贡献者： JierPeter; 叶月2_; addis
定义联络时，我们讲联络看成是向量场之间的映射，$\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{X}} } \boldsymbol{\mathbf{Y}} $ 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{Y}} $ 都是光滑向量场。也就是说，我们着眼于场的整体，而没有关注局部的性质，比如某个点或者某个轨迹上的切向量场如何变化。
不过，在Christoffel 符号文章中我们看到，在具体图中计算联络时，只用到了几个定义在欧几里得空间的函数，也就是向量场的坐标值函数和 Christoffel 符号。欧几里得空间上函数的求导是可以考虑局部的，也就是我们可以计算一个点上函数的导数，而不必像联络的定义那样要考虑整个场的变换。这就意味着我们有可能局部地计算联络。
1. 协变导数的概念
考虑一个带联络的 $n$ 维实流形 $(M, \nabla)$。令 $c:I\to M$ 是一个从区间 $[0, 1]$ 到流形 $M$ 上的连续映射，我们称之为一条道路。沿着 $c(t)|_{t\in I}$ 定义一个光滑切向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$。也就是说，各 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 都是 $c(t)$ 处的切向量，但不一定是沿着 $c'(t)$ 方向的1。
比如说，令 $M$ 二维球面 $S^2$，嵌入为三维欧几里得空间中圆心在原点的单位球面。取 $c(t)= \begin{pmatrix}\cos t&\sin t&0\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $。如果令 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)= \begin{pmatrix}0&0& \mathrm{e} ^t\end{pmatrix} $，那么它处处是 $S^2$ 上的切向量，且沿着 $c(t)$ 的各坐标分量都是关于 $t$ 的光滑函数，因此是沿着 $c(t)$ 的光滑向量场，但它和 $c'(t)$ 处处都不平行。
如果 $M$ 是欧几里得空间，那么我们已经知道该怎么求 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 了，因为 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 可以自然地表示成坐标形式，我们对每个坐标求导就可以了。具体来说，如果 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=x^i(t)\partial_i$，那么 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\dot{x}^i(t)\partial_i$。
欧几里得空间中，沿给定道路求导的过程满足以下性质：
- $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 对 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 满足 $\mathbb{R}-$ 线性性2。
- 任取 $M=$ 上的光滑函数 $f$，则
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \left(f \boldsymbol{\mathbf{X}} \right) =f\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} + \boldsymbol{\mathbf{X}} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f~.
\end{equation}
- 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 是 $\mathbb{R}^n$ 上光滑切向量场 $\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$ 的一部分，且记 $D$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的方向导数，那么有
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} =D_{c'(t)}\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }~.
\end{equation}
式 2 很重要，它意味着至少在欧几里得空间中，沿着道路对切向量求导，可以由联络（方向导数）导出。顺着这个思想，我们可以尝试将沿道路求导的概念拓展到任意的流形 $M$ 上。
切向量场从局部拓展到整体
在 $M$ 上局部区域定义的光滑切向量场，比如道路 $c(t)$ 上的 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$，能不能拓展到整个流形 $M$ 呢？也就是说，是否存在一个 $M$ 上的光滑切向量场 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$，使得 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }|_{c(t)}$ 呢？
答案是肯定的。这是因为任意 $n$ 维实流形 $M$，都可以嵌入到 $\mathbb{R}^{2n}$ 上。换句话说，存在一个 $\mathbb{R}^{2n}$ 上的光滑函数 $f$，使得 $\mathbb{R}^{2n}$ 的子流形 $\{p\in\mathbb{R}^{2n}|f(p)=0\}$，和 $M$ 微分同胚（或者说就是 $M$ 本身）。使用 $\mathbb{R}^{2n}$ 天然的坐标，可以把任何切向量场表示成 $\mathbb{R}^{2n}$ 上光滑函数的组合3。我们总可以把局部的光滑函数拓展为整个 $\mathbb{R}^{2n}$ 上的光滑函数，从而把局部的光滑切向量场拓展为整个 $\mathbb{R}^{2n}$ 上的光滑切向量场。对这个拓展的切场取在 $M$ 上的限制，再投影到 $M$ 上，即得到在 $M$ 上的拓展。
未完成：投影是为了得到 $M$ 上的切向量。
例 1 切向量的整体拓展
令 $M$ 为三维欧几里得空间中的单位球 $M=\{ \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} |x^2+y^2+z^2=1\}$。在 $M$ 的 “赤道”$\{ \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} |x^2+y^2=1, z=0\}$ 上定义了一个光滑切向量场：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{V}} \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y&x&0\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
在 $\mathbb{R}^3$ 上定义
\begin{equation}
\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} } \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y&x&0\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
那么显然 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} $ 是 $\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }$ 的限制。
但是对于单位球 $M$ 上的各点 $p= \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $，$\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }(p)$ 却不一定是 $T_pM$ 中的切向量。这时候我们就需要投影：
\begin{equation}
\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }=\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }-\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} } \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{N}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{N}} \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $，是单位球在 $p$ 处的单位法向量。
