贡献者： _Eden_
在量子力学或量子场论中，N 点关联函数 $ \left\langle \Omega \right\rvert \hat x(t_1)\cdots \hat x(t_n) \left\lvert \Omega \right\rangle $（其中 $ \left\lvert \Omega \right\rangle $ 为理论的真空，即哈密顿量 $H$ 的基态。）给出了描述理论的一切信息。所以我们经常从关联函数出发来研究我们的理论（无论是量子力学还是场论）。比如我们可以通过计算关联函数来得到系统基态的能量、激发态的能谱、粒子散射的振幅等等。在这一文章中我们将展现如何利用路径积分公式来计算理论的关联函数。
1. 关联函数的路径积分公式
我们需要知道如何从一个给定的理论得到它的 N 点编时关联函数
$ \left\langle x_f,t_f \right\rvert T[\hat x(t_1)\cdots \hat x(t_n)] \left\lvert x_i,t_i \right\rangle $。
这里初态和末态以及 $\hat x(t_1)\cdots \hat x(t_n)$ 中的时间指标代表它们是海森堡绘景1下的态矢量和算符。因此作绘景变换后，利用 $\hat x(t)=e^{iHt}\hat x e^{-iHt}$ 和 $ \left\lvert x_i,t_i \right\rangle =e^{iHt_i} \left\lvert x_i \right\rangle $，可以得到：（不妨设 $t_1>t_2>\cdots >t_n$）
\begin{equation}
\left\langle x_f \right\rvert e^{-iH (t_f-t_1)} \hat x e^{-iH(t_1-t_2)}\cdots \hat x e^{-iH(t_N-t_i)} \left\lvert x_i \right\rangle ~.
\end{equation}
向其中每个 $\hat x$ 出现的位置处插入完备基
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum_{x_1,x_2,\cdots,x_N} \left\langle x_f \right\rvert e^{-iH (t_f-t_1)} \left\lvert x_{1} \right\rangle x_1 \left\langle x_1 \right\rvert e^{-iH(t_1-t_2)} \left\lvert x_2 \right\rangle x_2\cdots x_N \left\langle x_N \right\rvert e^{-iH(t_N-t_i)} \left\lvert x_i \right\rangle ~,
\end{aligned}~
\end{equation}
利用路径积分的公式
定理 1 ，可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left\langle x_f,t_f \right\rvert \hat x(t_1)\cdots \hat x(t_n) \left\lvert x_i,t_i \right\rangle \quad (t_1>t_2>\cdots >t_n)\\
&=\sum_{x_1,x_2,\cdots,x_N}x_1x_2\cdots x_N
\int \mathcal{D}[x]|_{x(t_1)=x_1}^{x(t_f)=x_f} \exp\left[i\int_{t_1}^{t_f} \,\mathrm{d}{t} L(x(t),\dot x(t))\right] \cdot \\
&\quad \int \mathcal{D}[x]|_{x(t_2)=x_2}^{x(t_1)=x_1}
\exp\left[i\int_{t_2}^{t_1} \,\mathrm{d}{t} L(x(t),\dot x(t))\right]
\cdot \cdots
\int \mathcal{D}[x]|_{x(t_i)=x_i}^{x(t_N)=x_N}
\exp\left[i\int_{t_i}^{t_N} \,\mathrm{d}{t} L(x(t),\dot x(t))\right] \\
&=\int \mathcal{D}[x]|_{x(t_i)=x_i}^{x(t_f)=x_f} x(t_1)x(t_2)\cdots x(t_N) \exp\left[i\int_{t_i}^{t_f} \,\mathrm{d}{t} L(x(t),\dot x(t))\right] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意我们最后一行得到的这个式子中，任意交换 $t_1,t_2,\cdots t_N$ 对结果都没有影响。也就是说，对于任意的 $t_1,\cdots,t_N$（没有大小关系的约束），该路径积分表达式都等于编时关联函数（将算符按照时间从大到小的顺序排序）的值，因此我们就证明了以下定理：
定理 1
$ \left\langle x_f,t_f \right\rvert T[\hat x(t_1)\cdots \hat x(t_n)] \left\lvert x_i,t_i \right\rangle $ 可以用路径积分公式表达为
\begin{equation}
\left\langle x_f,t_f \right\rvert T[\hat x(t_1)\cdots \hat x(t_n)] \left\lvert x_i,t_i \right\rangle =
\mathcal{N}\int \mathcal{D}[x]|_{x(t_i)=x_i}^{x(t_f)=x_f} x(t_1)\cdots x(t_n) \exp\left(i S[x,\dot x]\right) ~.
