贡献者： _Eden_
预备知识 流体运动的描述方法
，物质导数（实质导数）
，重积分、面积分、体积分（简明微积分）
人们一般用密度 $\rho$，速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 等物理量描述流体中每个位置流体微元的性质，并列出所谓的流体力学方程来描述每个流体微元随时间的演化。它们之间应当满足一定的守恒方程，例如连续性方程，动量守恒方程，能量守恒方程等。在这一节中，我们将对流体力学的守恒方程进行简要的推导和介绍。
1. 连续性方程（流守恒方程）
让我们对物质体（Material Volumn）进行分析，取一个随流体一起运动的被闭曲面 $S$ 包围的体积 $V$，对其中的密度进行积分得到这一个物质体的质量。物质体在随流体一起运动的过程中，其质量应当是不变的，那么我们有
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\int_{V(t)} \rho \,\mathrm{d}{V} =0~.
\end{equation}
进一步将它拆成两部分，一部分是每个位置密度的偏导数随时间的变化，另一部分是闭合曲面 $S$ 的变化带来的质量变化。我们得到
\begin{equation}
\int \frac{\partial \rho}{\partial t} \,\mathrm{d}{V} +\int_S \rho \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \hat{ \boldsymbol{\mathbf{n}} } \,\mathrm{d}{S} =0\Rightarrow \int \left[ \frac{\partial \rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \right] \,\mathrm{d}{V} =0~.
\end{equation}
如上，我们得到了连续性方程的微分形式
\begin{equation}
\frac{\partial \rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho \boldsymbol{\mathbf{u}} )=0~.
\end{equation}
利用 $\nabla\cdot (\rho \boldsymbol{\mathbf{u}} )=\rho \nabla\cdot u+ \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \nabla \rho$，上式可以改写为
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{\rho} }{ \,\mathrm{d}{t} }+\rho \nabla\cdot u=0~,
\end{equation}
我们也可以用另一种方式来考察这一结果。直接从 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (\rho \delta V)=0$ 出发（这表明一个流体微元随时间演化的过程中质量是不变的），得到
\begin{equation}
\rho \frac{\mathrm{d}{\delta V}}{\mathrm{d}{t}} +\delta V \frac{\mathrm{d}{\rho}}{\mathrm{d}{t}} =0\Rightarrow \frac{\mathrm{d}{\delta V}}{\mathrm{d}{t}} =-\delta V \frac{1}{\rho}\frac{ \,\mathrm{d}{\rho} }{ \,\mathrm{d}{t} }~.
\end{equation}
利用
式 4 ，上式得到了以下结果：
\begin{equation}
\frac{1}{\delta V} \frac{\mathrm{d}{\delta V}}{\mathrm{d}{t}} =\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} ~,
\end{equation}
这个结果是不难理解的。取 $\delta V$ 为一个无限小立方体，计算六个面流体运动的流进流出，可以轻易得到这个表达式，然后事实上不论 $\delta V$ 的形状如何，上式都是成立的，因为我们总能把 $\delta V$ 分割成许许多多个小立方体，而每个小立方体都满足上式，进而利用 $\nabla\cdot u$ 在这一小区域的连续性，就可以得到这个结果。
2. 动量守恒方程
类似上面的推导，我们先对物质体列出积分方程：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int_{V(t)} \rho \boldsymbol{\mathbf{u}} \,\mathrm{d}{V} =\int \rho \boldsymbol{\mathbf{g}} \,\mathrm{d}{V} +\int_S \boldsymbol{\mathbf{f}} \,\mathrm{d}{S} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{g}} $ 表示作用于每个流体微元上的体力，例如重力就是体力的一种。对上式左侧进行化简，可以得到
\begin{equation}
\int \frac{\partial (\rho \boldsymbol{\mathbf{u}} )}{\partial t} \,\mathrm{d}{V} +\int_S\rho \boldsymbol{\mathbf{u}} ( \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \hat{ \boldsymbol{\mathbf{n}} }) \,\mathrm{d}{S} =\int \rho \boldsymbol{\mathbf{g}} \,\mathrm{d}{V} +\int_S \hat n\cdot \overleftrightarrow { \boldsymbol{\mathbf{T}} } \,\mathrm{d}{S} ~.
