Navier-Stokes 方程

贡献者： _Eden_

预备知识　流体力学守恒方程，爱因斯坦求和约定

　　让我们回顾流体力学的动量守恒方程：

\begin{matrix} (1) & ρ \frac{\partial u}{\partial t} + ρ (u \cdot \nabla) u = ρ g + \nabla \cdot \overset{\leftrightarrow}{T} . \end{matrix}

　　为了进一步解这个方程，我们需要知道应力张量 $T_{i j}$ 的具体形式。 $T_{i j}$ 表示在法线为 $x_{i}$ 方向的单位面元上，面外对面内的面力的 $x_{j}$ 分量，而且是二阶对称张量（为了保证角动量守恒），那么它有怎样的性质呢？

　　在下面的讨论中我们将假设我们讨论的流体是牛顿流体：流体的应力和流体的速度梯度有线性关系，也就是服从广义胡克定律的关系。这当然是不正确的，因为实际问题中，当形变特别大时，有各种各样的非线性效应。但对于大多数问题来说这样的假设是足够的，而且能得到相对简单的方程形式。

1. 应力张量与第一第二粘性系数

　　最简单的一种非粘性的各向同性流体，其应力张量的对角元都为 $- p$ ，这意味着每个面元上受到的力是垂直于面元的，单位面积上受到的力为流体在该处的压强，因此对角元 $- p$ 给出的就是压强 $p$ 。但实际情况中流体是有粘性的，例如下图

图 1：牛顿粘性实验

　　当 $y$ 方向相邻两侧流体的水平速度 $u$ 有梯度时，就会产生一个剪应力 $τ = μ d u / d y$ ， $μ$ 被称为第一粘性系数。继续假设流体是各向同性的，那么似乎应该有 $T_{i j} = μ d u_{j} / d x_{i}$ （ $i \neq j$ ）。但这样实际上是有问题的，在我们上面的牛顿黏性实验中，应力张量的非对角元实际上不止有 $T_{21}$ ，否则考察其中的一个微元，上面受到的向右的力比下面受到的向右的力更大，取足够小的微元，它的单位体积角动量将会趋于无穷大。这也意味着应力张量必须是对称张量。在上面的牛顿粘性实验中，事实上每一水平层流体，沿 $x$ 方向相邻两个紧挨着的流体微元，将会有 $y$ 方向的面力。也就是说 $T_{12} = T_{21}$ 。最终，我们可以把 $T_{i j}$ 改写为 $μ (d u_{j} / d x_{i} + d u_{i} / d x_{j}) = 2 μ S_{i j}$ （ $i \neq j$ ）。

　　上面的讨论仍然存在问题。既然 $T_{i j}$ 对角元全相等（为 $- p$ ），那么对于各向同性的流体，应力张量矩阵 $T_{i j}$ 应当在正交相似变换下对角元应当仍是 $- p$ 。但从牛顿粘性实验的 $T_{i j}$ 出发很容易发现这是错误的。为了修正使得 $T_{i j}$ 各向同性，我们需要将第一粘性系数也考虑进 $T_{i j}$ 的对角元中： $T_{i j} = - p δ_{i j} + 2 μ S_{i j}$ 。

　　上面的讨论还没结束。对于可压缩流体，流体微元的密度改变，一般而言，静压强 $p$ 应当是密度 $ρ$ 的函数。但是，流体在压缩和膨胀的过程中，当 $S_{m m} = \nabla \cdot u \neq 0$ ，流体除了静压强 $p$ 以外，还可能会额外多出一个粘性压强。我们设第二粘性系数 $μ_{ν}$ ，并假设这个过程使得压强在 $p$ 基础上增大了 $μ_{ν} S_{m m}$ （最终表现为 $T_{i j}$ 的对角元的平均值），那么可以写出最终的本构方程：

\begin{matrix} (2) & T_{i j} = - p δ_{i j} + 2 μ (S_{i j} - \frac{2}{3} S_{m m} δ_{i j}) + μ_{ν} S_{m m} δ_{i j} = - p δ_{i j} + τ_{i j} . \end{matrix}

2. Navier-Stokes 方程（NS 方程）

　　整理上面的方程：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ρ \frac{d u_{j}}{d t} & = ρ g_{j} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} T_{i j}, \\ T_{i j} & = - p δ i j + τ_{i j} \\ = - p δ_{i j} + 2 μ (S_{i j} - \frac{2}{3} S_{m m} δ_{i j}) + μ_{ν} S_{m m} δ_{i j} . \end{aligned} \end{matrix}

将应力张量表达式代入流体力学动量方程组，我们就得到了著名的 Navier-Stokes 方程：

\begin{matrix} (4) & ρ \frac{d u_{j}}{d t} = - \frac{\partial p}{\partial x_{j}} + ρ g_{j} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [μ (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}) + (μ_{ν} - \frac{2}{3} μ) \frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}} δ_{i j}] . \end{matrix}

当流体内部温度的差距较小时，第一粘性系数和第二粘性系数可以近似认为是常数。那么上式可以简化表达为

\begin{matrix} (5) & ρ \frac{d u_{j}}{d t} = - \frac{\partial p}{\partial x_{j}} + ρ g_{j} + μ \frac{\partial^{2} u_{j}}{\partial {x_{i}}^{2}} + (μ_{ν} + \frac{1}{3} μ) \frac{\partial}{\partial x_{j}} \frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}} . \end{matrix}

所以，对于不可压缩流体，

\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{m}} = 0

，有方程

\begin{matrix} (6) & ρ \frac{d u}{d t} = - \nabla p + ρ g + μ \nabla^{2} u . \end{matrix}

对于远离固体边界的流体，有时可以作近似处理，看成是无粘性的流体。此时的方程简化为欧拉方程。

\begin{matrix} (7) & ρ \frac{d u}{d t} = - \nabla p + ρ g . \end{matrix}