贡献者： _Eden_
让我们回顾流体力学的动量守恒方程：
\begin{equation}
\rho \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{u}} }{\partial t}+\rho( \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \nabla) \boldsymbol{\mathbf{u}} =\rho \boldsymbol{\mathbf{g}} +\nabla\cdot \overleftrightarrow { \boldsymbol{\mathbf{T}} }~.
\end{equation}
为了进一步解这个方程，我们需要知道应力张量 $T_{ij}$ 的具体形式。$T_{ij}$ 表示在法线为 $x_i$ 方向的单位面元上，面外对面内的面力的 $x_j$ 分量，而且是二阶对称张量（为了保证角动量守恒），那么它有怎样的性质呢？
在下面的讨论中我们将假设我们讨论的流体是牛顿流体：流体的应力和流体的速度梯度有线性关系，也就是服从广义胡克定律的关系。这当然是不正确的，因为实际问题中，当形变特别大时，有各种各样的非线性效应。但对于大多数问题来说这样的假设是足够的，而且能得到相对简单的方程形式。
1. 应力张量与第一第二粘性系数
最简单的一种非粘性的各向同性流体，其应力张量的对角元都为 $-p$，这意味着每个面元上受到的力是垂直于面元的，单位面积上受到的力为流体在该处的压强，因此对角元 $-p$ 给出的就是压强 $p$。但实际情况中流体是有粘性的，例如下图
图 1：牛顿粘性实验
当 $y$ 方向相邻两侧流体的水平速度 $u$ 有梯度时，就会产生一个剪应力 $\tau=\mu \,\mathrm{d}{u} / \,\mathrm{d}{y} $，$\mu$ 被称为第一粘性系数。继续假设流体是各向同性的，那么似乎应该有 $T_{ij}=\mu \,\mathrm{d}{u} _j/ \,\mathrm{d}{x} _i$（$i\neq j$）。但这样实际上是有问题的，在我们上面的牛顿黏性实验中，应力张量的非对角元实际上不止有 $T_{21}$，否则考察其中的一个微元，上面受到的向右的力比下面受到的向右的力更大，取足够小的微元，它的单位体积角动量将会趋于无穷大。这也意味着应力张量必须是对称张量。在上面的牛顿粘性实验中，事实上每一水平层流体，沿 $x$ 方向相邻两个紧挨着的流体微元，将会有 $y$ 方向的面力。也就是说 $T_{12}=T_{21}$。最终，我们可以把 $T_{ij}$ 改写为 $\mu ( \,\mathrm{d}{u} _j/ \,\mathrm{d}{x} _i+ \,\mathrm{d}{u} _i/ \,\mathrm{d}{x} _j)=2\mu S_{ij}$（$i\neq j$）。
上面的讨论仍然存在问题。既然 $T_{ij}$ 对角元全相等（为 $-p$），那么对于各向同性的流体，应力张量矩阵 $T_{ij}$ 应当在正交相似变换下对角元应当仍是 $-p$。但从牛顿粘性实验的 $T_{ij}$ 出发很容易发现这是错误的。为了修正使得 $T_{ij}$ 各向同性，我们需要将第一粘性系数也考虑进 $T_{ij}$ 的对角元中：$T_{ij} = -p\delta_{ij}+2\mu S_{ij}$。
上面的讨论还没结束。对于可压缩流体，流体微元的密度改变，一般而言，静压强 $p$ 应当是密度 $\rho$ 的函数。但是，流体在压缩和膨胀的过程中，当 $S_{mm}=\nabla\cdot u\neq 0$，流体除了静压强 $p$ 以外，还可能会额外多出一个粘性压强。我们设第二粘性系数 $\mu_\nu$，并假设这个过程使得压强在 $p$ 基础上增大了 $\mu_\nu S_{mm}$（最终表现为 $T_{ij}$ 的对角元的平均值），那么可以写出最终的本构方程：
\begin{equation}
T_{ij}=-p\delta_{ij}+2\mu \left(S_{ij}-\frac{2}{3}S_{mm}\delta_{ij} \right) +\mu_\nu S_{mm} \delta_{ij}=-p\delta_{ij}+\tau_{ij}~.
\end{equation}
2. Navier-Stokes 方程（NS 方程）
整理上面的方程：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho \frac{\mathrm{d}{u_j}}{\mathrm{d}{t}} &=\rho g_j+ \frac{\partial}{\partial{x_i}} T_{ij},\\
T_{ij}&=-p\delta{ij}+\tau_{ij}\\
&=-p\delta_{ij}+2\mu \left(S_{ij}-\frac{2}{3}S_{mm}\delta_{ij} \right) +\mu_\nu S_{mm} \delta_{ij}~.
\end{aligned}
\end{equation}
将应力张量表达式代入流体力学动量方程组，我们就得到了著名的
Navier-Stokes 方程：
\begin{equation}
\rho \frac{\mathrm{d}{u_j}}{\mathrm{d}{t}} =- \frac{\partial p}{\partial x_j} +\rho g_j+ \frac{\partial}{\partial{x_i}} \left[\mu \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) + \left(\mu_\nu-\frac{2}{3}\mu \right) \frac{\partial u_m}{\partial x_m} \delta_{ij} \right] ~.
\end{equation}
当流体内部温度的差距较小时，
第一粘性系数和第二粘性系数可以近似认为是常数。那么上式可以简化表达为
\begin{equation}
\rho \frac{\mathrm{d}{u_j}}{\mathrm{d}{t}} =- \frac{\partial p}{\partial x_j} +\rho g_j+\mu \frac{\partial^{2}{u_j}}{\partial{x_i}^{2}} + \left(\mu_\nu+\frac{1}{3}\mu \right) \frac{\partial}{\partial{x_j}} \frac{\partial u_m}{\partial x_m} ~.
\end{equation}
所以，对于
不可压缩流体，$ \frac{\partial u_m}{\partial x_m} =0$，有方程
\begin{equation}
\rho \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} =-\nabla p+\rho \boldsymbol{\mathbf{g}} +\mu \nabla^2 \boldsymbol{\mathbf{u}} ~.
\end{equation}
对于远离固体边界的流体，有时可以作近似处理，看成是无粘性的流体。此时的方程简化为
欧拉方程。
\begin{equation}
\rho \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} =-\nabla p+\rho \boldsymbol{\mathbf{g}} ~.
\end{equation}
