指数函数（高中）

贡献者：欄、停敘

本文处于草稿阶段。

预备知识　函数，函数的性质，幂运算与幂函数

　　指数函数在日常生活中十分常见，它能够形象地描述一种增长速度不断加快的模式。例如，细菌的繁殖就是一个典型的指数增长过程：如果某种细菌每小时分裂一次，每次分裂后数量就会翻倍，那么细菌的数量会从起初的几百个迅速增至成千上万。类似地，银行存款的利息增长也是指数式的：本金存入后，按固定的比例产生利息，利息再生息，逐渐积累。这种增长过程就像滚雪球一样，短时间内便可能增长到一个令人惊讶的数量。

　　指数函数的本质就是描述描述增长速度与自身数值直接相关的现象。在这种增长模式下，随着数量增大，其增长速度也不断加快。与幂函数仅以固定速率增长不同，指数函数的增长速度会随着数量的增加而加快，特别是在数量达到一定规模时，这种增长几乎是飞跃式的。在现实生活中，大多数处于理想环境的增长模式都可以归纳为指数增长，直到受到环境因素的变化或达到系统的承载能力，才会改变。除了细菌繁殖和利息积累的例子外，指数函数还广泛用于描述类似的变化，例如放射性元素的衰减、人口增长、疾病传播等。这些现象的共同点是：初期的变化可能并不显著，但随着时间推移，变化会迅速积累，产生极大的影响。

1. 指数函数

　　回看幂运算的定义，如果将底数作为参数，指数作为自变量的函数就称为指数函数，指数函数的名称指的就是自变量的在指数位置上，注意不要与幂函数相混淆。

定义 1　指数函数

　　形如

\begin{equation} f(x) = a^x~. \end{equation}

的函数称作指数函数（exponential function），其中 $a\in\mathbb (0,1)\cup(1,+\infty)$。

　　这里之所以如此要求参数 $a$，是因为负数的实数幂次在非常多点上是未定义的，造成函数的定义域不连续，难以研究¹。而 $a=1$ 和 $a=0$ 的情况是平凡的，分别是直线 $y=1$ 和 $y=0(x\neq0)$，它们仅会在后面的研究中作为一个参考基准。

2. 指数函数的性质

　　有了幂函数的经验，同样，下面根据 $a(a>0)$ 的性质讨论指数函数的性质。

定义域和值域

　　根据指数函数参数的限定，$x$ 可以取任意实数。此时根据幂运算的法则，$f(x)>0$ 恒成立，即函数的值域是 $(0,+\infty)$。根据 $0^a=1$ 可知，函数恒过定点 $(0,1)$。

单调性

　　对于 $f(x)=a^x$，任取定义域上的两点 $x_1>x_2$，则平均变化率为

\begin{equation} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{a^{x_2}(a^{x_1-x_2}-1)}{(x_1-x_2)}~. \end{equation}

　　由于式 2 的分母和 $a^{x_2}$ 为正，因此讨论 $a^{x_1-x_2}$ 和 $1$ 的关系。由于 $x_1>x_2$，$x_1-x_2>0$。为了讨论方便，取 $1^{x_1-x_2}$。由于幂函数在参数为正时在第一象限内是增函数，因此 $a>1$ 时，$a^{x_1-x_2}>1^{x_1-x_2}$，$0< a<1$ 时，$a^{x_1-x_2}<1^{x_1-x_2}$。

　　综上，$a>0$ 时，式 2 的值大于 $0$，函数在定义域上是递增的；反之 $0< a<1$ 时，函数则是递减的。

不同的 $a$ 的函数图象的关系

　　当 $a_1>a_2$ 时，有 $a_1-a_2>0$，讨论两个函数间的关系²：

\begin{equation} f(x;a_1)-f(x;a_2)=(a_1)^x-(a_2)^x=(a_2)^x\left(\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^x-1\right)~. \end{equation}

　　由于 $\displaystyle (a_2)^x>0$，取 $p=\frac{a_1}{a_2}>1$，下面讨论 $p^x$ 和 $1$ 的关系。对 $x>0$ 时，$p^x>1$，$x<0$ 时，$\displaystyle p^x=\left(\frac{1}{p}\right)^{|x|}<1$。

　　形象地来说，在 $x>0$ 时，如果从下到上画一条垂线，则会先穿过 $a$ 值较小的函数图象，后穿过 $a$ 值较大的函数图象；在 $x<0$ 时从下到上画一条垂线，则会先穿过 $a$ 值较大的函数图象，后穿过 $a$ 值较小的函数图象。

