幂运算与幂函数（高中）

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预备知识 1　函数，函数的性质

　　在初中阶段，已经学过的几类典型的函数形式：正比例函数 $f (x) = a x$ 、反比例函数 $f (x) = \frac{k}{x}$ 和二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，其实都是幂函数组合得到的特例。可以这么说，幂函数是初中唯一接触过的函数。在高中阶段，将扩展这些知识，进一步研究幂函数的更一般形式。

1. 实数域下的幂运算

　　幂函数的定义是基于幂运算的。幂运算是继加法、减法、乘法和除法之后的另一种重要的数学运算。

定义 1　幂运算

　　形如

\begin{matrix} (1) & a^{b} = c . \end{matrix}

的运算：

　　在研究 c 与 a 的关系时称为幂运算（power operation，或乘方运算），其中 a 称为底数（base），b 称为指数（powe，指数运算中一般称 Exponent），c 称为幂值（Exponential Value），要求 $a, b$ 不同时为 $0$ 。 $b = 2$ 时称为平方， $b = 3$ 时称为立方， $b = \frac{1}{2}$ 时称为开方， $b = - 1$ 时称为倒数。

　　在研究 c 与 b 的关系时称为指数运算（exponentiation），此时 c 称为真数（argument），要求 $a > 0, a \neq 1$ 。

　　尽管有两个名字，但他们是同一种运算，只是关注点不同。

　　为了逻辑一致性，幂运算在实数内的合法范围要求如下：

$0$ 当分母的运算是非法的，因此，幂运算要求 $0^{- k}, k \in N$ 时不存在。
在实数域上负数的偶数次方根均无意义，因此，幂运算要求 $(- x)^{\frac{1}{2 k}}$ ，在 $k \in N, x \in R^{+}$ 时不存在。
在实数域上负数的无理数次幂不存在，因此，幂运算要求 $(- x)^{q}$ ，在 $q 为无理数, x \in R^{+}$ 时不存在¹。

　　最开始的时候，形如 $a^{b}$ 幂运算用来表示一个数 $a$ 自乘 $b$ 次，或者说 $b$ 个 $a$ 相乘，这也是初中学过的含义。这时的 $a$ 可以是任何数，但 $b$ 却只能是自然数。然而，就像形如 $a \times b$ 乘法运算最开始表示的是 $b$ 个 $a$ 相加一样，随着扩展 $b$ 的取值范围，也就是给不同类型的 $b$ 给予不同的含义，幂运算包含了一些其他内容。扩展后指数部分可以是任意实数。如果尚不了解原理或感到陌生，直接默认其成立熟练使用即可，下面的运算均要求合法的前提下进行：

定理 1　幂运算法则

分数次幂： $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} a \geq 0$
负次幂： $a^{- 1} = \frac{1}{a}, a \neq 0$
零次幂： $a^{0} = 1, a \neq 0$
一次幂： $a^{1} = a$
积的幂： $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$
拆分指数的和： $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$
拆分指数的积： $a^{m \cdot n} = (a^{m})^{n} = (a^{n})^{m}$

　　这里独立说一下正实数的无理数次幂，它的定义是由极限得到的。如果有两列数字分别为 $p_{i}, q_{i}$ ，满足对任意的 $i$ 都有 $p_{i} < b < q_{i}$ ，如果随着 $i$ 增加 $a^{p_{i}}, a^{q_{i}}$ 之间的区别越来越小，直至二者几乎相等，那么就认为 $a^{b}$ 就是那个确定的实数。这里采用了比较模糊的表述，在高中教材中也是如此描述。它实际上反映了极限运算的本质。此处参照例 1 有一个感性认识就可以。

例 1　求 $2^{π}$

　　已知 $3.1 < π < 3.2$ ， $3.14 < π < 3.15$ ， $3.141 < π < 3.142$ ， $3.1415 < π < 3.1416$ ……随着精度的增加，两边的数值都更接近 $π$ 。从而， $2^{3.1} < 2^{π} < 2^{3.2}$ ， $2^{3.14} < 2^{π} < 2^{3.15}$ ， $2^{3.141} < 2^{π} < 2^{3.142}$ ， $2^{3.1415} < 2^{π} < 2^{3.1416}$ ……两侧的数值也逐渐相等，于是那个最终相等的实数就是 $2^{π}$ 。