这样就能保证 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }|_p$ 一定是 $T_pM$ 的元素了。自此，我们就得到了 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} $ 在整个 $M$ 上的拓展：$\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }|_{M}$。
协变导数
继续之前的讨论，令 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 是沿着 $c(t)$ 的光滑切向量场。将 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 拓展为整个 $M$ 上的光滑切场 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$，$c'(t)$ 拓展为 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} $。
$\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} }\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$ 是可以计算出来的。考虑到欧几里得空间中沿道路求导的第 3 条性质，也就是和方向导数（联络）的相容性，我们可以沿着 $c(t)$ 定义一个算子 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }$，使得：
\begin{equation}
\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} }\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }|_{c(t)}~.
\end{equation}
我们称如上定义的 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 沿着道路 $c(t)$ 的协变导数（covariant derivative）。
欧几里得空间上沿着 $c(t)$ 求 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 的方向导数，就是协变导数的一个特例。一般的协变导数，和这个特例一样，有三个性质：
- $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 对 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 满足 $\mathbb{R}-$ 线性性4。
- 任取 $M=$ 上的光滑函数 $f$，则
\begin{equation}
\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \left(f \boldsymbol{\mathbf{X}} \right) =f\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} + \boldsymbol{\mathbf{X}} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }f~.
\end{equation}
- 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 是 $\mathbb{R}^n$ 上光滑切向量场 $\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$ 的一部分，且记 $D$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的方向导数，那么有
\begin{equation}
\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} =D_{c'(t)}\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }~.
\end{equation}
在 Loring W. Tu 的课本Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes [1] 的第 13.1 节，导出协变导数的思路是先给出以上三个性质，然后证明存在且唯一存在满足这三条性质的算子，将其定义为 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }$。如果你使用 GTM 275 作为参考书，请注意这里思路的差别。
2. 协变导数的计算
取 $M$ 上的一个局部坐标系5$\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _2, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n\}$。给定沿着 $c(t)$ 的一个光滑切向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} =x^i(t) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$，其中各 $x^i(t)$ 是区间 $I$ 上的光滑函数。将光滑切场 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 拓展为光滑切场 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i$，光滑函数 $x^i$ 拓展为光滑函数 $\widetilde{x}^i$6。此时再将 $c'(t)$ 拓展为整个 $M$ 上的光滑切场 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} =T^i\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i$。
则按定义有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t) &= \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} } \left(\widetilde{x}^i \widetilde
{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i\right) |_{c(t)} \\
&=\widetilde{x}^i\nabla_{T^j\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_j}\left(\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i\right) |_{c(t)} + ( \boldsymbol{\mathbf{T}} \widetilde{x^i})\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i|_{c(t)}\\
&=T^j\widetilde{x}^i\nabla_{\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_j}\left(\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i\right)|_{c(t)}+\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^i(t)}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{e}} _i~.
\end{aligned}
\end{equation}
按照 GTM 275 中式（13.1）的写法，有
\begin{equation}
\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^i(t)}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{e}} _i+{x}^i(t)\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} } \boldsymbol{\mathbf{e}} _i~
\end{equation}
和式 9 是一样的。
将式 9 与Christoffel 符号的概念结合，我们还可以进一步写出给定图中协变导数的计算公式：
\begin{equation}
\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=T^jx^i\Gamma^k_{ji}+\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^k(t)}{ \,\mathrm{d}{t} }~.
