协变导数

                     

贡献者： JierPeter; addis

　　

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预备知识　仿射联络（切丛）

　　 定义联络时，我们讲联络看成是向量场之间的映射，$\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{X}} } \boldsymbol{\mathbf{Y}} $ 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{Y}} $ 都是光滑向量场。也就是说，我们着眼于场的整体，而没有关注局部的性质，比如某个点或者某个轨迹上的切向量场如何变化。

　　 不过，在Christoffel 符号文章中我们看到，在具体图中计算联络时，只用到了几个定义在欧几里得空间的函数，也就是向量场的坐标值函数和 Christoffel 符号。欧几里得空间上函数的求导是可以考虑局部的，也就是我们可以计算一个点上函数的导数，而不必像联络的定义那样要考虑整个场的变换。这就意味着我们有可能局部地计算联络。

1. 协变导数的概念

　　 考虑一个带联络的 $n$ 维实流形 $(M, \nabla)$。令 $c:I\to M$ 是一个从区间 $[0, 1]$ 到流形 $M$ 上的连续映射，我们称之为一条道路。沿着 $c(t)|_{t\in I}$ 定义一个光滑切向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$。也就是说，各 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 都是 $c(t)$ 处的切向量，但不一定是沿着 $c'(t)$ 方向的1。

　　 比如说，令 $M$ 二维球面 $S^2$，嵌入为三维欧几里得空间中圆心在原点的单位球面。取 $c(t)= \begin{pmatrix}\cos t&\sin t&0\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $。如果令 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)= \begin{pmatrix}0&0& \mathrm{e} ^t\end{pmatrix} $，那么它处处是 $S^2$ 上的切向量，且沿着 $c(t)$ 的各坐标分量都是关于 $t$ 的光滑函数，因此是沿着 $c(t)$ 的光滑向量场，但它和 $c'(t)$ 处处都不平行。

　　 如果 $M$ 是欧几里得空间，那么我们已经知道该怎么求 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 了，因为 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 可以自然地表示成坐标形式，我们对每个坐标求导就可以了。具体来说，如果 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=x^i(t)\partial_i$，那么 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\dot{x}^i(t)\partial_i$。

　　 欧几里得空间中，沿给定道路求导的过程满足以下性质：

  1. $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 对 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 满足 $\mathbb{R}-$ 线性性2。
  2. 任取 $M=$ 上的光滑函数 $f$，则
    \begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \left(f \boldsymbol{\mathbf{X}} \right) =f\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} + \boldsymbol{\mathbf{X}} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f~. \end{equation}
  3. 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 是 $\mathbb{R}^n$ 上光滑切向量场 $\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$ 的一部分，且记 $D$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的方向导数，那么有
    \begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} =D_{c'(t)}\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }~. \end{equation}

　　 式 2 很重要，它意味着至少在欧几里得空间中，沿着道路对切向量求导，可以由联络（方向导数）导出。顺着这个思想，我们可以尝试将沿道路求导的概念拓展到任意的流形 $M$ 上。

切向量场从局部拓展到整体

　　 在 $M$ 上局部区域定义的光滑切向量场，比如道路 $c(t)$ 上的 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$，能不能拓展到整个流形 $M$ 呢？也就是说，是否存在一个 $M$ 上的光滑切向量场 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$，使得 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }|_{c(t)}$ 呢？

　　 答案是肯定的。这是因为任意 $n$ 维实流形 $M$，都可以嵌入到 $\mathbb{R}^{2n}$ 上。换句话说，存在一个 $\mathbb{R}^{2n}$ 上的光滑函数 $f$，使得 $\mathbb{R}^{2n}$ 的子流形 $\{p\in\mathbb{R}^{2n}|f(p)=0\}$，和 $M$ 微分同胚（或者说就是 $M$ 本身）。使用 $\mathbb{R}^{2n}$ 天然的坐标，可以把任何切向量场表示成 $\mathbb{R}^{2n}$ 上光滑函数的组合3。我们总可以把局部的光滑函数拓展为整个 $\mathbb{R}^{2n}$ 上的光滑函数，从而把局部的光滑切向量场拓展为整个 $\mathbb{R}^{2n}$ 上的光滑切向量场。对这个拓展的切场取在 $M$ 上的限制，再投影到 $M$ 上，即得到在 $M$ 上的拓展。

未完成：投影是为了得到 $M$ 上的切向量。

例 1　切向量的整体拓展

　　 令 $M$ 为三维欧几里得空间中的单位球 $M=\{ \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} |x^2+y^2+z^2=0\}$。在 $M$ 的 “赤道”$\{ \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} |x^2+y^2=1, z=0\}$ 上定义了一个光滑切向量场：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{V}} \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y&x&0\end{pmatrix} ~. \end{equation}

　　 在 $\mathbb{R}^3$ 上定义

\begin{equation} \widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} } \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y&x&0\end{pmatrix} ~, \end{equation}

　　 那么显然 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} $ 是 $\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }$ 的限制。

　　 但是对于单位球 $M$ 上的各点 $p= \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $，$\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }(p)$ 却不一定是 $T_pM$ 中的切向量。这时候我们就需要投影：

\begin{equation} \widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }=\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }-\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} } \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{N}} ~. \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{N}} \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $，是单位球在 $p$ 处的单位法向量。

　　 这样就能保证 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }|_p$ 一定是 $T_pM$ 的元素了。自此，我们就得到了 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} $ 在整个 $M$ 上的拓展：$\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }|_{M}$。