2. 幂函数

　　将指数作为参数，底数作为自变量的函数就称为幂函数，幂函数的名称指的就是自变量的幂次是函数值，注意不要与指数函数相混淆。

定义 2　幂函数

　　形如

\begin{matrix} (2) & f (x) = x^{a} . \end{matrix}

的函数称作幂函数（Power function），其中

a \in R

。

　　 $a$ 会影响函数的性质的各个方面，在学习时需要时刻注意。

　　由于幂函数的样式很多，直接研究每个具体的形式会很混乱。但对 $y = x^{a}$ ，在 $x > 0$ 时，总是有定义的，而且此时 $y$ 一定为正。因此，函数一定会在第一象限有图象。本文会先讨论定义域以及奇偶性，奠定好研究基础，然后再专注研究其在第一象限的规律。这也反映了一般分析函数的过程。

3. 定义域与奇偶性

　　下面的讨论，若 $a \in Q$ 则以 $a = \frac{n}{m}$ （ $n, m$ 互质， $m > 0$ ）的形式进行。

定义域

　　通常来讲，幂函数的定义域是 $x \in R$ ，根据前面提到的幂运算非法情况，定义域需要调整：

$n \leq 0$ 时，幂函数的定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 。
$m$ 为偶数时，幂函数的定义域为 $[0, + \infty)$ 。
$a$ 为无理数时，幂函数的定义域为 $[0, + \infty)$ 。

　　在正式的研究开始之前，还需要先提及一个特例，当 $a = 0$ 时，幂函数会退化为常值函数 $f (x) = 1 (x \neq 0)$ ，该函数在所有非 $0$ 处值恒为 $1$ ，图像是一个在 $0$ 处无定义的水平直线。它是在定义域上恒为正的偶函数。

　　这里有必要讨论一下 $0^{0}$ 。严格来说， $0^{0}$ 在高中阶段是未定义的，但在大部分场合（例如幂级数展开）会默认其值为 $1$ 。事实上，如果从幂运算的最基础定义来讲，一般会先定义 $0^{0} = 1$ 来保证归纳得到的其他幂次不会出现多余的参数。这里也可以理解为，幂运算是比指数运算更底层的运算，因此要优先保证幂运算 $x^{0} = 1$ 成立，而非 $0^{x} = 0$ 成立。

奇偶性

　　根据定义域的讨论，只有 $m$ 为奇数时，定义域才是关于 $0$ 对称的，因此，针对奇偶性的讨论将会在 $m$ 是奇数的前提下进行。

　　由幂运算的定义始终有 $(- x)^{2} = x^{2}, (- x)^{1} = - (x)^{1}$ ，即 $a = 2$ 时是偶函数， $a = 1$ 时是奇函数。下面以此为基础讨论其他形式的幂次的奇偶性：

若 $a$ 为正整数，则取 $a = 2 k + b$ ， $k$ 为任意自然数， $b = 0$ 时 $a$ 为偶数， $b = 1$ 时 $a$ 为奇数。从而 $(- x)^{2 k + b} = (- 1)^{b} (x)^{2 k + b}$ ，结果取决于 $b$ 的取值。代入可知， $a$ 为偶数时是偶函数， $a$ 为奇数时是奇函数。
若 $a$ 为负整数，则取 $t = x^{- 1}$ ，有 $x^{a} = t^{| a |}$ ，结论与上一条相同。
若 $a$ 为分数，则取 $t = x^{\frac{1}{m}}$ ，有 $x^{\frac{n}{m}} = t^{n}$ ，结论与之前两条相同。

　　整理一下，幂函数的奇偶性分为三种情况：

偶函数： $n$ 是偶数， $m$ 是奇数。
奇函数： $n$ 是奇数， $m$ 是奇数。
非奇非偶： $m$ 是偶数或 $a$ 为无理数。

　　事实上，这也是奇偶性名称最直观的体现，它与 $n$ 的奇偶性相同。 $n = 0$ 时也符合这里的条件。

　　总结本章的内容可知，幂函数的形态与 $n, m$ 是否同号以及奇偶关系有关，因此在遇到幂函数时，首先要关注的就是这两个数字的性质。

4. 在第一象限的幂函数

　　在第一象限时， $x > 0$ 。后面的讨论是在这个基础上的。根据 $x^{a}$ 运算的性质，在 $a > 0$ 时满足：

$x > 1 ⟹ x^{a} > 1$
$0 < x < 1 ⟹ 0 < x^{a} < 1$

单调性

　　对于 $f (x) = x^{a}$ ，任取 $x_{1} > x_{2}$ ，则平均变化率为

\begin{matrix} (3) & \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = \frac{(x_{2})^{a} ({(\frac{x_{1}}{x_{2}})}^{a} - 1)}{(x_{1} - x_{2})} . \end{matrix}