\end{equation}
2. Gell-Mann-Low 定理
将海森堡绘景的态矢量 $ \left\lvert x,t \right\rangle $ 变换到薛定谔绘景下得到
\begin{equation}
\left\lvert x,t \right\rangle =e^{iHt} \left\lvert x \right\rangle ~.
\end{equation}
插入哈密顿量的本征矢构成的完备基
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert x,t \right\rangle &=\sum_n e^{iHt} \left\lvert n \right\rangle \langle n|x\rangle=
\sum_n e^{iE_n t} \left\lvert n \right\rangle \langle n|x\rangle\\
&=e^{iE_0t}\left[ \left\lvert \Omega \right\rangle \langle\Omega|x\rangle+\sum_{n\neq 0}e^{-i(E_n-E_0)t} \left\lvert n \right\rangle \langle n|x\rangle\right]~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $ \left\lvert \Omega \right\rangle $ 为基态，即能量最低的真空态。取 $t=-T\rightarrow -\infty(1-i\epsilon)$ 的极限，则 $e^{-i(E_n-E_0) t}$ 会被指数级地压低。因此可以得到以下定理：
定理 2 Gell-Mann-Low 定理
$\lim\limits_{T\rightarrow \infty(1-i\epsilon)} \left\lvert x,t=-T \right\rangle =
\lim\limits_{T\rightarrow \infty(1-i\epsilon)}
e^{-iE_0T} \left\lvert \Omega \right\rangle \langle \Omega|x\rangle$，其中 $E_0$ 是基态能量（这里我们假定了系统只有唯一的真空态 $ \left\lvert \Omega \right\rangle $，并且与第一激发态之间有能隙。）。
为了计算关联函数 $ \left\langle x_f \right\rvert e^{-iHT} \left\lvert x_i \right\rangle $ 的路径积分表达式，$T\rightarrow \infty(1-i\epsilon)$ 所带的因子 $(1-i\epsilon)$ 可以手动地转移到 $H$ 上。
这样在前面的推导过程中，路径积分表达式的收敛性也得到了保证。利用这个引理，我们可以将关联函数的左矢和右矢改为理论的真空态：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\lim\limits_{T\rightarrow \infty(1-i\epsilon)}
\left\langle x_f,T \right\rvert T[\hat x(t_1)\cdots \hat x(t_n)] \left\lvert x_i,-T \right\rangle =
e^{-2iE_0T}\langle x_f | \Omega \rangle\langle\Omega|x_i\rangle \left\langle \Omega \right\rvert T[\hat x(t_1)\cdots \hat x(t_n)] \left\lvert \Omega \right\rangle \\
&=\mathcal{N}\int \mathcal{D}[x] x(t_1)\cdots x(t_n) \exp\left(i S[x,\dot x]\right) \\
&\lim\limits_{T\rightarrow \infty(1-i\epsilon)}
\langle x_f,T| x_i,-T\rangle=e^{-2iE_0T}\langle x_f | \Omega \rangle\langle\Omega|x_i\rangle\langle\Omega|\Omega\rangle\\
&=\mathcal{N}\int \mathcal{D}[x] \exp\left(i S[x,\dot x]\right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
将上面两个公式相除，就可以得到
定理 3
$N$ 点编时关联函数的路径积分公式为
\begin{equation}
\left\langle \Omega \right\rvert T[\hat x(t_1)\cdots \hat x(t_n)] \left\lvert \Omega \right\rangle
=\frac{\int \mathcal{D}[x] x(t_1)\cdots x(t_n) \exp\left(i S[x,\dot x]\right) }
{\int \mathcal{D}[x] \exp\left(i S[x,\dot x]\right) }~.
\end{equation}
1. ^ 薛定谔绘景和海森堡绘景。