　　由于 $1^x=1$，根据上面的分析，当 $a>1$ 时，$x<0$ 时 $0< y<1$，$x>0$ 时 $y>1$；当 $0< a<1$ 时，$x<0$ 时 $y>1$，$x>0$ 时 $0< y<1$。

　　仔细对比，可以发现这里 “单调性” 和 “不同的 $a$ 的函数图象的关系” 的讨论与幂函数讨论的表达式形式正好相反。

其他性质

　　由于 $\displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}=a^{x}$，所以如果代入 $(-x,y)$ 到 $\displaystyle\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$ 的表达式中，得到的它关于 $y$ 轴对称的函数是 $a^{x}$。一般地，根据指数运算的性质，有 $f(x;a^b)=\left(a^b\right)^x=a^{bx}=f(bx;a)$³。假设 $c = a^b$，则有 $f(x; c) = f(bx; a)$，即任意的指数基数 $a$ 都可以通过伸缩变换来表示所有的指数函数，这也表明不同指数函数之间存在放缩关系。

　　顺便一提，$x$ 轴（也就是直线 $y=0$）是函数的一条渐近线，分别对应 $a>1$，$x$ 趋于 $-\infty$ 时和 $1>a>0$，$x$ 趋于 $+\infty$ 时。

　　事实上，若 $a>1$，则 $a^x$ 在 $x$ 趋于 $-\infty$ 时，趋于 $0$；在 $x$ 趋于 $+\infty$ 时，趋于 $+\infty$。若 $1>a>0$，则 $a^x$ 在 $x$ 趋于 $-\infty$ 时，趋于 $+\infty$；在 $x$ 趋于 $+\infty$ 时，趋于 $0$。这是根据幂运算的性质得到的。同样关于 “趋于”、“无穷”、“渐近线” 这三个词，现在只需要有一个感性的理解就可以了，它是符合几何直观的。关于他们的具体内涵，会在大学阶段学习。

函数图像

　　根据上面的分析可以得到两类函数的图像，分别是 $a>1$ 和 $0< a<1$ 情况的。

未完成：图像

函数是光滑的，并且 $| \ln\left(a\right) |$⁴越大，图像越会靠近 $y$ 轴；$| \ln\left(a\right) |$ 越小，图像越会靠近直线 $y=1$。

3. 自然常数 $ \mathrm{e} $

　　到这里就需要引入一个新的常数——自然常数 $ \mathrm{e} $ 了。他是继小学接触的 $\pi$ 之后，在数学科目中第二个出现的常数，它们之间有很多相似之处，也有很紧密的关系。

引入

　　自然常数一般会通过下面这个例子来引入。假设在银行存入 $1$ 元，银行承诺年利率为 $100\%$，利息的计算公式是 “$\text{利息}=\text{本金}\times\text{年利率}\times\text{存款年数（时间）}$”。下面的计算不要关注每次计算的得到的数值，而是要关注计算过程的变化整合。

　　最简单的情况是银行一年只结算一次利息，这时年末得到的收入就是 $1\times100\%\times1=1$。这样，一年后 1 元会变成 $1+1\times100\%=1\times(1+100\%)^1=2$ 元。

　　如果要求银行 “每半年结算一次利息”，这样计算的好处是，第一次结算之后的利息会作为本金参与到第二次的计算中。于是第一次结算时，利息为 $\displaystyle1\times100\%\times\frac{1}{2}=0.5$。第二次计息时的本金变成了 $\displaystyle1+1\times100\%\times\frac{1}{2}=1.5$。第二次的利息就是 $\displaystyle(1+1\times100\%\times\frac{1}{2})\times100\%\times\frac{1}{2}=\frac{1.5}{2}=0.75$。于是最终的收入变成了 $\displaystyle1+1\times100\%\times\frac{1}{2}+(1+1\times100\%\times\frac{1}{2})\times100\%\times\frac{1}{2}=\frac{1.5}{2}=2.25$。相比第一次多出来的那 $0.25$ 就是因为计息次数变多带来的⁵。整理一下其实就是 $1\times(1+\frac{100\%}{2})^2=2.25$。

