QED的费曼规则
贡献者： _Eden_
这一节我们研究编时格林函数 $ \left\langle \Omega \right\rvert T[\psi(x)\bar\psi(y)A_\mu(z) \cdots ] \left\lvert \Omega \right\rangle $ 的费曼图表示，费曼图是计算编时格林函数及场论的其他量的有力的工具。
1. $n$ 点格林函数的费曼图表示
QED 的 $n$ 点格林函数 $ \left\langle \Omega \right\rvert T[\psi(x)\bar\psi(y)A_\mu(z) \cdots] \left\lvert \Omega \right\rangle $ 可以通过相互作用绘景与自由场的格林函数相联系，再利用 QED 的 Wick 定理，我们可以求得 $n$ 点格林函数在动量空间的费曼图表示。
定理 1 旋量 QED 的 Feynman 规则（动量空间）
- 画出所有连通的费曼图。
- 给每一个传播子一个四动量，并在每个顶点要求动量守恒。
- 每个相互作用顶点有一个指标 $\mu\in\{0,1,2,3\}$。每个光子外线所对应的外点也有一个指标 $\mu$。
- 对于动量为 $p$ 的费米子传播子，写下：$\frac{i(\not p+m_0)}{p^2-m_0^2 + i\epsilon}$。
- 对于动量为 $q$、两端矢量指标为 $\mu,\nu$ 的光子传播子，写下：$\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$。
- 对于相互作用顶点，写下：$-ie\gamma^\mu$；
-
对所有未知动量积分。
-
考察每个图中由于费米统计所可能造成的符号，例如一个费米子圈总会贡献一个负号。
2. S-矩阵元的费曼图表示
预备知识 LSZ 约化公式（旋量场）
，LSZ 约化公式（矢量场）
当外线的动量在壳时，外腿存在极点行为，而 $n$ 点格林函数的最奇异的多极点部分对 S-矩阵元有贡献。因此当我们计算 Feynman 矩阵元时，我们需要对连通的 Feynman 图进一步截肢，来消去外腿的极点。这是 LSZ 约化公式告诉我们的。
QED 是一个关于旋量、矢量场的相互作用理论。对旋量场、矢量场的 Wick 定理与 LSZ 约化公式作一个整理和总结，我们最终得到了旋量 QED 的 Feynman 规则：$i\mathcal{M}$ 可以由以下方式微扰计算：
定理 2 旋量 QED 的 Feynman 规则（动量空间）
- 画出所有连通的、截肢的费曼图。
- 给每一个传播子一个四动量，并在每个顶点要求动量守恒。
- 对于动量为 $p$ 的费米子传播子，写下：$\frac{i(\not p+m_0)}{p^2-m_0^2 + i\epsilon}$。
- 对于动量为 $q$、两端矢量指标为 $\mu,\nu$ 的光子传播子，写下：$\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$。
- 对于相互作用顶点，写下：$-ie\gamma^\mu$；
- 对于外线的费米子和反费米子，写下它们对应的旋量：
\begin{align*}
&\overset{1}{\psi}\overset{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+ \right\rangle }=u^s( \boldsymbol{\mathbf{p}} ),\quad \overset{1}{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+ \right\rvert } \overset{1}{\bar\psi}=\bar u^{s'}( \boldsymbol{\mathbf{p}} ')~,\\
&\overset{1}{\bar\psi}\overset{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,- \right\rangle }=v^{r}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ),\quad \overset{1}{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',- \right\rvert } \overset{1}{\psi}=\bar v^{r'}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ')~.
\end{align*}
- 对于外线的光子，写下它们对应的偏振矢量：
\[
\overset{1}{A^\mu}(x) \overset{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} ,\lambda \right\rangle }=\epsilon^{(\lambda)\mu}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ),\quad \overset{1}{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',\lambda' \right\rvert }\overset{1}{A^\nu}(x)=\epsilon^{(\lambda)\nu*}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ')~.
\]
-
对所有未知动量积分。
-
考察每个图中由于费米统计所可能造成的符号，例如一个费米子圈总会贡献一个负号。
未完成：规范场传播子的 $R_\xi$ 规范
不同 $\xi$ 规范下的光子传播子是不同的，不过后面我们将通过 Ward 等式证明 S-矩阵和选取的 $\xi$ 是无关的。