贡献者： JierPeter; Giacomo
1. 流形上的光滑映射
我们已经熟悉了欧几里得空间中的光滑映射。由于流形是局部同胚于欧几里得空间的，因此我们可以方便地导出流形上光滑映射的概念。
定义 1 光滑映射
给定两个流形间的映射 $f:M\to N$，如果对于任意点 $p\in M$，存在一个 $M$ 的图 $(U, \varphi)$ 和一个 $N$ 的图 $(V, \phi)$，使得 $p\in U$，$f(U)\subseteq V$，且 $\phi\circ f\circ\varphi^{-1}$ 是一个欧几里得空间之间的光滑映射，那么称 $f$ 是流形间的光滑映射（smooth function）。
由于光滑流形定义中 “相容” 的要求，如果 $f$ 是流形间的光滑映射，那么它在任何图上导出的欧几里得空间之间的映射，都是光滑映射。
2. 微分
给定两个流形间的光滑映射，也就给定了流形上的道路之间的映射。由于道路等同于切向量，我们还可以导出一个切空间之间的映射，这个映射就被称为微分。
定义 2 微分
对于两个流形 $M$ 和 $N$，给定它们之间的一个光滑映射 $f:M\to N$。对于 $p\in M$ 处出发的一条道路 $v:I\to M$，我们可以导出 $f(p)\in N$ 处出发的道路 $f\circ v:I\to N$。
于是我们可以定义映射 $ \,\mathrm{d}{f} _p: T_pM\to T_{f(p)}N$，使得对于任意 $v\in T_pM$，有 $ \,\mathrm{d}{f} _p(v)=f\circ v$。称 $ \,\mathrm{d}{f} $ 为 $f$ 在点 $p$ 处的微分（differential）1。
$ \,\mathrm{d}{f} _p$ 是切空间之间的线性映射，因此如果给定了 $p\in M$ 和 $f(p)\in N$ 的局部坐标系（图）以后，也就能顺便导出 $T_pM$ 和 $T_{f(p)}N$ 的坐标系，从而可以把 $ \,\mathrm{d}{f} _p$ 表示成一个矩阵——它就是 $f$ 的 Jacobi 矩阵。这也是为什么我们使用 “微分” 这个术语来称呼它。
整个流形 $M$ 上所有点处的 $ \,\mathrm{d}{f} _p$ 可以简单表示为一个 $ \,\mathrm{d}{f} :TM\to TN$。这样，$ \,\mathrm{d}{f} _p$ 可以视为 $ \,\mathrm{d}{f} |_p$，即 $ \,\mathrm{d}{f} $ 在 $p$ 点处的限制。
由于可以用矩阵来表示微分，自然就有了秩（rank）的概念，参见线性代数中 “矩阵的秩” 的定义。
未完成：线性代数中 “矩阵的秩” 的定义
定义 3 浸入
给定流形间的光滑映射 $f:M\to N$。如果在任意点 $p\in M$ 处都有 $ \operatorname {rank} \,\mathrm{d}{f} _p= \operatorname {dim}T_pM$，则称 $f$ 为浸入（immersion）。
定义 4 浸没
给定流形间的光滑映射 $f:M\to N$。如果在任意点 $p\in M$ 处都有 $ \operatorname {rank} \,\mathrm{d}{f} _p= \operatorname {dim}T_pN$，则称 $f$ 为浸没（submersion）。
浸入映射的另一个等价定义是说，$ \,\mathrm{d}{f} $ 处处是单射；而浸没映射也可以定义为，$ \,\mathrm{d}{f} $ 处处是满射。
这两个术语的含义，通过以下例子可以直观感受到：
例 1 浸入与浸没
考虑三维欧几里得空间中的两个子流形 $S^1=\{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2=1, z=0\}$ 和 $S^2=\{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2=1\}$。
定义映射 $f:S^1\to S^2$ 为 $f(x, y, 0)=(x, y, 0)$，那么这是一个浸入。
定义映射 $g:S^2\to S^1$ 为 $f(x, y, z)=(x, y, 0)$，那么这是一个浸没。
1. ^ 注意英文术语，不是数学分析中的 differentiation。