幂运算与幂函数（高中）

贡献者：欄、停敘

预备知识 1　函数，函数的性质

　　在初中阶段，已经学过的几类典型的函数形式：正比例函数 $f(x) = ax$、反比例函数 $\displaystyle f(x) = \frac{k}{x}$ 和二次函数 $f(x) = ax^2+bx+c$，其实都是幂函数组合得到的特例。可以这么说，幂函数是初中唯一接触过的函数。在高中阶段，将扩展这些知识，进一步研究幂函数的更一般形式。

1. 实数域下的幂运算

　　幂函数的定义是基于幂运算的。幂运算是继加法、减法、乘法和除法之后的另一种重要的数学运算。

定义 1　幂运算

　　形如

\begin{equation} a^b=c~. \end{equation}

的运算：

　　在研究 c 与 a 的关系时称为幂运算（power operation，或乘方运算），其中 a 称为底数（base），b 称为指数（powe，指数运算中一般称 Exponent），c 称为幂值（Exponential Value），要求 $a,b$ 不同时为 $0$。$b=2$ 时称为平方，$b=3$ 时称为立方，$\displaystyle b=\frac{1}{2}$ 时称为开方，$b=-1$ 时称为倒数。

　　在研究 c 与 b 的关系时称为指数运算（exponentiation），此时 c 称为真数（argument），要求 $a>0,a\neq1$。

　　尽管有两个名字，但他们是同一种运算，只是关注点不同。

　　为了逻辑一致性，幂运算在实数内的合法范围要求如下：

$0$ 当分母的运算是非法的，因此，幂运算要求 $0^{-k},k\in \mathbb{N}$ 时不存在。
在实数域上负数的偶数次方根均无意义，因此，幂运算要求 $\displaystyle(-x)^\frac{1}{2k}$，在 $k\in \mathbb{N},x\in\mathbb{R}^+$ 时不存在。
在实数域上负数的无理数次幂不存在，因此，幂运算要求 $\displaystyle(-x)^q$，在 $q\text{为无理数},x\in\mathbb{R}^+$ 时不存在¹。

　　最开始的时候，形如 $a^b$ 幂运算用来表示一个数 $a$ 自乘 $b$ 次，或者说 $b$ 个 $a$ 相乘，这也是初中学过的含义。这时的 $a$ 可以是任何数，但 $b$ 却只能是自然数。然而，就像形如 $a\times b$ 乘法运算最开始表示的是 $b$ 个 $a$ 相加一样，随着扩展 $b$ 的取值范围，也就是给不同类型的 $b$ 给予不同的含义，幂运算包含了一些其他内容。扩展后指数部分可以是任意实数。如果尚不了解原理或感到陌生，直接默认其成立熟练使用即可，下面的运算均要求合法的前提下进行：

定理 1　幂运算法则

分数次幂：$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \quad a \geq 0$
负次幂：$\displaystyle a^{-1}=\frac{1}{a},a\neq0$
零次幂：$a^0=1,a\neq0$
一次幂：$a^1=a$
积的幂：$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
拆分指数的和：$a^{m+n}=a^m \cdot a^n$
拆分指数的积：$a^{m \cdot n}= (a^m)^n =(a^n)^m $

　　这里独立说一下正实数的无理数次幂，它的定义是由极限得到的。如果有两列数字分别为 $p_i,q_i$，满足对任意的 $i$ 都有 $p_i< b< q_i$，如果随着 $i$ 增加 $a^{p_i},a^{q_i}$ 之间的区别越来越小，直至二者几乎相等，那么就认为 $a^b$ 就是那个确定的实数。这里采用了比较模糊的表述，在高中教材中也是如此描述。它实际上反映了极限运算的本质。此处参照例 1 有一个感性认识就可以。

例 1　求 $2^\pi$

　　已知 $3.1<\pi<3.2$，$3.14<\pi<3.15$，$3.141<\pi<3.142$，$3.1415<\pi<3.1416$……随着精度的增加，两边的数值都更接近 $\pi$。从而，$2^{3.1}<2^\pi<2^{3.2}$，$2^{3.14}<2^\pi<2^{3.15}$，$2^{3.141}<2^\pi<2^{3.142}$，$2^{3.1415}<2^\pi<2^{3.1416}$……两侧的数值也逐渐相等，于是那个最终相等的实数就是 $2^\pi$。