\end{equation}
其中 $T$ 是流体的应力张量，$T_{ij}$ 表示在法线为 $x_i$ 方向的单位面元上，面外对面内的面力的 $x_j$ 分量。可以证明，为了保证角动量守恒，应力张量是二阶对称的张量。
最终我们有矢量表达式
\begin{equation}
\rho \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{u}} }{\partial t}+\rho( \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \nabla) \boldsymbol{\mathbf{u}} =\rho \boldsymbol{\mathbf{g}} +\nabla\cdot \overleftrightarrow { \boldsymbol{\mathbf{T}} }~,
\end{equation}
或者我们有一种更简单的推导方法。注意到 $ \,\mathrm{d}\left(\rho \boldsymbol{\mathbf{u}} \delta V \right) / \,\mathrm{d}{t} =\rho \delta V \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} } / \,\mathrm{d}{t} + \boldsymbol{\mathbf{u}} \,\mathrm{d}\left(\rho \delta V \right) / \,\mathrm{d}{t} =\rho \delta V \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} } / \,\mathrm{d}{t} $。所以从式 7 出发立刻可以得到
\begin{equation}
\rho \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} =\rho \boldsymbol{\mathbf{g}} +\nabla\cdot \overleftrightarrow { \boldsymbol{\mathbf{T}} }~,
\end{equation}
这和
式 9 是等价的。
应力张量 $T_{ij}$ 一般表示为 $-p+\tau_{ij}$，$p$ 表示压强，$\tau_{ij}$ 则是由流体的粘性带来的项，$\tau_{ij}$ 是对称张量。
3. 能量守恒方程
最后让我们讨论能量守恒方程。流体微元的能量一般分为内能 $e$ 和动能 $\frac{1}{2}\rho u^2$，前者和流体的热力学状态（压强、温度或密度）有关，而后者和流体微元的运动有关。下面我们来具体分析能量守恒方程的形式。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int_{V(t)} \rho \left(e+\frac{1}{2}| \boldsymbol{\mathbf{u}} |^2 \right) \,\mathrm{d}{V} =\int \rho \boldsymbol{\mathbf{g}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} \,\mathrm{d}{V} +\int_S \boldsymbol{\mathbf{f}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} \,\mathrm{d}{S} -\int_S \boldsymbol{\mathbf{q}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} \,\mathrm{d}{A} ~.
\end{equation}
$e$ 为单位质量的内能。面力 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 在速度方向上作用一段距离导致做功，$ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 表示面元上的热流方向。
那么经过一系列的化简我们可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(e+\frac{1}{2}| \boldsymbol{\mathbf{u}} |^2 \right) &=\rho \boldsymbol{\mathbf{g}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} + \frac{\partial}{\partial{x_i}} (T_{ij}u_j)-\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{q}} \\
&=\rho g_iu_i+ \left(-p \frac{\partial u_j}{\partial x_j} +\tau_{ij} \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) +u_j \left(- \frac{\partial p}{\partial x_j} + \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_i} \right) - \frac{\partial q_i}{\partial x_i} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
以上就是我们得到的能量守恒方程。下面我们对动量守恒方程点乘 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} $，来考察能量守恒方程中的
动能守恒
\begin{equation}
\rho \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \left(\frac{1}{2}| \boldsymbol{\mathbf{u}} |^2 \right) =\rho g_iu_i+u_j \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_i} =\rho g_iu_i+u_j \left(- \frac{\partial p}{\partial x_j} + \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_i} \right) ~.
\end{equation}
将
式 12 和
式 13 相减，我们得到了
内能守恒：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho \frac{\mathrm{d}{e}}{\mathrm{d}{t}} &=T_{ij} \frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{\partial q_i}{\partial x_i}
\\&=-p \frac{\partial u_j}{\partial x_j} +\tau_{ij} \frac{\partial u_j}{\partial x_i} - \frac{\partial q_i}{\partial x_i} =-\frac{p}{\rho} \frac{\mathrm{d}{\rho}}{\mathrm{d}{t}} -\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{q}} \\
\Rightarrow \frac{\mathrm{d}{e}}{\mathrm{d}{t}} &=p \frac{\mathrm{d}{\nu}}{\mathrm{d}{t}} +\tau_{ij}S_{ij}-\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{q}} ,\ (\nu=1/\rho)~.\\
\end{aligned}
\end{equation}
如果将应力张量的表达式式 2 代入，并利用热传导定律将 $ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 表达为 $-k\nabla T$，上述方程可以改写为
\begin{equation}
\rho \frac{\mathrm{d}{e}}{\mathrm{d}{t}} =-p \frac{\partial u_m}{\partial x_m} +2\mu \left(S_{ij}-\frac{1}{3} \frac{\partial u_m}{\partial x_m} \delta_{ij} \right) ^2+\mu_\nu \left( \frac{\partial u_m}{\partial x_m} \right) ^2+ \frac{\partial}{\partial{x_i}} \left(k \frac{\partial T}{\partial x_i} \right) ~.
\end{equation}