　　由于式 3 中的分母和 $(x_{2})^{a}$ 为正，因此讨论 ${(\frac{x_{1}}{x_{2}})}^{a}$ 与 $1$ 的关系。设 $p = \frac{x_{1}}{x_{2}}$ ，由于 $x_{1} > x_{2}$ ，可知 $p > 1$ 。从而， $a > 0$ 时， $p^{a} > 1$ ， $a < 0$ 时， $p^{a} = {(\frac{1}{p})}^{| a |} < 1$ 。

　　综上， $a > 0$ 时，式 3 的值大于 $0$ ，函数在第一象限是递增的；反之 $a < 0$ 时，函数则是递减的。

不同的 $a$ 的函数图象的关系

　　当 $a_{1} > a_{2}$ 时，有 $a_{1} - a_{2} > 0$ 。此时，对 $x > 1$ ，有 $x^{a_{1} - a_{2}} > 1$ ，即 $\frac{x^{a_{1}}}{x^{a_{2}}} > 1$ ，由于在第一象限 $x^{a_{2}} > 0$ ，从而有 $x^{a_{1}} > x^{a_{2}}$ ；同理，对 $0 < x < 1$ ， $x^{a_{1}} < x^{a_{2}}$ 。

　　形象地来说，在第一象限内，如果在 $x = 1$ 的右侧从下到上画一条垂线，则会先穿过 $a$ 值较小的函数图象，后穿过 $a$ 值较大的函数图象；在 $x = 1$ 的左侧从下到上画一条垂线，则会先穿过 $a$ 值较大的函数图象，后穿过 $a$ 值较小的函数图象。

其他性质

　　将定义域限定在 $(0, + \infty)$ 时，由于 $(x^{a})^{\frac{1}{a}} = x$ ，所以 $x^{\frac{1}{a}}$ 与 $x^{a}$ 互为反函数。也即二者的图象关于 $y = x$ 对称，而这条对称轴本身也是 $a = 1$ 的情况，即它与自身互为反函数。

　　顺便一提，有两个特殊的局部： $x$ 在 $0$ 附近时，如果 $a > 0$ ，则 $x^{a}$ 趋于 $0$ ，如果 $a < 0$ ，则 $x^{a}$ 趋于无穷。当 $x$ 趋向于无穷时，如果 $a > 0$ ，则 $x^{a}$ 趋于无穷，如果 $a < 0$ ，则 $x^{a}$ 趋于 $0$ 。这是根据幂运算的性质得到的。关于 “趋于”、“无穷”、“附近” 这三个词，现在只需要有一个感性的理解就可以了，它是符合几何直观的。关于这三个词的具体内涵，会在大学阶段学习。

第一象限图像总结

　　把前面的分析组合起来考虑，如果将第一象限以 $x = 1, y = x, y = 1$ 三条线分成六个区域。这三条线的交点是 $(1, 1)$ ，由于不论 $a$ 取何值， $1^{a} = 1$ ，因而幂函数一定会过点 $(1, 1)$ 。如果将 $x = 1, y = x$ 之间大于 $1$ 的部分记作区域 $I$ ，则可顺时针得到 $I, I I, I I I, I V, V, V I$ 一共六个区域：

*² $a \to + \infty$ 时，幂函数像一条折线，在 $(0, 1)$ 上为 $0$ ，在 $1$ 处突然变为 $x = 1$ ，之后都没有定义了（因为是无穷）。
$a > 1$ 时，幂函数通过区域 $I, I V$
$a = 1$ 时，幂函数为 $y = x$
$0 < a < 1$ 时，幂函数通过区域 $I I, V$
$a = 0$ 时，幂函数为 $y = 1, (x \neq 0)$
$a < 0$ 时，幂函数通过区域 $I I I, V I$
* $a \to - \infty$ 时，幂函数像一条折线，在 $1$ 处为 $x = 1$ ，在 $(1, + \infty)$ 上为 $0$ ，之前都没有定义了（因为是无穷）。

　　函数是光滑的，并且 $| a |$ 越大，越会靠近直线 $x = 1$ ， $| a |$ 越小，越会靠近直线 $y = 1$ 。全部画在一起时如图 1 展示了幂函数 $f (x) = x^{a}$ 第一象限的函数图象。