\end{equation}
注意
式 11 只写了坐标，省略了 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$。
这样，只要知道了一个图中的 Christoffel 符号，就可以用式 11 在这个图中计算出协变导数了。
3. 与度量的相容性
相关概念参见黎曼联络。
定理 1
给定黎曼流形$M$ 上的一条道路 $c(t)$，沿着道路有两个光滑切场 ${ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t)$ 和 ${ \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t)$。那么内积 $g({ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), { \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))$ 就是 $c(t)$ 上的光滑函数，因此可以直接对 $t$ 求导。
此时我们有：
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }g({ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), { \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))=g(\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), { \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))+g({ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }{ \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))~.
\end{equation}
这是由 “度量相容性（见定义 3 的第二条）” 推论得出的。
4. 张量场的协变导数
定义
设 $TM$ 是 $M$ 上的切丛，利用切丛上的联络 $\nabla$，我们可以诱导作用在张量场上的协变导数。
定理 2
设 $M$ 上的仿射联络为 $\nabla$；$X$ 与 $Y$ 是光滑切场。
- 如果 $\omega$ 是 $M$ 上的光滑 1 形式，那么
\begin{equation}
\left(\nabla_X \omega\right)(Y):=X(\omega(Y))-\omega\left(\nabla_X Y\right)~,
\end{equation}
若 $T$ 是光滑的 $(a,b)$ 型张量场，那么
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left(\nabla_X T\right)\left(\omega_1, \ldots, \omega_a, Y_1, \ldots, Y_b\right):= & X\left(T\left(\omega_1, \ldots, \omega_a, Y_1, \ldots, Y_b\right)\right) \\
& -\sum_{i=1}^a T\left(\omega_1, \ldots, \nabla_X \omega_i, \ldots \omega_a, Y_1, \ldots, Y_b\right) \\
& -\sum_{j=1}^b T\left(\omega_1, \ldots, \omega_a, Y_1, \ldots, \nabla_X Y_j, \ldots Y_b\right)~,
\end{aligned}
\end{equation}
可以证明 $\nabla_X T$ 也是光滑的 $(a,b)$ 型张量场。
上述定义显然是为了呼应 “仿射联络把光滑切场映射为光滑切场”。接下来我们证明这两种定义的合理性。
证明：
从定义来看，联络对张量场的作用结果必然是光滑的。要证明结果依然是张量场，只需要证明对括号内的切场（余切场）满足光滑函数线性。
设 $f$ 为光滑函数，我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\nabla_X\omega(fY)&=X(\omega(fY))-\omega(\nabla_XfY)\\
& =(X f) \omega(Y)+f X(\omega(Y))-\omega((X f) Y)-f \omega\left(\nabla_X Y\right) \\
& =f\left(\nabla_X \omega\right)(Y)~.
\end{aligned}
\end{equation}
同理可证，用 $f\omega_i$ 替换
式 14 中的 $\omega_i$，右式第一项为
\begin{equation}
\begin{aligned}
X\left(T\left(\omega_1, \ldots, f\omega_i,\ldots,\omega_a, Y_1, \ldots, Y_b\right)\right)&=(Xf)\left(T\left(\omega_1, \ldots,\omega_a, Y_1, \ldots, Y_b\right)\right)\\&+fX\left(T\left(\omega_1, \ldots,\omega_a, Y_1, \ldots, Y_b\right)\right)~.
\end{aligned}
\end{equation}
第三项不变，第二项利用莱布尼兹律展开，其中一项与
式 16 右式第一项抵消，然后得到对任意切场是光滑函数线性的性质。对余切场亦同理可证。于是我们便证明了，协变导数对光滑张量场作用，结果依然是光滑张量场。
坐标表示
从定义式式 14 可知，只要分别求出联络对切向（协变矢量），余切向量（逆变矢量）basis 作用的表达式，代入此式后我们便能得到对张量场求协变导数的坐标表示。在该节中，我们对上下标采取爱因斯坦求和约定。
Christoffel 符号的定义式已表明，对于任意切矢量 $V$ 我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\nabla_{\partial_i}\partial_j&=\Gamma^k_{ij}\partial_k\\
\nabla_{\partial_i}V&=(\nabla_{\partial_i} V)^j\partial_j\\
&=(\partial_iV^j+\Gamma^j_{ik}V^k)\partial_j
\end{aligned}~.
