二维无限深方势阱

贡献者： addis

预备知识　无限深势阱，分离变量法解偏微分方程

　　¹现在我们来看一个粒子的二维运动。定态薛定谔方程为

\begin{matrix} (1) & H Ψ (x, y) = E Ψ (x, y) . \end{matrix}

其中哈密顿算符为

\begin{matrix} (2) & H = - \frac{1}{2} \nabla^{2} + V (x, y) = - \frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + V (x, y) . \end{matrix}

前两项分别为

x

和

y

方向的动能算符，

V (x, y)

为势能（算符）

\begin{matrix} (3) & V (x, y) = {\begin{cases} 0 & (0 ⩽ x ⩽ a, 0 ⩽ y ⩽ b) \\ + \infty & (其他情况) \end{cases} . \end{matrix}

V (x, y)

可以看成

V_{x} (x)

和

V_{y} (y)

两个函数相加，他们的定义为

\begin{matrix} (4) & V_{x} (x) = {\begin{cases} 0 & (0 ⩽ x ⩽ a), \\ + \infty & (其他情况) \end{cases} \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & V_{y} (y) = {\begin{cases} 0 & (0 ⩽ y ⩽ b) . \\ + \infty & (其他情况) \end{cases} \end{matrix}

于是总哈密顿算符可以记为两部分，每部分是一个一维简谐振子的哈密顿算符

\begin{matrix} (6) & H = H_{x} + H_{y}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & {\begin{aligned} H_{x} & = - \frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V_{x} (x) \\ H_{y} & = - \frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + V_{y} (y) \end{aligned} . \end{matrix}

　　为什么这样做呢？这使我们可以使用分离变量法。令

\begin{matrix} (8) & Ψ (x, y) = Ψ_{x} (x) Ψ_{y} (y) . \end{matrix}

代入薛定谔方程两边同除以

Ψ_{x} (x) Ψ_{y} (y)

得

\begin{matrix} (9) & \frac{H_{x} Ψ_{x} (x)}{Ψ_{x} (x)} + \frac{H_{y} Ψ_{y} (y)}{Ψ_{y} (y)} = E . \end{matrix}

由于第一项只和

x

有关，第二项只和

y

有关，所以它们都是常数，令

\begin{matrix} (10) & {\begin{cases} H_{x} Ψ_{x} (x) = E_{x} Ψ_{x} (x) \\ H_{y} Ψ_{y} (y) = E_{y} Ψ_{y} (y) \end{cases}, \end{matrix}

他们分别是一维简谐振子的定态薛定谔方程。他们的各个束缚态波函数（式 4 ）分别为

\begin{matrix} (11) & Ψ_{x, i} (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{n π}{a} x) (i = 1, 2, . . .), \end{matrix}

\begin{matrix} (12) & Ψ_{y, j} (y) = \sqrt{\frac{2}{b}} \sin (\frac{n π}{b} y) (j = 1, 2, . . .) . \end{matrix}

对应的能量分别为

\begin{matrix} (13) & E_{x, i} = \frac{π^{2}}{2 a^{2}} i^{2}, E_{y, j} = \frac{π^{2}}{2 b^{2}} j^{2} . \end{matrix}

则总哈密顿算符的束缚态可以记为它们的乘积

\begin{matrix} (14) & Ψ_{i, j} (x, y) = Ψ_{x, i} (x) Ψ_{y, j} (y) = \frac{2}{\sqrt{a b}} \sin (\frac{i π}{a} x) \sin (\frac{j π}{b} y) . \end{matrix}

对应的能量为

\begin{matrix} (15) & E_{i, j} = E_{x, i} + E_{y, j} = \frac{π^{2}}{2} (\frac{i^{2}}{a^{2}} + \frac{j^{2}}{b^{2}}) . \end{matrix}

另外，由于

Ψ_{x, i} (x)

和

Ψ_{y, j} (y)

都是完备的，它们的乘积也是完备的，即二维势阱中任意波函数可以表示为

\begin{matrix} (16) & Ψ (x, y) = \sum_{i, j} C_{i, j} Ψ_{x, i} (x) Ψ_{y, j} (y) . \end{matrix}

事实上，这就是二维傅里叶级数。

1. ^ 本文使用原子单位

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