协变导数

　　 继续之前的讨论，令 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 是沿着 $c(t)$ 的光滑切向量场。将 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 拓展为整个 $M$ 上的光滑切场 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$，$c'(t)$ 拓展为 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} $。

　　 $\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} }\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$ 是可以计算出来的。考虑到欧几里得空间中沿道路求导的第 3 条性质，也就是和方向导数（联络）的相容性，我们可以沿着 $c(t)$ 定义一个算子 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }$，使得：

\begin{equation} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} }\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }|_{c(t)}~. \end{equation}

　　 我们称如上定义的 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 沿着道路 $c(t)$ 的协变导数（covariant derivative）。

　　 欧几里得空间上沿着 $c(t)$ 求 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 的方向导数，就是协变导数的一个特例。一般的协变导数，和这个特例一样，有三个性质：

  1. $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 对 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 满足 $\mathbb{R}-$ 线性性4。
  2. 任取 $M=$ 上的光滑函数 $f$，则
    \begin{equation} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \left(f \boldsymbol{\mathbf{X}} \right) =f\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} + \boldsymbol{\mathbf{X}} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }f~. \end{equation}
  3. 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 是 $\mathbb{R}^n$ 上光滑切向量场 $\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$ 的一部分，且记 $D$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的方向导数，那么有
    \begin{equation} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} =D_{c'(t)}\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }~. \end{equation}

　　 在 Loring W. Tu 的课本Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes [1] 的第 13.1 节，导出协变导数的思路是先给出以上三个性质，然后证明存在且唯一存在满足这三条性质的算子，将其定义为 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }$。如果你使用 GTM 275 作为参考书，请注意这里思路的差别。

2. 协变导数的计算

　　 取 $M$ 上的一个局部坐标系5$\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _2, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n\}$。给定沿着 $c(t)$ 的一个光滑切向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} =x^i(t) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$，其中各 $x^i(t)$ 是区间 $I$ 上的光滑函数。将光滑切场 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 拓展为光滑切场 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i$，光滑函数 $x^i$ 拓展为光滑函数 $\widetilde{x}^i$6。此时再将 $c'(t)$ 拓展为整个 $M$ 上的光滑切场 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} =T^i\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i$。

　　 则按定义有：

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t) &= \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} } \left(\widetilde{x}^i \widetilde { \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i\right) |_{c(t)} \\ &=\widetilde{x}^i\nabla_{T^j\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_j}\left(\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i\right) |_{c(t)} + ( \boldsymbol{\mathbf{T}} \widetilde{x^i})\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i|_{c(t)}\\ &=T^j\widetilde{x}^i\nabla_{\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_j}\left(\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i\right)|_{c(t)}+\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^i(t)}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{e}} _i~. \end{aligned} \end{equation}

　　 按照 GTM 275 中式（13.1）的写法，有

\begin{equation} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^i(t)}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{e}} _i+{x}^i(t)\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} } \boldsymbol{\mathbf{e}} _i~ \end{equation}

　　 和式 9 是一样的。

　　 将式 9 与Christoffel 符号的概念结合，我们还可以进一步写出给定图中协变导数的计算公式：

\begin{equation} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=T^jx^i\Gamma^k_{ji}+\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^k(t)}{ \,\mathrm{d}{t} }~. \end{equation}
注意式 11 只写了坐标，省略了 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$。

　　 这样，只要知道了一个图中的 Christoffel 符号，就可以用式 11 在这个图中计算出协变导数了。

3. 与度量的相容性

　　 相关概念参见黎曼联络。

定理 1　

　　 给定黎曼流形$M$ 上的一条道路 $c(t)$，沿着道路有两个光滑切场 ${ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t)$ 和 ${ \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t)$。那么内积 $g({ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), { \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))$ 就是 $c(t)$ 上的光滑函数，因此可以直接对 $t$ 求导。

　　 此时我们有：

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }g({ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), { \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))=g(\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), { \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))+g({ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }{ \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))~. \end{equation}

　　 这是由 “度量相容性（见定义 3 的第二条）” 推论得出的。

1. ^ 当然，我们可以把 $ \operatorname {Im}c(t)$ 本身看成一个一维的流形，那么此时 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 就不是其切向量。我们可以考虑在这个一维流形上的一个二维向量丛，这样 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 就是这个丛上的一个截面。
2. ^ 即如果在道路上定义了两个向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{Y}} (t)$，那么任取实数 $a, b$，都有 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }( \boldsymbol{\mathbf{a \boldsymbol{\mathbf{X}} +b \boldsymbol{\mathbf{Y}} }} )=a\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} +b\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{Y}} $。
3. ^ 比如三维欧几里得空间中的切向量场，可以表示为三个光滑函数的组合，每个光滑函数是一个坐标分量。
4. ^ 即如果在道路上定义了两个向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{Y}} (t)$，那么任取实数 $a, b$，都有 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }( \boldsymbol{\mathbf{a \boldsymbol{\mathbf{X}} +b \boldsymbol{\mathbf{Y}} }} )=a\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} +b\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{Y}} $。
5. ^ $M$ 上并非总有整体坐标系，比如说单位球面上就不可能存在处处非零的光滑切向量场，进而任何一组光滑切向量场都会有零点，进而任何一组光滑切场都不可能是整体坐标系。但是局部是可以的，因为流形是局部同胚于欧几里得空间的，取欧几里得空间里的坐标系，映射回流形上就可以。
6. ^ 即将 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 拓展为 $\widetilde{x}^i\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i$。

[1] ^ Loring W. Tu. Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes, GTM 275, Springer press.

                     

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