　　可以自己试一试 “每三个月一次” 和 “每个月一次”，整理后从银行取出的金额 $A(n)$ 都会变成如下的形式：

\begin{equation} A(n)=a\times\left(1+\frac{1}{n}\right)^n~. \end{equation}

其中 $a$ 是本金，$n$ 是一年计息的次数。

　　上面算过 $A(1)=2,A(2)=2.25$，另外上面提到的 “每三个月一次” 和 “每个月一次” 分别对应 $A(4)\approx 2.4414$、$A(12)\approx 2.6130$。可以看出 $A(n)$ 似乎是不断递增的，于是不禁要问，这个函数会一直递增吗？有没有最大值？通过计算器计算可知每天一次、小时一次和每秒一次分别是 $A(365)\approx 2.7146$、$A(8760)\approx2.7181$、$A(31536000)\approx 2.718266$。看上去好像逐渐停止在小于 $2.72$ 的某个数字了，但如果仅凭这样的直觉，可能会出错。

　　数学家们证明了，这个函数是一直递增的，而且有一个上限，称这个函数的上限⁶为自然常数（Natural Constant），也称作欧拉数（Euler's number），记作 $ \mathrm{e} $，定义为：

\begin{equation} \mathrm{e} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n~. \end{equation}

如果看不懂这个表达方式没问题，只需要理解它是上面那个存款过程的最终结果，是一个常数，就可以。它描述了增长速度的极限，不仅与利息有关，它还出现在很多自然现象中，简单来说，$ \mathrm{e} $ 代表着在不受限制的情况下，某种东西增长到最快时能达到的程度。

对比

　　自然常数 $ \mathrm{e} \approx 2.71828$，它和早已在小学时就接触过的 $\pi$ 有许多相似点。

　　他们都是无理数，这意味着它们不能表示为两个整数的比值。它们的小数部分是无限且不循环的，也就是说，在任何整数进制中它们都永远不会终止或重复。

　　他们也都是超越数，意思是它们不能作为任何有理方程的解。换句话说，这比无理数的要求更加严格。它们不仅不能表示为整数之比，也不能通过各阶的根式表示。$ \mathrm{e} $ 的超越性由查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite）在 1873 年证明，$\pi$ 的超越性由费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）在 1882 年证明。

　　二者都可以用无穷展开的方式来表示，下面给出两个常见的展开方式⁷：

\begin{equation} \pi=4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^i}{2i+1}~. \end{equation}

\begin{equation} \mathrm{e} =\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{i!}~. \end{equation}

　　 $ \mathrm{e} $ 的定义有很多种方式，除了之前提到的广为了解的极限定义。下面将给出另一个定义：$ \mathrm{e} $ 是使得

\begin{equation} f'(x) = f(x)~. \end{equation}

成立的指数函数的底数，这意味着以 $ \mathrm{e} $ 为底的指数函数是唯一的能够保持自身增长速度不变的函数。

4. 指数爆炸

　　 指数爆炸（exponential growth）指的是函数值随自变量呈指数级别的快速增长，它的显著特征是初期增速缓慢，但随后会急剧加速。指数函数的增长速度非常快，对于初等函数而言，当参数 x 足够大时，指数函数的增长速度是最快的。具体来说，若参数 $a > 1$，在第一象限内（$x > 0$）的典型函数增长速度从慢到快通常满足以下顺序：

\begin{equation} a < \log_a{x} < x^a < a^x~. \end{equation}

　　式子中，常数 $a$ 是一个固定值，不随 $x$ 改变，或者说不增加。对数函数 $\log_a{x}$ 的值在 $x$ 越大时，仍在增加，但增速会越来越慢，仅略大于不增。幂函数 $x^a$ 和指数函数 $a^x$ 的增长速度都会随着 $x$ 增加，$x^a$ 增速逐渐加快，但 $x^a$ 比指数函数 $a^x$ 慢，一般认为相较于指数函数，幂函数是线性或近似线性的。指数增长会呈现 “爆炸式” 的加速，远超其他初等函数。

　　这是一个一般规律，在定性地判断函数值和趋势时会比较有效，熟练使用会在很多题目中快速确定解题方向。

例 1　已知函数 $f(x)=(x-2)e^x,g(x)=a(x-1)^2$，讨论 $a$ 与二者交点的关系。

　　下面进行定性分析：

　　易知 $f(0)=-2,f(2)=0$，且在函数趋于 $-\infty$ 时，函数趋于 $0$，在函数趋于 $+\infty$ 时，函数趋于 $+\infty$（这里的无穷判断就与指数爆炸相关，当两个函数相乘时，在无穷处一般可以根据上面的增长速度判定。）。而 $g(x)$ 是一个开口方向及敞口大小与 $a$ 相关的抛物线，$|a|$ 越大，敞口越小，唯一的零点在 $x=1$ 处。

