它们分别描写了电子、正电子和光子。仿照之前的讨论，我们可以通过统计 Feynman 图的贡献来计算旋量 QED 的 $n$ 点编时格林函数。根据 Wick 定理，费米子线与光子线可以由自由场论的 Feynman 传播子得到，而相互作用顶点需要带上一个 $-ie_0 \gamma^\mu$ 的因子。
前面我们建立了自旋 $0,1/2$ 粒子（分别对应标量场和旋量场）的 LSZ 约化公式。为了描述入态和出态中有光子参与的散射过程，将 S-矩阵同相应的编时格林函数联系起来，我们还需要对自旋 $1$ 的矢量场（也就是电磁场）建立 LSZ 约化公式。
1. 矢量场的 LSZ 约化公式
在讨论自由电磁场时，$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} ,\lambda \right\rangle =a_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(\lambda)\dagger} \left\lvert 0 \right\rangle $ 为归一化的单光子态（我们只考虑物理的偏振态，即不考虑纵向偏振和标量偏振的光子），它与自己的内积 $2E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\delta^3( \boldsymbol{\mathbf{0}} )$ 是一个洛伦兹不变量。对于相互作用场论也存在一系列由量子数 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} ,\lambda$ 刻画的单粒子态，它们由洛伦兹变换相联系。我们有以下关系：
\[
\left\langle \Omega \right\rvert A_\mu(x) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} ,\lambda \right\rangle =\sqrt{Z_3}\epsilon_\mu^{\lambda}(k)e^{-ik\cdot x}~.
\]
则在时间在 $\pm \infty$ 区域矢量场算符可以通过傅里叶变换约化为入射和出射的光子。（下面 $\int_1$ 和 $\int_3$ 分别代表在 $y^0$ 的积分区域在 $t>T^+$ 和 $t< T^-$）
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\epsilon_\mu^{(\lambda)*}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )g_{\lambda\lambda}\int_{ 1} \,\mathrm{d}^{4}{x} e^{ikx} \left\langle \Omega \right\rvert T[A^\mu(x)\cdots] \left\lvert \Omega \right\rangle
\stackrel{k^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}{\sim}
\frac{i\sqrt{Z_3}}{k^2+i\epsilon} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ,\lambda \right\rvert T[\cdots] \left\lvert \Omega \right\rangle
~,\\
&
\epsilon_\mu^{(\lambda)}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )g_{\lambda\lambda}
\int_{3} \,\mathrm{d}^{4}{y} e^{-iky}
\left\langle \Omega \right\rvert T[\cdots A^\mu(y)] \left\lvert \Omega \right\rangle
\stackrel{k^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}{\sim}
\frac{i\sqrt{Z_3}}{k^2+i\epsilon} \left\langle \Omega \right\rvert T[\cdots] \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} ,\lambda \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
经过波包调制后，$n$ 点格林函数的所有矢量场算符就可以被约化为入态和出态，最终就得到了矢量场的 LSZ 约化公式：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\prod_{i}\int \,\mathrm{d}^{4}{x} e^{ik'_ix_i}
\left[\epsilon_{\mu_i}^{(\lambda'_i)*}( \boldsymbol{\mathbf{k}} '_i)g_{\lambda'_i\lambda'_i}\right]
\prod_{j}\int \,\mathrm{d}^{4}{y} e^{-ik_jy_j} \left[\epsilon_{\nu_j}^{(\lambda_j)}( \boldsymbol{\mathbf{k}} _j) g_{\lambda_j\lambda_j}\right]
\left\langle \Omega \right\rvert T[A^{\mu_1}(x_1)A^{\nu_1}(y_1)\cdots] \left\lvert \Omega \right\rangle
\\
&\mapsto \prod_i\frac{i\sqrt{Z_3}}{k_i'^2+i\epsilon}\prod_j \frac{i\sqrt{Z_3}}{k_j^2+i\epsilon} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} '_1,\lambda'_1;\cdots \right\rvert S \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} _1,\lambda_1;\cdots \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\mapsto$ 表示取所有的动量在壳，并且仅仅考察其中最为奇异的多极点部分的贡献。$Z_3$ 是矢量场的场强重整化因子。
将 $n$ 点格林函数微扰展开后每一项可以用一个连通的 Feynman 图表达。可以将外腿的两点函数与截肢图的贡献独立开来，以出射光子为例，外腿部分的两点函数为
\[
\epsilon_\mu^{(\lambda)*}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )g_{\lambda\lambda}\int \,\mathrm{d}^{4}{x} e^{ikx} \left\langle \Omega \right\rvert T[A^\mu(x)A^\nu(0)] \left\lvert \Omega \right\rangle = \epsilon^{\nu(\lambda)}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )\frac{iZ_3}{k^2+i\epsilon}~.
\]
这与 LSZ 约化公式右侧的因子相抵消后，只剩下一个 $\sqrt{Z_3}\epsilon^{ (\lambda)\nu*}$ 的因子。我们将 $\epsilon^{(\lambda)\nu*}$ 记在 Feynman 图外线的贡献里，它代表出射光子的偏振方向；类似地，入射光子对应的外线要带上 $\epsilon^{(\lambda)\mu}$ 的因子。具体地有
- 入射光子：$A^\mu(x) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} ,\lambda \right\rangle =\epsilon^{(\lambda)\mu}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )$。
- 出射光子：$ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',\lambda' \right\rvert A^\nu(x)=\epsilon^{(\lambda)\nu*}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ')$。
最后计算散射过程时只需要统计所有截肢的 Feynman 图的贡献，再带上 $(\sqrt{Z_3})^{n+m}$ 的因子即可（$n+m$ 是光子外线的数量）。