2. 幂函数

　　将指数作为参数，底数作为自变量的函数就称为幂函数，幂函数的名称指的就是自变量的幂次是函数值，注意不要与指数函数相混淆。

定义 2　幂函数

　　形如

\begin{equation} f(x) = x^a~. \end{equation}

的函数称作幂函数（Power function），其中 $a\in\mathbb R$。

　　 $a$ 会影响函数的性质的各个方面，在学习时需要时刻注意。

　　由于幂函数的样式很多，直接研究每个具体的形式会很混乱。但对 $y=x^a$，在 $x>0$ 时，总是有定义的，而且此时 $y$ 一定为正。因此，函数一定会在第一象限有图象。本文会先讨论定义域以及奇偶性，奠定好研究基础，然后再专注研究其在第一象限的规律。这也反映了一般分析函数的过程。

3. 定义域与奇偶性

　　下面的讨论，若 $a\in\mathbb{Q}$ 则以 $\displaystyle a=\frac{n}{m}$（$n,m$ 互质，$m>0$）的形式进行。

定义域

　　通常来讲，幂函数的定义域是 $x\in\mathbb{R}$，根据前面提到的幂运算非法情况，定义域需要调整：

$n\leq0$ 时，幂函数的定义域为 $({-\infty},0)\cup(0,{+\infty})$。
${m}$ 为偶数时，幂函数的定义域为 $[0,{+\infty})$。
$a$ 为无理数时，幂函数的定义域为 $[0,{+\infty})$。

　　在正式的研究开始之前，还需要先提及一个特例，当 $a = 0$ 时，幂函数会退化为常值函数 $f(x) = 1(x\neq0)$，该函数在所有非 $0$ 处值恒为 $1$，图像是一个在 $0$ 处无定义的水平直线。它是在定义域上恒为正的偶函数。

　　这里有必要讨论一下 $0^0$。严格来说，$0^0$ 在高中阶段是未定义的，但在大部分场合（例如幂级数展开）会默认其值为 $1$。事实上，如果从幂运算的最基础定义来讲，一般会先定义 $0^0=1$ 来保证归纳得到的其他幂次不会出现多余的参数。这里也可以理解为，幂运算是比指数运算更底层的运算，因此要优先保证幂运算 $x^0=1$ 成立，而非 $0^x=0$ 成立。

奇偶性

　　根据定义域的讨论，只有 $m$ 为奇数时，定义域才是关于 $0$ 对称的，因此，针对奇偶性的讨论将会在 $m$ 是奇数的前提下进行。

　　由幂运算的定义始终有 $(-x)^2=x^2,(-x)^1=-(x)^1$，即 $a=2$ 时是偶函数，$a=1$ 时是奇函数。下面以此为基础讨论其他形式的幂次的奇偶性：

若 $a$ 为正整数，则取 $a=2k+b$，$k$ 为任意自然数，$b=0$ 时 $a$ 为偶数，$b=1$ 时 $a$ 为奇数。从而 $(-x)^{2k+b}=(-1)^b(x)^{2k+b}$，结果取决于 $b$ 的取值。代入可知，$a$ 为偶数时是偶函数，$a$ 为奇数时是奇函数。
若 $a$ 为负整数，则取 $t=x^{-1}$，有 $x^a=t^{|a|}$，结论与上一条相同。
若 $a$ 为分数，则取 $t=x^\frac{1}{m}$，有 $x^\frac{n}{m}=t^{n}$，结论与之前两条相同。

　　整理一下，幂函数的奇偶性分为三种情况：

偶函数：$n$ 是偶数，$m$ 是奇数。
奇函数：$n$ 是奇数，$m$ 是奇数。
非奇非偶：$m$ 是偶数或 $a$ 为无理数。

　　事实上，这也是奇偶性名称最直观的体现，它与 $n$ 的奇偶性相同。$n=0$ 时也符合这里的条件。

　　总结本章的内容可知，幂函数的形态与 $n,m$ 是否同号以及奇偶关系有关，因此在遇到幂函数时，首先要关注的就是这两个数字的性质。

4. 在第一象限的幂函数

　　在第一象限时，$x>0$。后面的讨论是在这个基础上的。根据 $x^a$ 运算的性质，在 $a>0$ 时满足：

$x>1\implies x^a>1$
$0< x<1\implies 0< x^a<1$

单调性

　　对于 $f(x)=x^a$，任取 $x_1>x_2$，则平均变化率为

\begin{equation} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{(x_2)^a\left(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^a-1\right)}{(x_1-x_2)}~. \end{equation}

　　由于式 3 中的分母和 $(x_2)^a$ 为正，因此讨论 $\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^a$ 与 $1$ 的关系。设 $\displaystyle p=\frac{x_1}{x_2}$，由于 $x_1>x_2$，可知 $p>1$。从而，$a>0$ 时，$p^a>1$，$a<0$ 时，$\displaystyle p^a=\left(\frac{1}{p}\right)^{|a|}<1$。