\end{equation}
所以我们只需要求出对余切向量求协变导数的坐标表示即可。为表示方便，接下来我们用 $\nabla_i$ 表示 $\nabla_{\partial_i}$。
光滑 1 形式是余切向量的线性组合，设 $\omega=\omega_i\theta^i$，现在我们利用式 13 ，求出 $(\nabla_i\omega)_j$ 即可。用 $\partial_j$ 代替 $Y$，右式为
\begin{equation}
\begin{aligned}
X(\omega(Y))-\omega\left(\nabla_X Y\right)&=\nabla_i[\omega(\partial_j)]-\omega[\nabla_i\partial_j]\\
&=\partial_i\omega_j-\omega_k\Gamma^k_{ij}~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
(\nabla_i\omega)_j&=\partial_i\omega_j-\omega_k\Gamma^k_{ij}\\
\nabla_i\theta^j&=-\Gamma^j_{ik}\theta^k~.
\end{aligned}
\end{equation}
现在我们欲求 $(\nabla_iT)^{r_1r_2...r_a}_{s_1s_2...s_b}$，利用定义得
\begin{equation}
\begin{aligned}
(\nabla_i T)^{r_1 r_2 \ldots r_a}_{s_1 s_2 \ldots s_b} &= (\nabla_i T)(\theta^{r_1}, \theta^{r_2}, \ldots, \theta^{r_a}, \partial_{s_1}, \partial_{s_2}, \ldots, \partial_{s_b}) \\
&= \partial_i [T(\theta^{r_1}, \theta^{r_2}, \ldots, \theta^{r_a}, \partial_{s_1}, \partial_{s_2}, \ldots, \partial_{s_b}) ] \\
&\quad - \sum_{r_k=r_1}^{r_a} T(\theta^{r_1}, \ldots, \nabla_i \theta^{r_k}, \ldots, \theta^{r_a}, \partial_{s_1}, \partial_{s_2}, \ldots, \partial_{s_b}) \\
&\quad - \sum_{s_j=s_1}^{s_b} T(\theta^{r_1}, \theta^{r_2}, \ldots, \theta^{r_a}, \partial_{s_1}, \ldots, \nabla_i \partial_{s_j}, \ldots, \partial_{s_b})\\
&=\partial_iT^{r_1 r_2 \ldots r_a}_{s_1 s_2 \ldots s_b}\\
&\quad+\Gamma_{i \sigma}^{r_1} T^{\sigma r_2 \ldots r_a}{ }_{s_1 \ldots s_b}+\ldots+\Gamma_{i \sigma}^{r_a} T^{r_1 \ldots r_{a-1} \sigma}{ }_{s_1 \ldots s_b}\\
&\quad-\Gamma^\sigma _{i s_1} T^{r_1 \ldots r_a}{ }_{\sigma s_2 \ldots s_b}-\ldots-\Gamma_{i s_b}^\sigma T^{r_1 \ldots r_a}{ }_{s_1 \ldots s_{b-1} \sigma}~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. ^ 当然，我们可以把 $ \operatorname {Im}c(t)$ 本身看成一个一维的流形，那么此时 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 就不是其切向量。我们可以考虑在这个一维流形上的一个二维向量丛，这样 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 就是这个丛上的一个截面。
2. ^ 即如果在道路上定义了两个向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{Y}} (t)$，那么任取实数 $a, b$，都有 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }( \boldsymbol{\mathbf{a \boldsymbol{\mathbf{X}} +b \boldsymbol{\mathbf{Y}} }} )=a\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} +b\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{Y}} $。
3. ^ 比如三维欧几里得空间中的切向量场，可以表示为三个光滑函数的组合，每个光滑函数是一个坐标分量。
4. ^ 即如果在道路上定义了两个向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{Y}} (t)$，那么任取实数 $a, b$，都有 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }( \boldsymbol{\mathbf{a \boldsymbol{\mathbf{X}} +b \boldsymbol{\mathbf{Y}} }} )=a\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} +b\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{Y}} $。
5. ^ $M$ 上并非总有整体坐标系，比如说单位球面上就不可能存在处处非零的光滑切向量场，进而任何一组光滑切向量场都会有零点，进而任何一组光滑切场都不可能是整体坐标系。但是局部是可以的，因为流形是局部同胚于欧几里得空间的，取欧几里得空间里的坐标系，映射回流形上就可以。
6. ^ 即将 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 拓展为 $\widetilde{x}^i\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i$。
[1] ^ Loring W. Tu. Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes, GTM 275, Springer press.