贡献者： _Eden_
1. 编时格林函数的极点行为
我们用分析动量空间编时格林函数的极点行为的方法来推导 LSZ 约化公式。将时间分为三个积分区域 $1,2,3$，先在积分区域 $1$ 中（即 $t>T_+$）对 $\psi(x)$ 傅里叶变换（这里 $\psi(x)$ 是海森堡表象下的场算符）。与标量场不同的是，这里我们将 $\int_{3} \,\mathrm{d}^{4}{x} e^{ipx} u^{s\dagger}( \boldsymbol{\mathbf{p}} )$ 作用于 $\psi(x)$，来将场算符约化为具有特定动量以及自旋的出态。这里的旋量 $u$ 是以物理质量 $m$ 为参数的。
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\int_{1} \,\mathrm{d}^{4}{x} e^{ipx} u^{s\dagger}( \boldsymbol{\mathbf{p}} )\langle \Omega|T[\psi(x)\cdots]|\Omega\rangle\\
=&\int_{T_+}^\infty \,\mathrm{d}{x} ^0 e^{ip^0x^0}\int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } e^{-i \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} } u^{s\dagger}_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )
\sum_{\lambda, s'}\int \frac{ \,\mathrm{d}{3} \boldsymbol{\mathbf{q}} }{(2\pi)^3} \frac{1}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }(\lambda)}\langle \Omega|\psi_\alpha(x)|\lambda_{ \boldsymbol{\mathbf{q}} },s'\rangle \langle \lambda_{ \boldsymbol{\mathbf{q}} },s'| T[\cdots]|\Omega\rangle\\
\stackrel{p^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\sim}
&
\sum_{s'}\int_{T_+}^\infty \,\mathrm{d}{x} ^0 e^{i(p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }(\lambda))x^0}
\frac{1}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }} u^{s\dagger}_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )\langle \Omega|\psi_\alpha(0)| \boldsymbol{\mathbf{0}} ,s',+\rangle\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s',+| T[\cdots]|\Omega\rangle\\
=&\sum_{s'}\frac{i\sqrt{Z_2}}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}\frac{e^{i(p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }+i\epsilon)T_+)}}{(p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }+i\epsilon)} u^{s\dagger}( \boldsymbol{\mathbf{p}} )u^{s'}( \boldsymbol{\mathbf{p}} )\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s',+| T[\cdots]|\Omega\rangle= \frac{i\sqrt{Z_2}}{p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }+i\epsilon} \langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+| T[\cdots]|\Omega\rangle~.
\end{aligned}
\end{equation}
经过相似的推导，共可以得到四组结果，分别对应将场算符约化为入射和出射的费米子或反费米子。
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\int_{ 1} \,\mathrm{d}^{4}{x} e^{ip'x} \bar{u}^{s'}( \boldsymbol{\mathbf{p}} ')\gamma^0\langle \Omega|T[\psi(x)\cdots]|\Omega\rangle
\stackrel{p'^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} '}}{\sim}
\frac{i\sqrt{Z_2}}{p'^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p'}} }+i\epsilon} \langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+| T[\cdots]|\Omega\rangle\\
&
\int_{ 1} \,\mathrm{d}^{4}{y} e^{ik'y} \langle \Omega|T[\bar{\psi}(y)\cdots]|\Omega\rangle \gamma^0 v^{r'}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ')
\stackrel{k'^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}}{\sim}
\frac{i\sqrt{Z_2}}{{k'}^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}+i\epsilon} \langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-| T[\cdots]|\Omega\rangle\\
&
\int_{ 3} \,\mathrm{d}^{4}{z} e^{-ipz}
\langle \Omega|T[\cdots\bar{\psi}(z)]| \Omega\rangle\gamma^0 u^{s}( \boldsymbol{\mathbf{p}} )
\stackrel{p^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\sim}
\frac{i\sqrt{Z_2}}{p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }+i\epsilon} \langle \Omega| T[\cdots]| \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+\rangle\\
&
\int_{ 3} \,\mathrm{d}^{4}{w} e^{-ikw}
\bar{v}^{r}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )\gamma^0\langle \Omega|T[\cdots\psi(w)]| \Omega\rangle
\stackrel{k^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}{\sim}
\frac{i\sqrt{Z_2}}{k^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }+i\epsilon} \langle \Omega| T[\cdots]| \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,-\rangle~.
