贡献者： addis
1现在我们来看一个粒子的二维运动。定态薛定谔方程为
\begin{equation}
H \Psi(x, y) = E \Psi(x, y)~.
\end{equation}
其中哈密顿算符为
\begin{equation}
H = -\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}^2 + V(x, y) = -\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} -\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial{y}^{2}} + V(x, y)~.
\end{equation}
前两项分别为 $x$ 和 $y$ 方向的动能算符，$V(x, y)$ 为势能（算符）
\begin{equation}
V(x, y) =
\begin{cases}
0 & (0 \leqslant x \leqslant a,\: 0 \leqslant y \leqslant b)\\
+\infty & (\text{其他情况})
\end{cases}~.
\end{equation}
$V(x, y)$ 可以看成 $V_x(x)$ 和 $V_y(y)$ 两个函数相加，他们的定义为
\begin{equation}
V_x(x) =
\begin{cases}
0 & (0 \leqslant x \leqslant a)~,\\
+\infty & (\text{其他情况})
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
V_y(y) =
\begin{cases}
0 & (0 \leqslant y \leqslant b)~.\\
+\infty & (\text{其他情况})
\end{cases}
\end{equation}
于是总哈密顿算符可以记为两部分，每部分是一个一维简谐振子的哈密顿算符
\begin{equation}
H = H_x + H_y~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
H_x &= -\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} + V_x(x)\\
H_y &= -\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial{y}^{2}} + V_y(y)
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
为什么这样做呢？这使我们可以使用分离变量法。令
\begin{equation}
\Psi(x, y) = \Psi_x(x)\Psi_y(y)~.
\end{equation}
代入薛定谔方程两边同除以 $\Psi_x(x)\Psi_y(y)$ 得
\begin{equation}
\frac{H_x \Psi_x(x)}{\Psi_x(x)} + \frac{H_y \Psi_y(y)}{\Psi_y(y)} = E~.
\end{equation}
由于第一项只和 $x$ 有关，第二项只和 $y$ 有关，所以它们都是常数，令
\begin{equation}
\begin{cases}
H_x \Psi_x(x) = E_x \Psi_x(x)\\
H_y \Psi_y(y) = E_y \Psi_y(y)
\end{cases}~,
\end{equation}
他们分别是一维简谐振子的定态薛定谔方程。他们的各个束缚态波函数（
式 4 ）分别为
\begin{equation}
\Psi_{x, i}(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi}{a} x\right) \quad (i = 1,2,...)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\Psi_{y, j}(y) = \sqrt{\frac{2}{b}} \sin\left(\frac{n\pi }{b} y\right) \quad (j = 1,2,...)~.
\end{equation}
对应的能量分别为
\begin{equation}
E_{x, i} = \frac{\pi^2}{2 a^2} i^2~,
\qquad
E_{y, j} = \frac{\pi^2}{2 b^2} j^2~.
\end{equation}
则总哈密顿算符的束缚态可以记为它们的乘积
\begin{equation}
\Psi_{i, j}(x, y) = \Psi_{x, i}(x) \Psi_{y, j}(y) = \frac{2}{\sqrt{ab}} \sin\left(\frac{i \pi}{a} x\right) \sin\left(\frac{j \pi}{b} y\right) ~.
\end{equation}
对应的能量为
\begin{equation}
E_{i, j} = E_{x,i} + E_{y,j} = \frac{\pi^2}{2} \left(\frac{i^2}{a^2} + \frac{j^2}{b^2} \right) ~.
\end{equation}
另外，由于 $\Psi_{x, i}(x)$ 和 $\Psi_{y, j}(y)$ 都是完备的，它们的乘积也是完备的，即二维势阱中任意波函数可以表示为
\begin{equation}
\Psi(x, y) = \sum_{i,j} C_{i, j} \Psi_{x, i}(x) \Psi_{y, j}(y)~.
\end{equation}
事实上，这就是二维傅里叶级数。
1. ^ 本文使用原子单位