物质导数（实质导数）
贡献者： addis; liveinthetruth
1. 物质导数定义
在流体力学中，物质导数实际上是拉格朗日法下某变量对时间的导数，但它可以表示成对欧拉变量的全导数形式，因其特殊性，常用大写的微分符号来表示，称为物质导数（Substantial Derivative），或实质导数，又或者随体导数。设 $ \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} $ 是流体的某种性质，物质导数的一般形式为：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} }{\mathrm{D} t}= \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} }{\partial t} +( \boldsymbol{\mathbf{V}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} ) \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} ~.
\end{equation}
公式中，等号左边的项为物质导数，等号右边的第一项称作当地导数，第二项称作对流导数或者牵连导数，这两项是欧拉法下的描述。
2. 推导过程
可以直接从链式法则推导。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} }{\mathrm{D}t} &= \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} (x,y,z,t)}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} }{\partial x} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} }{\partial y} \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} }{\partial z} \frac{\mathrm{d}{z}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} }{\partial t} \\
&= \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} }{\partial t} + \left(\dot x \frac{\partial}{\partial{x}} + \dot y \frac{\partial}{\partial{y}} + \dot z \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} \\
&= \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} }{\partial t} + ({ \boldsymbol{\mathbf{V}} \cdot \nabla}) \boldsymbol{\mathbf{\Phi}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
一般称第一项为局部变化，第二项为对流变化。