　　综上，$a>0$ 时，式 3 的值大于 $0$，函数在第一象限是递增的；反之 $a<0$ 时，函数则是递减的。

不同的 $a$ 的函数图象的关系

　　当 $a_1>a_2$ 时，有 $a_1-a_2>0$。此时，对 $x>1$，有 $x^{a_1-a_2}>1$，即 $\displaystyle \frac{x^{a_1}}{x^{a_2}}>1$，由于在第一象限 $x^{a_2}>0$，从而有 $x^{a_1}>x^{a_2}$；同理，对 $0< x<1$，$x^{a_1}< x^{a_2}$。

　　形象地来说，在第一象限内，如果在 $x=1$ 的右侧从下到上画一条垂线，则会先穿过 $a$ 值较小的函数图象，后穿过 $a$ 值较大的函数图象；在 $x=1$ 的左侧从下到上画一条垂线，则会先穿过 $a$ 值较大的函数图象，后穿过 $a$ 值较小的函数图象。

其他性质

　　将定义域限定在 $(0,+\infty)$ 时，由于 $\displaystyle(x^a)^{\frac{1}{a}}=x$，所以 $\displaystyle x^{\frac{1}{a}}$ 与 $x^a$ 互为反函数。也即二者的图象关于 $y=x$ 对称，而这条对称轴本身也是 $a=1$ 的情况，即它与自身互为反函数。

　　顺便一提，有两个特殊的局部：$x$ 在 $0$ 附近时，如果 $a>0$，则 $x^a$ 趋于 $0$，如果 $a<0$，则 $x^a$ 趋于无穷。当 $x$ 趋向于无穷时，如果 $a>0$，则 $x^a$ 趋于无穷，如果 $a<0$，则 $x^a$ 趋于 $0$。这是根据幂运算的性质得到的。关于 “趋于”、“无穷”、“附近” 这三个词，现在只需要有一个感性的理解就可以了，它是符合几何直观的。关于这三个词的具体内涵，会在大学阶段学习。

第一象限图像总结

　　把前面的分析组合起来考虑，如果将第一象限以 $x=1,y=x,y=1$ 三条线分成六个区域。这三条线的交点是 $(1,1)$，由于不论 $a$ 取何值，$1^a=1$，因而幂函数一定会过点 $(1,1)$。如果将 $x=1,y=x$ 之间大于 $1$ 的部分记作区域 $\rm{I}$，则可顺时针得到 $\rm{I, II, III, IV, V, VI}$ 一共六个区域：

*²$a\to+\infty$ 时，幂函数像一条折线，在 $(0,1)$ 上为 $0$，在 $1$ 处突然变为 $x=1$，之后都没有定义了（因为是无穷）。
$a>1$ 时，幂函数通过区域 $\rm{I,IV}$
$a=1$ 时，幂函数为 $y=x$
$0< a<1$ 时，幂函数通过区域 $\rm{II,V}$
$a=0$ 时，幂函数为 $y=1,(x\neq0)$
$a<0$ 时，幂函数通过区域 $\rm{III,VI}$
*$a\to-\infty$ 时，幂函数像一条折线，在 $1$ 处为 $x=1$，在 $(1,+\infty)$ 上为 $0$，之前都没有定义了（因为是无穷）。

　　函数是光滑的，并且 $|a|$ 越大，越会靠近直线 $x=1$，$|a|$ 越小，越会靠近直线 $y=1$。全部画在一起时如图 1 展示了幂函数 $f(x) = x^a$ 第一象限的函数图象。

图 1：实参数的幂函数（相同颜色的函数互为反函数）

　　之前说过，幂函数的图像有规律，但很复杂。现在终于将所有的规律都探索完毕了。还有最后一步就是针对一个具体的表达式，在画出第一象限、分析定义域和奇偶性的基础上，补全其他象限的图。没有必要一次全都列出，因此以一道习题为例进行演示，你也可以自己试试。

习题 1　描述 $f(x)=x^{-\frac{4}{5}}$ 的图像

　　解：

　　根据前面的分析，$n=-4,m=5,a<0$，所以函数的定义域是 $({-\infty},0)\cup(0,{+\infty})$，是偶函数，函数图像关于 $y$ 轴对称。在第一象限的区域 $\rm{III,VI}$ 中，即在 $(0,1)$ 区间内的图像在 $y=1$ 上方，在 $(1,+\infty)$ 区间内的图像在 $y=1$ 下方。在 $(0,{+\infty})$ 上递减，在 $({-\infty},0)$ 上递增。是两条分别过点 $(-1,1),(1,1)$ 的光滑曲线。（*在 $0$ 两侧函数趋于无穷，在无穷处函数值趋于 $0$。）

**5. *复数域扩展**

预备知识 2　复数，三角函数

　　在实数域上，无理数次幂和偶次方根只定义在正数上。因此，函数只在第一象限有图象，但是根据欧拉公式，引入复数后将函数拓展到复数域中可以有一些新知，下面略窥这些新想法。请注意，下面的内容在高中阶段完全不需要理解，甚至在本科基础阶段都不会涉及。此处给出只是为了扩展视野，如果想要具体了解需要学习复变函数。