\end{aligned}
\end{equation}
经过波包调制以后，可以将编时格林函数的场算符划分为两部分，一部分场算符位于无穷远未来，在 $ 1$ 区域，另一部分场算符在 $ 3$ 区域。它们所对应的单粒子态在空间上是间隔很远的，那么就可以被约化为相应的入态和出态。最后得到的入态与出态的内积就是 S-矩阵。最后要注意编时算符作用下交换两个费米子场算符的左右位置时需要改变符号，我们约定多粒子态 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+; \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-;\cdots \right\rvert =- \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-; \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+;\cdots \right\rvert $ 是 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+; \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-;\cdots \right\rangle $ 的共轭。由上述公式最终可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
&
\prod_{i'}\int \,\mathrm{d}^{4}{x_{i'}} e^{ip'_{i'}x_{i'}}
\prod_{j'}\int \,\mathrm{d}^{4}{y_{j'}} e^{ik'_{j'}y_{j'}}
\prod_{i}\int \,\mathrm{d}^{4}{z_{i}} e^{-ip_{i}z_{i}}
\prod_{j}\int \,\mathrm{d}^{4}{w_{j}} e^{-ik_{j}w_{j}}
\\
&
\quad \left[\bar u^{s'_{i'}}( \boldsymbol{\mathbf{p}} '_{i'})\gamma^0\right]_{\alpha}
\left[{\bar v}^{r_j}( \boldsymbol{\mathbf{k}} _{j})\gamma^0\right]_{\delta}
\left\langle \Omega \right\rvert T[\psi_\alpha(x_1)\bar\psi_\beta(y_1)\bar\psi_\gamma(z_1)\psi_\delta(w_1)\cdots] \left\lvert \Omega \right\rangle
\left[\gamma^0 u^{s_i}( \boldsymbol{\mathbf{p}} _{i})\right]_{\gamma} \left[\gamma^0 v^{r'_{j'}}( \boldsymbol{\mathbf{k}} '_{j'})\right]_{\beta}
\\
&
\mapsto
\left(\prod_{i'}\frac{i\sqrt{Z_2}} {{p'_{i'}}^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} '_{i'}}+i\epsilon}\right)
\left(\prod_{j'}\frac{i\sqrt{Z_2}}{{k'_{j'}}^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '_{j'}}+i\epsilon}\right)
\left(\prod_{i}\frac{i\sqrt{Z_2}}{p_i^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} _i}+i\epsilon}\right)
\left(\prod_{j}\frac{i\sqrt{Z_2}}{k_j^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} _j}+i\epsilon}\right)
\\
&
\quad \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-; \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+;\cdots \right\rvert S \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+; \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,-;\cdots \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\mapsto$ 表示取所有的动量在壳，并且仅仅考察其中最为奇异的多极点部分的贡献。$Z_2$ 是旋量场的场强重整化因子。上式还可以等价地写为
\begin{equation}
\begin{aligned}
&
\prod_{i,j,i',j'}
\int \,\mathrm{d}^{4}{x_{i'}} e^{ip'_{i'}x_{i'}}
\int \,\mathrm{d}^{4}{y_{j'}} e^{ik'_{j'}y_{j'}}
\int \,\mathrm{d}^{4}{z_{i}} e^{-ip_{i}z_{i}}
\int \,\mathrm{d}^{4}{w_{j}} e^{-ik_{j}w_{j}}
\\
&
\quad \bar u^{s'_{i'}}( \boldsymbol{\mathbf{p}} '_{i'})(i\not \partial_{x_{i'}}-m) \bar v^{r_{j}}( \boldsymbol{\mathbf{k}} _{j})(i\not \partial_{w_{j}}-m)
\left\langle \Omega \right\rvert T[\psi(x_1)\bar\psi(y_1)\bar\psi(z_1)\psi(w_1)\cdots] \left\lvert \Omega \right\rangle \\
&
\quad (-i\overleftarrow{\not \partial}_{z_i} -m )u^{s_i}( \boldsymbol{\mathbf{p}} _i) (-i\overleftarrow{\not \partial}_{y_{j'}}-m) v^{r'_{j'}}( \boldsymbol{\mathbf{k}} '_{j'})
\\
&
\mapsto
(i\sqrt{Z_2})^{4+\cdots} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-; \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+;\cdots \right\rvert S \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+; \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,-;\cdots \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
可以对上式作分部积分将 $\not\partial$ 算子替换为 $\not p$，来验证上面的两个 LSZ 约化公式的等价性。