图 1：实参数的幂函数（相同颜色的函数互为反函数）

　　之前说过，幂函数的图像有规律，但很复杂。现在终于将所有的规律都探索完毕了。还有最后一步就是针对一个具体的表达式，在画出第一象限、分析定义域和奇偶性的基础上，补全其他象限的图。没有必要一次全都列出，因此以一道习题为例进行演示，你也可以自己试试。

习题 1　描述 $f (x) = x^{- \frac{4}{5}}$ 的图像

　　解：

　　根据前面的分析， $n = - 4, m = 5, a < 0$ ，所以函数的定义域是 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，是偶函数，函数图像关于 $y$ 轴对称。在第一象限的区域 $I I I, V I$ 中，即在 $(0, 1)$ 区间内的图像在 $y = 1$ 上方，在 $(1, + \infty)$ 区间内的图像在 $y = 1$ 下方。在 $(0, + \infty)$ 上递减，在 $(- \infty, 0)$ 上递增。是两条分别过点 $(- 1, 1), (1, 1)$ 的光滑曲线。（*在 $0$ 两侧函数趋于无穷，在无穷处函数值趋于 $0$ 。）

**5. *复数域扩展**

预备知识 2　复数，三角函数

　　在实数域上，无理数次幂和偶次方根只定义在正数上。因此，函数只在第一象限有图象，但是根据欧拉公式，引入复数后将函数拓展到复数域中可以有一些新知，下面略窥这些新想法。请注意，下面的内容在高中阶段完全不需要理解，甚至在本科基础阶段都不会涉及。此处给出只是为了扩展视野，如果想要具体了解需要学习复变函数。下面的所有推导都基于复数的指数形式。

负数偶次方根的情况

　　假设要计算负负实数的偶次方根 $(- x)^{\frac{1}{4}}, x > 0$ ，使用幂运算公式：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} (- x)^{\frac{1}{4}} & = {(| x | e^{i π (1 + 2 k)})}^{\frac{1}{4}} \\ = | x |^{\frac{1}{4}} \cdot e^{i π \frac{1 + 2 k}{4}} \\ = | x |^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{1 + 2 k}{4} π) + i | x |^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{1 + 2 k}{4} π), k \in Z . \end{aligned} \end{matrix}

　　由于正、余弦函数的周期性，与无理数部分不同，这只会产生四个不同的解，分别为：

$k = 0, | x |^{\frac{1}{4}} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}) = | x |^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i)$
$k = 1, | x |^{\frac{1}{4}} (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) = | x |^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (- 1 + i)$
$k = 2, | x |^{\frac{1}{4}} (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4}) = | x |^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (- 1 - i)$
$k = 3, | x |^{\frac{1}{4}} (\cos \frac{7 π}{4} + i \sin \frac{7 π}{4}) = | x |^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i)$

　　其实，有理数次幂函数 $x^{n / m}$ （ $x \in R$ ， $n$ 为整数， $m$ 为正整数）总是有 $m$ 个可能的值

\begin{matrix} (5) & x^{n / m} = {\begin{aligned} {| x^{n} |}^{1 / m} e^{i 2 π k / m} & (x^{n} > 0) \\ {| x^{n} |}^{1 / m} e^{i 2 π (k + 1 / 2) / m} & (x^{n} < 0) \end{aligned} (k = 0, 1, \dots, m - 1) . \end{matrix}

无理数次幂

　　假设要计算负实数的无理数（ $π$ ）次幂 $(- x)^{π}, (x > 0)$ ，使用幂运算公式：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} (- x)^{π} & = {(| x | e^{i π (1 + 2 k)})}^{π} \\ = | x |^{π} \cdot e^{i π^{2} (1 + 2 k)} \\ = | x |^{π} \cos (π^{2} (1 + 2 k)) + i | x |^{π} \sin (π^{2} (1 + 2 k)), k \in Z . \end{aligned} \end{matrix}

　　可以看出，负实数的 $π$ 次幂是复数，且由于 $π^{2} (1 + 2 k)$ 与正、余弦函数的周期 $2 π$ 之比并非有理数，这使得得到的复数有无穷多个。其他无理数次幂也依此计算。事实上，在这样的观点下，正实数的无理数次幂，除了幅角主值对应的是一个实数之外，其余的都是复数。

　　上面的内容带你对复变函数初窥门径，希望能够让你感受到数学的魅力。

1. ^ 这里会在子节 5 给出说明
2. ^ 这里的两个与无穷相关的内容，给出只是作为参考，事实上这时已经不在函数的范畴内了。

幂运算与幂函数（高中）

1. 实数域下的幂运算

定义 1 幂运算

定理 1 幂运算法则

例 1 求 2π