　　首先，不加证明地给出欧拉公式³：

定理 2　欧拉公式

\begin{equation} \forall x\in\mathbb{R}, \cos\left(x\right) + \mathrm{i} \sin\left(x\right) =e^{ \mathrm{i} x} ~. \end{equation}

　　注意到，等号左侧是一个模为 $1$ 的复数。因此，任意复数可以表示为 $z = r (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)$，称 $r$ 是复数 $z$ 的模，$\theta$ 是复数与实轴的夹角，称为辐角，由于正弦与余弦都是周期函数，所以 $\theta+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$ 都是辐角，称呼 $\theta\in[0,2\pi)$ 为辐角主值。于是，通过欧拉公式有复数的指数形式：

\begin{equation} z = r e^{ \mathrm{i} (\theta+2k\pi)},k\in\mathbb{Z}~. \end{equation}

　　由于 $-x$ 的辐角为 $\pi$，模为 $|x|$，将 $-x$ 写成指数形式为：

\begin{equation} -x = |x| e^{ \mathrm{i} \pi(1+2k)},k\in\mathbb{Z}~. \end{equation}

负数偶次方根的情况

　　假设要计算负负实数的偶次方根 $(-x)^{\frac{1}{4}},x>0$，使用幂运算公式：

\begin{equation} \displaystyle (-x)^{\frac{1}{4}} = \left( |x| e^{ \mathrm{i} \pi(1+2k)} \right)^{\frac{1}{4}} =|x|^{\frac{1}{4}} \cdot e^{ \mathrm{i} \pi\frac{1+2k}{4}}=|x|^{\frac{\pi}{4}} \cos\left(\frac{1+2k}{4}\pi\right) + \mathrm{i} |x|^{\frac{\pi}{4}} \sin\left(\frac{1+2k}{4}\pi\right) ,k\in\mathbb{Z}~. \end{equation}

　　由于正、余弦函数的周期性，与无理数部分不同，这只会产生四个不同的解，分别为：

$\displaystyle k = 0,\quad |x|^{\frac{1}{4}} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) = |x|^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 + \mathrm{i} \right)$
$\displaystyle k = 1,\quad |x|^{\frac{1}{4}} \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) = |x|^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \left( -1 + \mathrm{i} \right)$
$\displaystyle k = 2,\quad |x|^{\frac{1}{4}} \left( \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \right) = |x|^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \left( -1 - \mathrm{i} \right)$
$\displaystyle k = 3,\quad |x|^{\frac{1}{4}} \left( \cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4} \right) = |x|^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - \mathrm{i} \right)$

　　其实，有理数次幂函数 $x^{n/m}$（$x\in \mathbb R$，$n$ 为整数，$m$ 为正整数）总是有 $m$ 个可能的值

\begin{equation} x^{n/m} = \left\{\begin{aligned} & \left\lvert x^n \right\rvert ^{1/m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} 2\pi k/m} & (x^n > 0)\\ & \left\lvert x^n \right\rvert ^{1/m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} 2\pi (k+1/2)/m} & (x^n < 0) \end{aligned}\right. \qquad (k = 0,1,\dots, m-1)~. \end{equation}

无理数次幂

　　假设要计算负实数的无理数（$\pi$）次幂 $(-x)^\pi,(x>0)$，使用幂运算公式：

\begin{equation} (-x)^\pi = \left( |x| e^{ \mathrm{i} \pi(1+2k)} \right)^\pi =|x|^\pi \cdot e^{ \mathrm{i} \pi^2(1+2k)}=|x|^\pi \cos\left(\pi^2(1+2k)\right) + \mathrm{i} |x|^\pi \sin\left(\pi^2(1+2k)\right) ,k\in\mathbb{Z}~. \end{equation}

　　可以看出，负实数的 $\pi$ 次幂是复数，且由于 $\pi^2(1+2k)$ 与正、余弦函数的周期 $2\pi$ 之比并非有理数，这使得得到的复数有无穷多个。其他无理数次幂也依此计算。事实上，在这样的观点下，正实数的无理数次幂，除了幅角主值对应的是一个实数之外，其余的都是复数。

　　上面的内容带你对复变函数初窥门径，希望能够让你感受到数学的魅力。

1. ^ 这里会在子节 5 给出说明
2. ^ 这里的两个与无穷相关的内容，给出只是作为参考，事实上这时已经不在函数的范畴内了。
3. ^ 如果代入 $x=\pi$，则会得到恒等式 $e^{i\pi}+1=0$，这被很多人称为数学中最优美的等式之一。