　　当 $a>0$ 时，开口向上，此时两个函数只能有一个交点。

　　首先，二者必然相交。因为在 $x=1$ 处，显然 $f(1)<0=g(1)$，而 $f(x)$ 的增长速度比 $g(x)$ 快，哪怕 $g(x)$ 的敞口再小，总有一个点之后，$f(x)$ 会在 $g(x)$ 上方。又因为相交后，二者就会快速分开，所以二者只能相交一次。

　　当 $a>0$ 时，开口向上，此时两个函数有两个交点。

　　从上面的分析，$f(2)=0,f(-\infty)=0,f(1)<0$，而 $g(2)<0,g(-\infty)<0,g(1)=0$。很显然，在 $(-\infty,1),(1,2)$ 两个区间上，各自会存在零点。同时，由于 $f(x)$ 在这一段上与 $g(x)$ 相比近乎一条水平直线，于是每个区间上也只会存在一个零点。

5. 柯西函数方程

　　 柯西函数方程 (Cauchy functional equation)是柯西提出的是数学分析中具有加性和乘性特征的几个方程。它们的形式如下：

$f(x+y)=f(x)+f(y)$
$f(xy) = f(x) f(y)$
$f(x+y)=f(x)f(y)$
$f(xy) = f(x)+f(y)$

　　刚看到可能觉得有点吓人，下面以第一个作为例子表示一下它的含义：函数 $f(x)$ 满足，任取两个自变量的值时，这两个自变量 $x,y$ 的和 $x+y$ 对应的函数值 $f(x+y)$ 与他们对应的函数值 $f(x),f(y)$ 的和 $f(x)+f(y)$ 相等。这里的 $y$ 只表示某一个可以任意赋值的，与 $x$ 无关的自变量。

　　由于他们无关，可以任意给他们赋值来研究它的性质：

令 $y=x$，有 $f(2x)=2f(x)$，进而更多地得到对自然数 $n$ 有 $f(nx)=nf(x)$，代入 $x=1$ 有 $f(n)=nf(1)$。
令 $x=y=0$，有 $f(0)=2f(0)$，因此 $f(0)=0$，即函数恒过定点 $(0,0)$。
令 $y=-x$，有 $f(0)=f(x)+f(-x)$，又因为 $f(0)=0$，从而 $-f(x)=f(-x)$，这说明函数应该是奇函数。
令 $\displaystyle x=\frac{q}{p}$，即 $q=px$，从而 $f(q)=f(px)$。由于 $p$ 是整数，根据上面的性质有 $f(px)=pf(x)$。又因为 $q$ 为整数，有 $f(q)=qf(1)$。综上 $\displaystyle f(x)=\frac{f(q)}{p}=\frac{q}{p}f(1)=xf(1)$

　　上面的方法是研究此类抽象函数的一种普遍方法，通过上面的推理已经可以证明 $f(x)=xf(1)$ 对任意有理数 $x$ 都成立，设 $f(1)=a$ 的话，可知函数表达式为 $f(x)=ax$。事实上，这个表达式对 $x\in\mathbb{R}$ 都成立，不过证明就超过高中范畴了。

　　其他的方程也可以通过类似的方法进行研究，不过好在，这些方程已经被很多人研究过，下面直接给出各个函数的某种解的形式⁸，可以自行带入验证：

$f(x+y)=f(x)+f(y)\implies f(x)=ax$（正比例函数、线性函数）
$f(xy)=f(x)f(y)\implies f(x)=x^a$（幂函数）
$f(x+y)=f(x)f(y)\implies f(x)=a^x$（指数函数）
$f(xy)=f(x)+f(y)\implies f(x)=\log_ax$（对数函数）

　　其中 $a$ 是一个参数。因此，也可以说，在某个视角上，这几种函数根本的性质就是柯西函数方程描述的样子。

1. ^ 类比狄利克雷函数可知，这个函数无法画出图像。
2. ^ 下面的写法表示参数是 $a_1,a_2$。
3. ^ $f(x;a^b)$ 这种写法表示函数的参数是 $a^b$，变量是 $x$。
4. ^ 这里的符号是对数，此处如果看不懂可以先跳过。
5. ^ 因此银行也会调低短期存储的利率，以降低短期储蓄的收入来保证长期投资的权益。
6. ^ 确切的说叫上确界。
7. ^ 关于求和符号可以参考求和符号（高中），关于阶乘可以参考阶乘（高中）。
8. ^ 可能有其他的解，但不在此处的讨论范畴内。